人教版数学八年级上册导学案：11.3多边形及其内角和（表格式 无答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册导学案：11.3多边形及其内角和（表格式 无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 933.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-07 19:49:59 | ||
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文档简介
多边形及其内角和
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
了解多边形，多边形的对角线，正多边形等有关的概念；
掌握多边形内角和与外角和公式；
灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。
重点难点：
重点：多边形内角和及外角和公式的灵活应用。
难点：多边形内角和公式的推导；多边形内角和及外角和公式的应用。
学习策略：
通过把多边形转化为三角形体会转化思想在几何中的运用，探索多边形内角和公式，同时体会从特殊到一般的认识问题的方法。
二、学习与应用
（一）三角形的内角和等于 ，外角和是 。
（二）三角形的一个 等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角。
（三）三角形任意两边 大于第三边，三角形任意两边 小于第三边。
知识点一：多边形及有关概念
（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段 相接组成的图形叫做多边形。
（1）多边形的一些要素：
边：组成多边形的各条
叫做多边形的边。
顶点：每相邻两条边的公共 叫做多边形的顶点。
内角：多边形
两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有
个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的
组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：
①一些线段（多边形的边数是大于等于 的正整数）；
②首尾顺次相连，二者缺一不可；
③理解时要特别注意“在同一 内”这个条件，其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间多边形。
（二）多边形的分类：
（1）多边形可分为 多边形和 多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为 多边形，反之为 多边形（见图1）。本章所讲的多边形都是指 多边形。
凸多边形
凹多边形
图1
（2）多边形通常还以 命名，多边形有n条边就叫做 边形。三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形。
知识点二：正多边形
各个角都 ，各条边都 的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正十二边形
要点诠释：
、 是正多边形的必备条件，二者缺一不可。如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是___ _。
知识点三：多边形的对角线
多边形的对角线：连接多边形
的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。如图2，
为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：
（1）从n边形一个顶点可以引 条对角线，将多边形分成 _ _个三角形。
（2）n边形共有 __条对角线。
证明：过一个顶点有 条对角线（n≥3的正整数），又∵共有 个顶点，∴共有 对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了 次，
∴凸n边形，共有 条对角线。
知识点四：多边形的内角和公式
（一）公式：边形的内角和为。
（二）公式的证明：
证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成 个三角形，这 个三角形的内角和为 ，再减去一个 角，即得到边形的内角和为 。
证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作 条对角线，并且边形被分成 个三角形，这 个三角形内角和恰好是边形的 ，等于 。
证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得 个三角形，边形内角和等于这 个三角形的内角和减去所取的一点处的一个 角的度数，即
。
要点诠释：
（1）注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为
问题来解决的基础思想。
（2）内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数。
知识点五：多边形的外角和公式
（1）公式：多边形的外角和等于
。
（2）多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是
，所以边形的内角和加外角和为
，外角和等于
。注意：n边形的外角和恒等于
，它与边数的多少无关。
要点诠释：
（1）外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数。
（2）多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①n边形的内角和等于
（n≥3，n是正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加
。
②多边形的外角和等于
，与边数的多少无关。
☆知识点六：镶嵌的概念和特征
（一）定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分
覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。
（二）实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于
；相邻的多边形有
。
（三）常见的一些正多边形的镶嵌问题：
（1）用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为
。
（2）只用一种正多边形镶嵌地面
对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的
的特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个
角
°时，就能铺成一个平面图形。
事实上，正n边形的每一个内角为
，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝
，由此导出k＝＝2+
，而k是正整数，所以n只能取
。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正
角形、正方形、正
边形的地砖可以用。
注意：任意四边形的内角和都等于
。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。
（3）用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个
角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：
又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角
。
类型一：多边形内角和及外角和定理应用
例1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？
思路点拨：本题实际告诉了这个多边形的内角和是
。
解析：
总结升华：
___________________________________________________________________
举一反三：
☆【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数。
答案：
【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？
答案：
☆☆【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
答案：
类型二：多边形对角线公式的运用
例2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）。你能算出一共需要进行多少场比赛吗？
思路点拨：本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形_________条数的求法，
即多边形的对角线条数加上边数。如图：
解析：
总结升华：
___________________________________________________________________
举一反三：
【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ ）。
A．6
B．7
C．8
D．9
答案：
【变式2】一个十二边形有几条对角线。
解析：
总结升华：
___________________________________________________________________
类型三：可转化为多边形内角和问题
☆例3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
思路点拨：
设法将这几个角转移到____________中，然后利用多边形内角和公式求解。
解析：
总结升华：
___________________________________________________________________
举一反三：
【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=
。
答案：
【变式2】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
解析：
类型四：实际应用题
☆例4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？
思路点拨：根据多边形的___________定理解决。
解析：
总结升华：
___________________________________________________________________
举一反三：
☆【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了
m。
答案：
总结升华：
___________________________________________________________________
【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。
答案：
【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE。
按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量。
这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由。
解析：
类型五：镶嵌问题
例5．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。
（1）正方形和正八边形；
（2）正三角形和正十二边形；
（3）正三角形、正方形和正六边形。
思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。
解析：
总结升华：
___________________________________________________________________
举一反三：
【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
答案：
【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
（一）内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少。
每增加一条边，内角的和就增加
（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的
倍。
（二）多边形外角和恒等于
，与边数的多少无关。
（三）多边形最多有
个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有
个钝角，最少没有钝角。
（四）在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法。
（五）在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决。
三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用。
我的收获
习题整理
题目或题目出处
所属类型或知识点
分析及注意问题
好题
错题
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
了解多边形，多边形的对角线，正多边形等有关的概念；
掌握多边形内角和与外角和公式；
灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。
重点难点：
重点：多边形内角和及外角和公式的灵活应用。
难点：多边形内角和公式的推导；多边形内角和及外角和公式的应用。
学习策略：
通过把多边形转化为三角形体会转化思想在几何中的运用，探索多边形内角和公式，同时体会从特殊到一般的认识问题的方法。
二、学习与应用
（一）三角形的内角和等于 ，外角和是 。
（二）三角形的一个 等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角。
（三）三角形任意两边 大于第三边，三角形任意两边 小于第三边。
知识点一：多边形及有关概念
（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段 相接组成的图形叫做多边形。
（1）多边形的一些要素：
边：组成多边形的各条
叫做多边形的边。
顶点：每相邻两条边的公共 叫做多边形的顶点。
内角：多边形
两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有
个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的
组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：
①一些线段（多边形的边数是大于等于 的正整数）；
②首尾顺次相连，二者缺一不可；
③理解时要特别注意“在同一 内”这个条件，其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间多边形。
（二）多边形的分类：
（1）多边形可分为 多边形和 多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为 多边形，反之为 多边形（见图1）。本章所讲的多边形都是指 多边形。
凸多边形
凹多边形
图1
（2）多边形通常还以 命名，多边形有n条边就叫做 边形。三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形。
知识点二：正多边形
各个角都 ，各条边都 的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正十二边形
要点诠释：
、 是正多边形的必备条件，二者缺一不可。如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是___ _。
知识点三：多边形的对角线
多边形的对角线：连接多边形
的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。如图2，
为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：
（1）从n边形一个顶点可以引 条对角线，将多边形分成 _ _个三角形。
（2）n边形共有 __条对角线。
证明：过一个顶点有 条对角线（n≥3的正整数），又∵共有 个顶点，∴共有 对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了 次，
∴凸n边形，共有 条对角线。
知识点四：多边形的内角和公式
（一）公式：边形的内角和为。
（二）公式的证明：
证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成 个三角形，这 个三角形的内角和为 ，再减去一个 角，即得到边形的内角和为 。
证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作 条对角线，并且边形被分成 个三角形，这 个三角形内角和恰好是边形的 ，等于 。
证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得 个三角形，边形内角和等于这 个三角形的内角和减去所取的一点处的一个 角的度数，即
。
要点诠释：
（1）注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为
问题来解决的基础思想。
（2）内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数。
知识点五：多边形的外角和公式
（1）公式：多边形的外角和等于
。
（2）多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是
，所以边形的内角和加外角和为
，外角和等于
。注意：n边形的外角和恒等于
，它与边数的多少无关。
要点诠释：
（1）外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数。
（2）多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①n边形的内角和等于
（n≥3，n是正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加
。
②多边形的外角和等于
，与边数的多少无关。
☆知识点六：镶嵌的概念和特征
（一）定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分
覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。
（二）实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于
；相邻的多边形有
。
（三）常见的一些正多边形的镶嵌问题：
（1）用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为
。
（2）只用一种正多边形镶嵌地面
对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的
的特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个
角
°时，就能铺成一个平面图形。
事实上，正n边形的每一个内角为
，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝
，由此导出k＝＝2+
，而k是正整数，所以n只能取
。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正
角形、正方形、正
边形的地砖可以用。
注意：任意四边形的内角和都等于
。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。
（3）用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个
角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：
又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角
。
类型一：多边形内角和及外角和定理应用
例1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？
思路点拨：本题实际告诉了这个多边形的内角和是
。
解析：
总结升华：
___________________________________________________________________
举一反三：
☆【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数。
答案：
【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？
答案：
☆☆【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
答案：
类型二：多边形对角线公式的运用
例2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）。你能算出一共需要进行多少场比赛吗？
思路点拨：本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形_________条数的求法，
即多边形的对角线条数加上边数。如图：
解析：
总结升华：
___________________________________________________________________
举一反三：
【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ ）。
A．6
B．7
C．8
D．9
答案：
【变式2】一个十二边形有几条对角线。
解析：
总结升华：
___________________________________________________________________
类型三：可转化为多边形内角和问题
☆例3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
思路点拨：
设法将这几个角转移到____________中，然后利用多边形内角和公式求解。
解析：
总结升华：
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举一反三：
【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=
。
答案：
【变式2】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
解析：
类型四：实际应用题
☆例4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？
思路点拨：根据多边形的___________定理解决。
解析：
总结升华：
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举一反三：
☆【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了
m。
答案：
总结升华：
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【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。
答案：
【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE。
按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量。
这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由。
解析：
类型五：镶嵌问题
例5．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。
（1）正方形和正八边形；
（2）正三角形和正十二边形；
（3）正三角形、正方形和正六边形。
思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。
解析：
总结升华：
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举一反三：
【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
答案：
【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
（一）内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少。
每增加一条边，内角的和就增加
（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的
倍。
（二）多边形外角和恒等于
，与边数的多少无关。
（三）多边形最多有
个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有
个钝角，最少没有钝角。
（四）在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法。
（五）在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决。
三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用。
我的收获
习题整理
题目或题目出处
所属类型或知识点
分析及注意问题
好题
错题