青岛版数学八年级下册课件：6.3 特殊的平行四边形（共38张PPT）

特殊的平行四边形
两组对边
分别平行
平行
四边形
　　我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——
矩形
一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形
平行四边形
矩形的定义
四边形、平行四边形、矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
1、是平行四边形
2、有一个角为直角
选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、
矩形的关系
矩形的定义和性质
D
C
四边形
矩形
平行四边形
四边形
矩形
平行四边形
四边形
矩形
平行四边形
平行四边形
矩形
四边形
A
B
学习新知
矩形的性质的研究
我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有其它的特殊性质.你能说出矩形有哪些特殊性质吗?
四、矩形 两条对角线互相平分
三、矩形的两组对角分别相等
二、矩形的两组对边分别相等
一、矩形的两组对边分别平行
五、矩形的邻角互补
　　　请同学们用量角器度量你的课本每个角的度数,用直尺度量两条对角线的长度.并且根据你得到的数据提出你的猜想．
探究矩形的性质
A
C
B
D
O
(1)对边平行且相等;
(2)
(3)
AB CD ,
=
∥
AD BC
=
∥
∠A=∠C , ∠B=∠D
OA=OC，OB=OD
对角相等;
对角线互相平分;
　　矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
矩形是轴对称图形.
A
B
C
D
　　１：矩形的四个角都是直角
已知：四边形ABCD是矩形,
∠B=90°
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
D
C
B
A
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠B=90°
∴∠B=∠D=90° ∠B+∠C=180 °
∴∠B+ ∠ A=180°
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
性质
命题
已知：四边形ABCD是矩形，求证：AC = BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC = BD
　　2：矩形的对角线相等．
性质
命题
矩形的 两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形 的两条对角线相等
边
对角线
角
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴AD = BC ，CD = AB
∴AD ∥BC ，CD ∥AB
∴AC= BD
A
B
C
D
O
∴AO= CO ，OD = OB
矩形的性质
OA=OC，OB=OD
OA=OC=OB=OD
∠BAD=∠BCD =∠ABC=∠ADC= 90°
探究矩形的性质
A
C
B
D
O
(1)对边平行且相等;
(2)
(3)
AB CD ,
=
∥
AD BC
=
∥
∠A=∠C , ∠B=∠D
矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等
对角相等;
对角线互相平分;
且互相平分;
AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB=OD= AC= BD
O
D
C
B
A
相等的线段：
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
等腰三角形有：
△OAB △ OBC △OCD △OAD
直角三角形有：
Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD △OAD≌△OCB
已知四边形ABCD是矩形
集训营
　矩形具有而一般平行四边形不
具有的性质是 ( ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
小试身手
四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝_______ ㎝ OB=_______ ㎝
2.若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____ cm
矩形的面积＝_______ ㎝2
3. 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= _____cm
O
D
C
B
A
小试身手
过关练习:
1、矩形的两条边长是6、8,则矩形的对角线长是_________
2、一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：3，那么这个矩形的面积是__________
3、矩形的一条对角线与一边的夹角是35°，则对角线相交所成的锐角是____________
4、矩形中较短的边长为3.6cm，两条对角线相交的锐角为60°，则矩形对角线的长度是___________
5、矩形的边长是45cm和20cm，其中一个内角的平分线分较长边为两部分的边长是___________
2、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ）
A 菱形 B 平行四边形
C 矩形 D 不能确定
1、矩形ABCD中，对角线AC、BD把矩形分成（ ）个等腰三角形。
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
例题解析:
例1:矩形ABCD被两对角线分成四个小三角形，如果四个三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
变式练习:
矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，△BOC和△AOB的周长差是4cm，那么矩形各边的长是多少?
A
B
C
D
O
课后提高：
1、在矩形ABDC中， CE⊥BD，垂足为E，若∠DCE=3∠ECB，求∠ACE的度数。
2、如果矩形的一个内角平分线将它的一边分成3cm和5cm两部分，则它的面积是多少？
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
3cm
5cm
3cm
5cm
例题解析:
例1 已经:矩形ABCD的两条对角线相交于点0, ∠AOD=120°,
AB = 4cm, 求矩形对角线的长.
A D

B C
O
解:∵四边形ABCD是矩形
∴AC = BD( )
∴ OA= OC = AC
OB= OD = BD( )
矩形的对角线相等
∴ OA= OB
平行四边形的对角线互相平分
∵∠AOD=120°
∴∠AOB=180°－∠AOD = 60°
∴ △AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB=4cm
∴AC = 2OA=8cm.
例2 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
A D
B C
解： ∵ △AOB、 △BOC、 △COD
和△AOD四个三角形的周长和为86cm,
又∵
AC=BD=13cm,
∴ 　　AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)
=86－4×13=34(cm)
即矩形ABCD的周长等于34cm。
Ｏ
共同练习
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对线,AC,BD相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm.
求矩形对角线的长.
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
∴AC=BD,且
∵∠DAB=900,
∵∠AOD=1200,
第十九章 四边形
D
B
C
A
O
∴∠ODA=∠OAD=
矩形ABCD中，AB＝ 4，BC＝2，E是边CD上的一点，AE＝AB．求∠BEC的度数．
A
B
C
D
E
4.矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，
△BOC和△AOB的周长差是4cm，那么矩形各边的
长是多少?
4.矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，
△BOC和△AOB的周长差是4cm，那么矩形各边的
长是多少?
解? ∵AB + BC + CD + DA = 56，
（BC + BO + CO）－（AB + AO + BO）= 4，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴ AB + BC =28，BC－AB = 4，
∴ AD = BC =16，AB = CD =12．
对边平行
对角线互相平分
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的 ）.
AO = CO，BO = DO（平行四边形的 ）.
3.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且
∠AOD＝120°，你能说明AC＝2AB吗？
解:∵四边形ABCD是矩形
∴AC = BD( )
∴ OA= OC = AC
OB= OD = BD( )
矩形的对角线相等
∴ OA= OB
∴ △AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB
∴AC = 2OA=2AB.
平行四边形的对角线互相平分
∵∠AOD=120°
∴∠AOB=180°－∠AOD = 60°
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
O
A
B
C
D
公平,因为OA=OC=OB=OD
生活链接---投圈游戏
小明
小亮
　　芳草的哭泣:新民学校在建设绿色校园的过程中修建了一块长８米，宽６米的矩形绿草地，为方便师生参观，沿对角线修筑了一条卵石小道．但是……唉!
８米
６米
O
D
C
B
A
┛
　　　　在矩形ABCD中
　　OA=OC=OB=OD= AC= BD
在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线
直角三角形的性质：直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半。
你能从中得出直角三角形
的性质吗?
则有：OA= OB=OD= BD
练一练
D
C
B
A
┓
已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝;
(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,
BD＝_____㎝.
6
5
10
D
C
B
A
┓
已知 如图: △ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠，
BD是斜边AC上的中线
若BD=3㎝，则AC＝ ㎝
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，
BD＝ ㎝，∠BDC＝
3 判断△ABD形状：
判断△CBD形状：
6
5
10
120°

等边三角形
等腰三角形
训练营
已知：如图BE、CF是△ABC的两条高，M为BC的中点，分别连ME、MF
求证： (1)ME= BC (2)ME=MF（3）连EF，N是其中点，试猜测MN与EF的关系。
C
M
A
B
F
E
可以明智的运用知识，再现你的魅力！
如图 ,四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点，EF平分∠BED交BD于点F，
（1）猜想EF与BD具有怎样的关系？
（2）试证明你的猜想。
A
B
C
D
E
F
例1: 如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BOC=120°,AB=6㎝,求AC的长？
D
C
B
A
O
已知对角线长是8cm，两对角线的一个夹角∠AOD是120°， 求矩形的长BC与宽AB.
变式：
方法小结:如果矩形两对角
线的夹角是60°或120°,
则其中必有等边三角形.
D
C
B
A
┓
4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线
若BD=3㎝则AC＝ ㎝
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，
BD＝ ㎝，
6
5
10
小试身手
┓
H
E
F
D
C
B
A
如图，在△ABC中，D，E，F，分别是BC、AC、AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8㎝，则HE＝
8㎝
小试身手
1.为了庆祝五一劳动节，新民学校八年级（13）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用“串红”摆成两条对角线，如果一条对角线用了38盆“串红”，还需要从花房里运来多少盆“串红”？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？为什么？
生活链接
2.如图,用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面,则每块长方形地砖的长和宽分别是( )
（A）48cm,12cm; （B）48cm,16cm;
（C）44cm,16cm; （D）45cm,15cm.
60cm
D
我成长,我快乐,我收获
矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质1
矩形的对角线相等.
※ 矩形的性质2
※ 推 论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.