华东师大版九年级下册26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质课件（20张）

第26章 二次函数
1. 二次函数y=ax2的图象与性质
26.2 二次函数的图象与性质
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
一般形式
右边是整式；
自变量的指数最高是2次；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2
y=ax2+bx
y=ax2+c
什么叫二次函数?
复习导入
讲授新课
二次函数y=ax2的图象
一
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
　
　
　
　
　
　
　
…　
例1 画出二次函数y=x2的图象.
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：
2. 描点：
3. 连线：
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y=x2
例1 画出二次函数y=x2的图象.
(1)图象的形状像什么？图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y=x2
观察图象，回答问题
(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)在对称轴左侧,随着x值的增大, y 的值如何变化？ 在对称轴右侧呢？
(4)当x取什么值时, y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y=x2
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫
做抛物线的顶点.
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y=x2
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),
顶点是它的最低点,开口向上,并且向
上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,
最小值是0.
当x=-3时，y=9
当x=-2时，y=4
在对称轴的左侧时,
y随着x的增大而减小.
当x=2时，y=4
当x=3时，y=9
在对称轴的右侧时,
y随着x的增大而增大.
（1）填表
（2）它与二次函数y=x2的图象有什么关系？你能根据表格中的数据作出猜想吗？
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
　
　
　
　
　
　
　
…　
用描点法画二次函数y=-x2的图象
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9　
4　
1　
0
1　
4　
9　
…　
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
y=-x?
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点.
二次函数y=-x2的图象
二次函数y=-x2的图象
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
y=-x?
在对称轴的右侧时,
y随着x的增大而减小.
在对称轴的左侧时,
y随着x的增大而增大.
当x= -3时,y= -9
当x= -2时,y= -4
当x=1时,y= -1
当x= 2时,y= -4
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),
顶点是它的最高点,开口向下,并且向下
无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,
最大值是0.
比较二次函数 y=x? 和 y= –x? 图象的异同
y=x?
y= –x?
抛物线
y=x?
y=-x?
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
y=x2与y=-x2的图象性质
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
y=x2
y=-x2
x
y
O
y
x
O
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口方向和位置
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
(除顶点外)
开口向下,在x轴下方
(除顶点外)
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
知识要点
y
O
x
y
O
x
二次函数y=ax2 (a≠0）的性质
例1.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1 则y1 y2.
2
y轴
向上
（0,0）
小
上
>
典例精析
例2. 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
<
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，
∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它
们的对称轴，
∴OA＝OB，
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
当堂练习
1.函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2.函数y=-3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
x
x
y
y
O
O
3 .已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= .
2
当堂练习
课堂小结
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
4.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.