人教版数学八年级上册课件：14.3.2(1)公式法——用平方差公式分解因式（25张）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册课件：14.3.2(1)公式法——用平方差公式分解因式（25张） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 681.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-06 23:20:19 | ||
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文档简介
14.3.2(1) 公式法
——用平方差公式分解因式
洛阳双语学校数学教研组
预习与反馈
1、知识回顾：
2、确定公因式的方法：一看系数; 二看字母; 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分三步)：
第一步，确定公因式；第二步，求出另一个因式
第三步, 写成积的形式
1、因式分解:
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏项;
（3）多项式的首项取正号;
整式、积的形式
2、预习指导：
(1)预习提示：预习教材116——117页的内容；
（2）预习反馈：完成《四清导航》第66页 预习导航
（3）预习思考：
学习目标：
1．探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想。
2．会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
学习重点：
运用平方差公式来分解因式．
思考探究：
（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？
（2）这两个多项式有什么共同的特点？
（3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式
来解决这个问题吗？
你能将多项式 与多项式 分解因式吗？
新课精讲
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概括你的发现.
(a+b)(a-b) = a2-b2
a2-b2 =(a+b)(a-b)
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。
整式乘法
因式分解
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
互为逆运算
能用则用
理解平方差公式:
（1）平方差公式的结构特征是什么？
（2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
例3、分解因式:
(1) 4x2–9 ; (2) (x+p)2–(x+q)2.
分析：
在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，
即可用平方差公式分解因式.
在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2.
4x2–9
= (2x)2–32
= (2x+3)(2x–3).
(x+p)2 –(x+q) 2
=[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)]
=(2x+p+q)(p–q).
例4 、分解因式: (1)x4—y4; (2) a3b —ab.
分析:
(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式,再进一步分解.
解:(1) x4－y4
= （x2）2－（y2 ）2
= (x2+y2)(x2－y2)
= (x2+y2)(x+y)(x－y).
(2) a3b－ab
=ab(a2－ 1)
=ab(a+1)(a－1).
分解彻底
补充例题、将下列各式分解因式：
(1)(x－y)2－1
(1)(x－y)2－1
＝[ (x－y)＋1 ] [(x－y)－1 ]
＝(x－y＋1)(x－y－1)．
（2）xn+3-xn-1 =xn-1x4-xn-1
=xn-1(x4-1)
=xn-1(x2+1)(x2-1)
=xn-1(x2+1)(x +1)(x -1)
分解彻底
（2）xn+3-xn-1
在实数范围内分解因式：（3）x4-4; (4)2x4-50
解: (3)(x2+2)(x2-2)
解：(4)2（x4-25）
=(x2+2)(x+ )(x- )
= 2（x2+5）(x2-5)
=2（x2 +5）（x+ ）（x- ）
【规律总结】
分解因式问题，先考虑提取公因式，再考虑使用公式（如：平方差公式）。
凡是符合平方差公式左边特点的二项式，都可以运用平方差公式分解因式．
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?
(1) x2+y2 ; (2) x2－y2;
(3) －x2+y2; (4) －x2－y2.
2.分解因式:
(1)a2－ b2; (2)9a2－4b2;
(3) x2y－4y ; (4) －a4 +16.
(a+ b)(a - b )
(3a+2b)(3a-2b)
y(x+2)(x-2)
(4+a2)(2+a)(2-a)
课本117页练习题
【合作探究】
1、把下列各式分解因式：(2x－1)2－(x＋2)2；
解：原式＝[ (2x－1）＋（x＋2) ][ (2x－1）－（x+2) ]
＝(3x＋1)(x－3)．
2、分解因式（1）4m3n-16mn3；（2）(a-b)3-a+b
(1)、4mn(m+2n)(m-2n)
(2)、(a-b)(a-b+1)(a-b-1)
反馈练习
点拨精讲：先分解因式后计算出来，再约分。
小结测试
课本119页：2、4
作业布置
计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12
解：原式
=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+… +(2+1)(2-1)
=100+99+98+97 +… +2+1
=5050
一、预习与反馈
知识回顾 ：
预习效果反馈
1、 课后170页习题
2、《优化设计》快乐预习
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a－b)2=a2－2ab+b2
完全平方公式
思考：如何将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因式？
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a－b)2=a2－2ab+b2.
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2－2ab+b2=(a－b)2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式；
2、首尾平方乘积二倍；
一般地,利用公式a2-b2=(a+b)(a-b),或(a2±2ab+b2)=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法,叫做公式法.公式中的a, b可以是数,也可以是整式.
二、新课精讲
互为逆运算
例5 、分解因式：
(1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
解：(1)16x2+24x+9
= (4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.
(2) －x2+4xy－4y2
= － (x2－4xy+4y2)
= － [x2－2·x·2y+(2y)2]
= － (x－2y)2 .
例6 分解因式:
(1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2－12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.
解：(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2 .
(2)(a+b)2－12(a+b)+36
=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=(a+b－6)2.
练 习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4; (2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; (4)a2+ab+b2.
2.分解因式：
(1) x2+12x+36; (2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1; (4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3; (6) －3x2+6xy－3y2.
拓展：
例1：分解因式： (1)y2－4x(y－x)； (2)(a2＋b2)2－4a2b2.
解：(1)y2－4x(y－x)
＝y2－4xy＋4x2
＝(y－2x)2.
(2)(a2＋b2)2－4a2b2
＝(a2＋b2)2－(2ab)2
＝(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab)
＝(a＋b)2(a－b)2.
例2、分解因式： 36m2a－9m2a2－36m2
解：36m2a－9m2a2－36m2
＝－9m2(a2－4a＋4)
＝－9m2(a－2)2.
【规律总结】
分解因式问题，先考虑提取公因式，再考虑使用公式（如：完全平方公式）。
凡是符合完全平方公式左边特点的三项式，都可以运用完全平方公式分解因式．
总结归纳：
（1） 先提公因式（有的话）；
（2） 利用公式（可以的话）；
（3） 分解因式时要分解到不能分解为止.
①若为二项式，考虑用平方差公式；
②若为三项式，考虑用完全平方公式．
三、反馈练习
A
1．下列代数式中，是完全平方式的有(
)
③4y2－4y＋1；
①a2－4a＋4；
②9a2＋16b2－20ab；
A．①③
B．②④
C．③④
D．①⑤
2．把代数式 ax2－4ax＋4a 分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A
A．a(x－2)2
C．a(x－4)2
B．a(x＋2)2
D．a(x＋2)(x－2)
3 ． 把 多 项 式 2mx2 － 4mxy ＋ 2my2分 解 因 式 的 结 果是：
2m(x－y)2
4．把下列各式分解因式（1）2ab-a2 -b2+4；
（2）（2a+b）2-8ab
解：（1）(2+a-b)(2-a+b)； （2）（2a-b）2。
④6x2＋3x＋1；
⑤x2＋4xy＋2y2.
◆仔细做一做：
分解因式:(x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2).
◆创新应用:
已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2011的值.
◆综合拓展:
已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等边三角形.
四、小结测试
《练闯考》第89页第1—7题
五、作业
作业： P171页
第3(2)(4)(6)和第5题。
——用平方差公式分解因式
洛阳双语学校数学教研组
预习与反馈
1、知识回顾：
2、确定公因式的方法：一看系数; 二看字母; 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分三步)：
第一步，确定公因式；第二步，求出另一个因式
第三步, 写成积的形式
1、因式分解:
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏项;
（3）多项式的首项取正号;
整式、积的形式
2、预习指导：
(1)预习提示：预习教材116——117页的内容；
（2）预习反馈：完成《四清导航》第66页 预习导航
（3）预习思考：
学习目标：
1．探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想。
2．会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
学习重点：
运用平方差公式来分解因式．
思考探究：
（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？
（2）这两个多项式有什么共同的特点？
（3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式
来解决这个问题吗？
你能将多项式 与多项式 分解因式吗？
新课精讲
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概括你的发现.
(a+b)(a-b) = a2-b2
a2-b2 =(a+b)(a-b)
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。
整式乘法
因式分解
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
互为逆运算
能用则用
理解平方差公式:
（1）平方差公式的结构特征是什么？
（2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
例3、分解因式:
(1) 4x2–9 ; (2) (x+p)2–(x+q)2.
分析：
在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，
即可用平方差公式分解因式.
在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2.
4x2–9
= (2x)2–32
= (2x+3)(2x–3).
(x+p)2 –(x+q) 2
=[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)]
=(2x+p+q)(p–q).
例4 、分解因式: (1)x4—y4; (2) a3b —ab.
分析:
(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式,再进一步分解.
解:(1) x4－y4
= （x2）2－（y2 ）2
= (x2+y2)(x2－y2)
= (x2+y2)(x+y)(x－y).
(2) a3b－ab
=ab(a2－ 1)
=ab(a+1)(a－1).
分解彻底
补充例题、将下列各式分解因式：
(1)(x－y)2－1
(1)(x－y)2－1
＝[ (x－y)＋1 ] [(x－y)－1 ]
＝(x－y＋1)(x－y－1)．
（2）xn+3-xn-1 =xn-1x4-xn-1
=xn-1(x4-1)
=xn-1(x2+1)(x2-1)
=xn-1(x2+1)(x +1)(x -1)
分解彻底
（2）xn+3-xn-1
在实数范围内分解因式：（3）x4-4; (4)2x4-50
解: (3)(x2+2)(x2-2)
解：(4)2（x4-25）
=(x2+2)(x+ )(x- )
= 2（x2+5）(x2-5)
=2（x2 +5）（x+ ）（x- ）
【规律总结】
分解因式问题，先考虑提取公因式，再考虑使用公式（如：平方差公式）。
凡是符合平方差公式左边特点的二项式，都可以运用平方差公式分解因式．
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?
(1) x2+y2 ; (2) x2－y2;
(3) －x2+y2; (4) －x2－y2.
2.分解因式:
(1)a2－ b2; (2)9a2－4b2;
(3) x2y－4y ; (4) －a4 +16.
(a+ b)(a - b )
(3a+2b)(3a-2b)
y(x+2)(x-2)
(4+a2)(2+a)(2-a)
课本117页练习题
【合作探究】
1、把下列各式分解因式：(2x－1)2－(x＋2)2；
解：原式＝[ (2x－1）＋（x＋2) ][ (2x－1）－（x+2) ]
＝(3x＋1)(x－3)．
2、分解因式（1）4m3n-16mn3；（2）(a-b)3-a+b
(1)、4mn(m+2n)(m-2n)
(2)、(a-b)(a-b+1)(a-b-1)
反馈练习
点拨精讲：先分解因式后计算出来，再约分。
小结测试
课本119页：2、4
作业布置
计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12
解：原式
=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+… +(2+1)(2-1)
=100+99+98+97 +… +2+1
=5050
一、预习与反馈
知识回顾 ：
预习效果反馈
1、 课后170页习题
2、《优化设计》快乐预习
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a－b)2=a2－2ab+b2
完全平方公式
思考：如何将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因式？
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a－b)2=a2－2ab+b2.
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2－2ab+b2=(a－b)2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式；
2、首尾平方乘积二倍；
一般地,利用公式a2-b2=(a+b)(a-b),或(a2±2ab+b2)=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法,叫做公式法.公式中的a, b可以是数,也可以是整式.
二、新课精讲
互为逆运算
例5 、分解因式：
(1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
解：(1)16x2+24x+9
= (4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.
(2) －x2+4xy－4y2
= － (x2－4xy+4y2)
= － [x2－2·x·2y+(2y)2]
= － (x－2y)2 .
例6 分解因式:
(1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2－12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.
解：(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2 .
(2)(a+b)2－12(a+b)+36
=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=(a+b－6)2.
练 习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4; (2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; (4)a2+ab+b2.
2.分解因式：
(1) x2+12x+36; (2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1; (4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3; (6) －3x2+6xy－3y2.
拓展：
例1：分解因式： (1)y2－4x(y－x)； (2)(a2＋b2)2－4a2b2.
解：(1)y2－4x(y－x)
＝y2－4xy＋4x2
＝(y－2x)2.
(2)(a2＋b2)2－4a2b2
＝(a2＋b2)2－(2ab)2
＝(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab)
＝(a＋b)2(a－b)2.
例2、分解因式： 36m2a－9m2a2－36m2
解：36m2a－9m2a2－36m2
＝－9m2(a2－4a＋4)
＝－9m2(a－2)2.
【规律总结】
分解因式问题，先考虑提取公因式，再考虑使用公式（如：完全平方公式）。
凡是符合完全平方公式左边特点的三项式，都可以运用完全平方公式分解因式．
总结归纳：
（1） 先提公因式（有的话）；
（2） 利用公式（可以的话）；
（3） 分解因式时要分解到不能分解为止.
①若为二项式，考虑用平方差公式；
②若为三项式，考虑用完全平方公式．
三、反馈练习
A
1．下列代数式中，是完全平方式的有(
)
③4y2－4y＋1；
①a2－4a＋4；
②9a2＋16b2－20ab；
A．①③
B．②④
C．③④
D．①⑤
2．把代数式 ax2－4ax＋4a 分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A
A．a(x－2)2
C．a(x－4)2
B．a(x＋2)2
D．a(x＋2)(x－2)
3 ． 把 多 项 式 2mx2 － 4mxy ＋ 2my2分 解 因 式 的 结 果是：
2m(x－y)2
4．把下列各式分解因式（1）2ab-a2 -b2+4；
（2）（2a+b）2-8ab
解：（1）(2+a-b)(2-a+b)； （2）（2a-b）2。
④6x2＋3x＋1；
⑤x2＋4xy＋2y2.
◆仔细做一做：
分解因式:(x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2).
◆创新应用:
已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2011的值.
◆综合拓展:
已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等边三角形.
四、小结测试
《练闯考》第89页第1—7题
五、作业
作业： P171页
第3(2)(4)(6)和第5题。