北师大版 七年级上册3.5探索与表达规律(共25张PPT)

七年级上册（北师大）
第三章整式及加减
3.5探索与表达规律
方法一：第一个正方形用4根，每增加一个正方形增加3根，那么搭x个正方形就需要火柴棒
根。
方法二：把每一个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再减多算的根数，得到是
根。
还记得用火柴棒搭正方形时，你们是怎么计算火柴棒的根数吗？
复习回顾：
[4+3（x-1）]=3x+1
4x-（x-1）=3x+1
谁能快速数出跳棋棋盘上一共有多少个棋孔?
一
图形中的规律探索
情境引入：
这个是我们熟悉的跳棋棋盘。
分析：六角形棋盘可看作一正一反两个大等边三角形重叠而成。
解：六角形棋盘可看作一正一反两个大等边三角形重叠而成，大三角形每边上有13个棋孔，所以一个大三角形共有棋孔(1+2+3+…+13)=(1+13)×13÷2=91个，
剩下三个小三角形（见图），
共有棋孔:(1+2+3+4)×3
=10×3
=3(个)。
所以，跳棋盘上一共有棋孔91+30=121个。
2
（1）按图（1）方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子
呢？摆n张桌子呢？
…
图（1）
2
按图（1）方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子
呢？
摆n张桌子呢？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
6
8
2n+4
14
12
10
桌子张数
可坐人数
1
2
3
4
5
n
…
…
解：（1）2张桌子拼在一起可坐2×2+4=8人，3张桌子拼在一起可坐2×3+4=10人，那么n张桌子拼在一起可坐（4+2n）人；
2
（2）按图（2）方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子
呢？摆n张桌子呢？
图（2）
2
（2）按图（2）方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子
呢？摆n张桌子呢？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
桌子张数
可坐人数
1
2
3
4
5
n
…
6
10
4n+2
22
18
14
…
解：（1）2张桌子拼在一起可坐4×2+2=8人，3张桌子拼在一起可坐4×3+2=12人，那么n张桌子拼在一起可坐（4+2n）人；
下面是用棋子摆成的“小屋子”。摆第10个这样的“小屋子”需要多少棋子？摆第个这样的“小屋子”需要多少棋子？你是如何得到？
练一练：
该图的规律可以分两部分来看：屋顶的点的个数分别是1、1+2、1+2+2、1+2+2+2、…，即第n个小屋子的屋顶点的个数是2n
-1；
屋身的点的个数分别是4、8、12、…、即第n个图形的屋身是4n个
所以第n个小屋子共有(2n
-1
)+4n=
6n
-1
．
故摆n个这样的“小屋子“需要6n
-1枚棋子．
图形的变化，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．注意由特殊到一般的分析方法.
观察下面的日历，回答问题。
（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
9个数的和为中间数的9倍
二
日历上规律的探索
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
　
　
（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a；
解：任意框9个数，设中间的数为a，则左右两边数为a-1，a+1，上行邻数为（a-7），下行邻数为（a+7），左右上角邻数为（a-8），（a-6），左右下角邻数为（a+6），（a+8）之和为:
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律．
（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。
解：如图所示，设方框正中间的数为a，其余各数为a
－8，
a
－7，
a
－6，
a
－1，
a
＋1，
a
＋6，
a
＋7，
a
＋8．
第二行3个数的和＝(a
－1)＋
a
＋(a
＋1)＝3
a
．
第二列3个数的和＝(a
－7)＋
a
＋(a
＋7)＝3
a
．
a角线上3个数的和分别为(a
－6)＋
a
＋(a
＋6)＝3
a
，
(a
－8)＋
a
＋(a
＋8)＝3
a
由此可以发现：方框“十”字位上的3个数的和，对角线上3个数的和相等，且都等于正中间数的3倍．
a-8
a-7
a-6
a-1
a
a+1
a+6
a+7
a+8
如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律?如果改为“H”形框呢？
“十”字形：5个数的和是中间这个数的5倍
“H”形：7个数的和是中间这个数的7倍
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
　
　
想一想
2.你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
a-10
a-2
a+6
a
a+8
a+2
a-4
a-10+a-2+a+6+a+a+8+a+2+a-4
=7a
7个数的和是中间这个数的7倍
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
　
　
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
　
　
1
日历上三个数的位置如图1所示，这三个的
和为51，则其中最小的数是
.
2
日历上三个数的位置如图2所示，这三个的
和为42，则最大的数是
.
如图1
如图2
练一练：
9
20
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
　
　
3
日历上同一行上相邻三个数之和为48，则其
中最大的数是
.
4
日历上同一列上相邻三个数之和为48，则其
中最小的数是
.
5
在日历上圈出3×3个格子之和为162，最大的数是
,最小的数是
.
17
9
26
10
三
数与式中的规律探索
1
观察下列等式：
2＝2＝1×2
2＋4＝6＝2×3
2＋4＋6＝12＝3×4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
……
据此写出结果：
2+4+6+…+2n=
.
n×(n+1)
2
观察下列等式，第n个等式是
。
（1）13=12
（2）13
+23=32
（3）13
+23+33
=62
（4）13
+23+
33
+43
=102…
1.基本方法：
2.基本思想：
归纳总结：
观察
猜想
归纳
验证
特殊
特殊
一般
课堂练习：
1
观察下列一组数：1，4，9，…，则第4个数是________，第n个数是________.
．[]
2
如图是用火柴拼成的图形，则第n个图形需________根火柴棒
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
(1)
(2)
(3)
(4)
(2n＋1)
16
n2
3当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n个图形中白色小正方形和红色小正方形的个数总和等于____________．(用n表示，n是正整数)
…
n=1
n=1
n=3
n2＋4n
课堂小结：
这节课我们学习了哪些内容？
一
图形中的规律探索
二
日历上规律的探索
三
数与式中的规律探索
课外作业：
第104页
第16、17题。