重庆市凤鸣山中学2020—2021学年度上期半期
高
2020
级
数学
试题
考试说明:
1.考试时间:120分钟；2.试题总分150分；3.试卷页数4页
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.
）
1．已知集合，则=
A．
B．
C．
D．
2．不等式的一个充分不必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若，，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下面各组函数中是同一函数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
5．若关于的不等式的解集为则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．或
D．或
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
7．设函数，则的定义域为
A．
B．
C．
D．
8．已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
9．是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，
，都有，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.）
11．已知，则的值可能是（
）
A．
B．
C．
D．
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（
）
A．
B．函数是奇函数
C．任意一个非零有理数，对任意恒成立
D．存在三个点，使得为等边三角形
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．=_____________.
14．函数的递增区间为_____________.
15．已知，，且，则的最小值为______.
16．规定为不超过x的最大整数，对任意实数x，令，，.若，，则x的取值范围是________.
四、解答题（本大题共6个小题，共60分，解答应写出相应文字说明或演算步骤.）
17．（10分）已知全集，集合,.
（1）
；
（2）若集合，且，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数是上的偶函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数在上单调性；
19．（12分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).
（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
（2）当复工率k=0.6时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
20．（12分）已知函数，．
（1）当时，求满足的实数的范围；
（2）若对任意的恒成立，求实数的范围；
21．（12分）已知定义域为,对任意,都有,当时,
,.
（1）求;
（2）试判断在上的单调性,并证明;
（3）解不等式:.
22．（12分）定义在上的函数，如果满足对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界，已知函数．
（1）当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由．
（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．重庆市凤鸣山中学2020—2021学年度上期半期
高
2020
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数学
试题答案
1、选择题
1．C
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
2．A
【解析】
由得，即不等式的等价条件是，
则不等式的一个充分不必要条件一个是的一个真子集，
则满足条件是，
故选A.
3．D
【详解】
项，由，当，，所以错误；
项，由，当时，，所以错误；
项，由，当时，，所以错误；
项，由，，所以（不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不改变），所以正确.
故选：D.
4．A
【详解】
对于A，函数与的定义域均为，
且，所以两函数对应法则相同，故A正确；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为R，
所以两函数不是同一函数，故B错误；
对于C，函数的定义域为R，函数的定义域为，
所以两函数不是同一函数，故C错误；
对于D，函数的定义域为，
函数的定义域为，
所以两函数不是同一函数，故D错误.
故选：A.
5.B
【详解】
关于的不等式的解集为，
，且1，3是方程的两根，
根据韦达定理可得：，，
，，
在关于的不等式的两边同除以，
得，
不等式变为，
解得：
不等式的解集为：.
故选：B.
6．A
【详解】
，，在R上为增函数，且，
.
在R上为增函数，且，.
.
故选：A.
7．B
【详解】
由题意，函数满足，即，
所以函数满足且，解得，
即函数的定义域为，故选B．
8．C
【详解】
∵奇函数与偶函数，
.
又，①
，
.②
，得，
.
.
.
.
故选：C.
9．B
【详解】
因为函数在单调递增，
所以，解得，即
故选：
10．A
【详解】
解:因为函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称，
因为对任意，
，都有，
所以函数在上为减函数，
则，
解得：.
即实数的取值范围是.
故选：A.
11．BD
【详解】
由，得，则且.
当时,
=
=.
当且仅当即
时取等号.
当时,
=
=.
当且仅当即
时取等号.
综上，.
故选：B
D.
12．CD
【详解】
，不正确；
，偶函数，不正确；
，正确；
易知三点构成等边三角形，正确；
故选：CD
2、填空题
13．110
【解析】
由幂的运算法则及根式意义可知，
，故填.
14．
【详解】
由于在上递减，在上递增，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知，函数的递增区间为.
故答案为：
15．4
【详解】
，，，
可得，当且仅当时取等号．
，
或（舍去），
．
故的最小值为4.
故答案为：4．
16．
【详解】
因为,,即所以;
因为,,
所以,即,所以,又即，
解得:
综上:
.
故答案为:
3、解答题
17．（1）或；（2）.
【详解】
（1）由已知得，
∴或
∴
或
.
（2）
当时，即时，，满足，
当时，由题意，解得，
综上，实数的取值范围是.
18．（1）；（2）详见解析；
【解析】
（1）若函数是上的偶函数，则，
即，对任意实数恒成立，解得.
（2）由（1）得：，
函数在上为增函数，下证明：
设任意且，即
则
∵且，
∴，即，
于是函数在上为增函数.
19．（1），，；（2）；
【详解】
（1）由题意，，
即，，.
（2）
因为，所以，所以
当且仅当，即时，等号成立.
所以
故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元.
20．（1）；（2）；
【详解】
（1）当，
所以
得
整理得：
解得
（2）由对任意的恒成立
则对任意的恒成立
整理得对任意的恒成立
设，因为，则
所以对任意的恒成立，
设
则
而，当且仅当时，等号成立
所以
21．（1）（2）在上单调递减，证明见解析；（3）
【详解】
（1）由题意，令，得，解得
令，得，所以.
（2）函数在上单调递减，证明如下：
任取，且，
可得
，
因为，所以，所以
即，所以在上单调递减.
（3）令，得，∴
∴
∴，又在上的单调且
∴，∴.
∴，即不等式解集为.
22．（1），不是有界函数．
（2）．
【解析】
试题分析：
（1）当时，，．
设，，
则函数在上单调递增，
∴，
∴函数的值域为，
∴在的值域为．
∴不存在常数，都有成立，
∴函数在不是有界函数．
（2）由题意知在上恒成立，
∴在恒成立．
①当在恒成立时，
令，
则由原不等式可得对恒成立，
设，，
由单调性的定义可得在上单调递增，
∴，
∴．
②当在恒成立时，
令，则由原不等式得对恒成立，
设，，
由函数单调性的定义可得在上单调递减，
∴，
∴.
综上．
∴实数的取值范围．
