人教版数学八年级上册导学案：11.1与三角形有关的线段（无答案）

与三角形有关的线段
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
认识三角形，以及三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形，
理解并会应用三角形三边间的关系．
理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高基本作图能力，并能运用图形解决问题．
通过作图、观察、比较、描述图形等数学活动，感受数学的严谨性，图形中蕴含的规律性，提高学习数学的热情及大担探究新知识的创新能力．
通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．
重点：
三角形三边间的关系；
三角形的高、中线、角平分线的概念，并能在具体的三角形中画出它们；
三角形稳定性在生产、生活中的实际应用．
难点：
用三角形三边关系判定三条线段可否组成三角形．
在各种三角形中作出它们的高．
学习策略：
通过观察、画图等实践过程认识三角形的三边间的关系及高、中线与角平分线，经历实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．
二、学习与应用
（一）三角形的面积=　　　
　　　　
（二）两个完全一样的三角形能拼　　　　　　　
（三）一个三角形底是5cm，高是7cm，面积是　　　　　　　．
（四）一个三角形的面积是4.8m2，与它等底等高的平行四边形的面积是　　　　　　　．
（五）有一个三角形花坛，想把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　
（六）直角三角形底3，
高4，
斜边5，
求面积　　　　　　　　
知识点一：三角形
（一）三角形有关概念
（1）三角形的定义：由不在同一条　　　　上的三条线段　　　　　　顺次相接组成的图形叫做三角形．
（2）三角形的基本元素：
①三角形的三条边：即组成三角形的　　　　　　；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的　　　　　　；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的　　　　　　．
③三角形的顶点：即相邻两边的公共　　　　　　．
（3）三角形的特征：
①三条线段不在同一直线上，且　　　　　　顺次相接；
②三角形是一个　　　　　　的图形．
（4）三角形的符号：
①三角形用符号“　　　”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“　　　　　　”，读作“三角形ABC”；注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义
②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示．
（二）三角形的分类
（1）按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不__________的三角形
②等腰三角形：有两条边　　　　　的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做　　　　　，另外一边叫做　　　　　，两腰的夹角叫　　　　　，腰与底边夹角叫做　　　　　．
③等边三角形：三边都__________的三角形
（2）按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是　　　　　的三角形
②钝角三角形：有一个内角为　　　　　的三角形
知识点二：三角形三边间的关系
定理：三角形任意两边之和　　
　　第三边．
定理的数学语言：如图1，
|
b－c
|推论：三角形任意两边之差　　　　第三边．
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间　　　　最短．
（2）给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形．判断方法常用的有两种（设a、b、c为三边的长）：
①a+b>c，　　
　　，c+a>b都能成立，则以a、b、c为三边的长可以构成一个三角形（此法一般不用）；
②|b－c|　长为a，b，c的三条线段可组成三角形；或若c是最长的线段，且　　　　　　　，则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形．
（3）已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是　　　　　　　　　．
（4）证明线段之间的不等关系．
知识点三：三角形的高、中线、角平分线
（一）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的　　
　　所在直线作垂线，　　　　和　　　　之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图2，AD是△ABC的高，或AD是△ABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°．
注意：AD是△ABC的高∠ADB＝∠ADC＝　　　°（或AD⊥BC于D）；
要点诠释：
（1）三角形的高是　　　　　；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的_______．
（3）三角形的三条高：
①锐角三角形的三条高在三角形　
部，三条高的交点也在三角形　
　部；
②钝角三角形有两条高在三角形的　
　部，且三条高的交点在三角形的
　
部；
③直角三角形三条高的交点是直角三角形的　　　　．
（二）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边　　　　　的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如图3，AD是△ABC的中线或AD是△ABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC．
即AD是△ABC的中线BD＝______＝______．
要点诠释：
（1）三角形的中线是　　　　　　；
（2）三角形三条中线全在三角形　　　部；
（3）三角形三条中线交于三角形　　　部一点，这一点叫三角形的　　　　　　．
（4）中线把三角形分成面积　　　　
的两个三角形．
（三）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的　
　　和　　
　　
之间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形的角平分线的数学语言：
如图4，AD是△ABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上．
即AD是△ABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝______
（或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC）
要点诠释：
（1）三角形的角平分线是　　　　　　；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的　　　部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形　
　　部一点，这一点叫做三角形的　　　
．
（4）可以用　　
　或　　
　画三角形的角平分线．
知识点四：三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的　　　　　．
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个　
　角不会改变，大小固定指三条
　　　　
　不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．
类型一：三角形的概念
例1．图5中以BC为边的三角形有几个？用符号表示这些三角形．
思路点拨：三角形有　　个顶点，在给定一条边BC后，只须再找一个顶点就可以了．
解析：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
举一反三：
【变式1】在图5中，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．
答案：
【变式2】在图5中，具有公共边AB的三角形有几个？用符号表示这些三角形．
答案：
类型二：三角形三边关系
例2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（
）
A．3cm，12cm，8cm
B．6cm，8cm，15cm
C．2.5cm，3cm，5cm
D．6.3cm，6.3cm，12.6cm
思路点拨：本例可用三角形三边之间的关系判定三角形，结合排除法使问题得以解决．
解析：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
举一反三：
【变式1】已知三条线段的比是：①1：3：4；②1：2：3；③1：4：6；④3：3：6；⑤6：6：10；⑥3：4：5．其中可构成三角形的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：
【变式2】若五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，则以其中三条线段为边可构成　　　　个三角形.
答案：
【变式3】已知三角形的两边长分别4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（
）
A．13cm　　
B．6cm　　
C．5cm　　
D．4cm
思路点拨：
选取的第三边一定小于　　　　　　而大于　　　　　　的绝对值．
解析：
答案：
【变式4】已知a、b、c是△ABC的三边，化简|a+b-c|+|b-a-c|-|c+b-a|．
思路点拨：运用三角形三边的关系确定绝对值内式子的符号，然后根据绝对值的法则去绝对值．
答案：
☆【变式5】用7根火柴棒首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数　　　　　．
思路点拨：
解题的关键是确定出最大边的范围．
解析：
答案：
例3．若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c的取值范围是　　　　　．
思路点拨：三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是　　　　　　　　　　．
解析：
三角形的两边长分别是2和7，
则第三边长c的取值范围是　　　
　　　　　，即　　　　　　　　　　．
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
举一反三：
【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6，则周长L的取值范围是（
）
A．6B．6C．11D．12答案：
【变式2】已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，且它的周长大于16cm，则第三边长为　　　　．
答案：
☆例4．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．
思路点拨：本题分　　　种情况讨论，但讨论的结果不一定有两个正确答案，要加以合理取舍．
解析：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
举一反三：
【变式】小芳要画一个有两边长分别为5cm和6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（
）
A．16cm　　B．17cm　　C．16cm或17cm　　D．11cm
答案：
类型三：三角形的高、中线、角平分线
例5．如图6，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（
）
A．150°
B．130°
C．120°
D．100°
思路点拨：本题主要考查对三角形的高的性质、互余和互补角的性质以及小学学过的常识性的问题------三角形的内角和是　　　　．
解析：
答案：
总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
举一反三：
【变式1】如图7所示，在△ABC中，∠C-∠B=90°，AE是∠BAC的平分线，求∠AEC的度数．
答案：
【变式2】在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，
则∠DAE的度数为　　　　
．
答案：
【变式3】如图8所示，已知AD，AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则△ABD与△ACD的周长之差为　　　，△ABD与△ACD的面积关系为　　
　．
解析：
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．
（一）把所学的三角形有关的线段知识与前面已学过的相关知识相结合，形成系统的知识网络．
（二）应用三边关系判断三条线段是否构成三角形，只要两条　　　的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三
条线段能构成一个三角形．
（三）已知三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是　　　　　　．
（四）数形结合是学习数学有效的方法之一，在学习这部分知识的过程中，需要多画图，在图形中理解知识的含义，弄清各部分之间的关系．
我的收获
习题整理
题目或题目出处
所属类型或知识点
分析及注意问题
好题
错题
注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本