人教版数学九年级上册课件：24.1.4.1-圆周角定理（27张）

24.1.4 圆周角定理
一. 复习引入:
1.圆心角的定义?
在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别相等。
顶点在圆心的角叫圆心角
2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距四者之间关系的一个结论，这个结论是什么？
四者间的关系定理：
知一得三
二、弧的度数与圆心角的关系
2. 1°的弧：一个周角是 °，把顶点在圆心的周角分成360等份时，每一份的圆心角是 °.
1.什么是等弧？
能够互相重合的弧是等弧。
（1）长度相等，（2）弯曲程度一样。
同样，圆周被分成360份时，每一份的弧就是 °的弧.即： 1°的
所对的弧就叫做 °的弧.
2. 弧的度数的表示方法：例：∠AOB=50°，则 的度数为50°，不能写成 =50°，否则，就出现了 = ∠AOB （角=弧）的情况.
（2）若 和 的度数相等，那么 吗？为什么？
（度数相等的弧不一定是等弧）
思考：（1）若 ，那么 和 的度数相等吗？为什么？
（“等弧”肯定出现在同圆或等圆中）
走进海洋世界
请问：站在圆心O与站在点C的人的视角（∠AOB 和∠ACB)有什么关系?站在点D、点C与点E的人的视角（∠ADB、 ∠ACB和∠AEB）又有什么关系呢?
玻璃
观察图中∠ACB、∠ADB和∠AEB与我们学过的圆心角有什么区别？
E
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？
（顶点在圆心的角叫做圆心角），今天我们要
学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
圆周角
二.圆周角的概念
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
条件一
条件二
缺一不可
●O
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
如图： ∠ABC为⊙O的一个圆周角。
辩一辩 判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
C
A
B
o
C
o
A
B
C
o
A
B
C
C
C
C
C
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
你发现圆周角相对圆心的位置关系有哪几种类型？
圆周角
A
B
o
C
o
A
B
C
o
A
B
C
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
量一量：
量出教科书84页图24.1—12中 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？
三 . 圆周角和圆心角的关系
猜想：
同弧所对的圆周角的度数没有变化， 并且它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。
为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置分三种情况来证明：
（1）圆心在圆周角的一边上；
（2）圆心在圆周角的内部；
（3）圆心在圆周角的外部
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
探究
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = ∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
A
B
C
D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
D
A
B
C
过点B作直径BD.由1可得:
∴ ∠ABC = ∠AOC.
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
巩固练习：
1、圆周角的两个特征：（1） ，
（2） 。
2、在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。
3、试找出下图中所有相等的
圆周角。

顶点在圆上
两边都与圆相交
一半
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠2=∠7
∠1=∠4
∠3=∠6
∠5=∠8
4、如图，AB是⊙O的直径 = ，∠A=30°，则∠BOD= 。
5、如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
60°
∠ACB=2∠BAC
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是 。
A
B
O
C1
C2
C3
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是 。
90°
180°
探究与思考：
推论
例1 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
2.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
CO= AB,
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB= ×180°= 90°.
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，
且CO= AB
∴ △ABC 为直角三角形.
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，
求∠BOC的度数。
⌒
⌒
2、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠BOC=84°，
求∠A的度数。
∠BOC =140°
∠A=21°
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ _；
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D
为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=______；
20°
50°
小结
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．
推论：
·
B
C1
O
C2
C3
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。
A
C
B
O
D
E
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
2
练一练
5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。
A
C
B
D
F
·
O
∴△ABC是锐角三角形
解：（1）AB=AC。
又∵DC=BD，∴AB=AC。
（2）△ABC是锐角三角形。
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，