人教版数学九年级下册 第28章 28.2解直角三角形及其应用同步测试试题（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册 第28章 28.2解直角三角形及其应用同步测试试题（word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 281.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-07 18:37:05 | ||
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文档简介
解直角三角形及其应用同步测试试题（一）
一．选择题
1．已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东57°方向航行．离开港口1小时后，则两船相距（ ）
A．8海里
B．8海里
C．16海里
D．24海里
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝2BC，则tan∠ABD的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，则sin∠BAC的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，则AB的长度为（ ）
A．2m
B．4m
C．4m
D．6m
5．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）
A．150m
B．150m
C．150m
D．100m
6．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：，堤高BC＝10m．则坡面AB的长度是（ ）
A．15m
B．20m
C．20m
D．10m
7．如图，一艘渔船从点A出发，沿正南方向航行了半小时到达点B，再沿南偏西60°方向航行了半小时到达点C，此时测得码头D在C的正东方向，该渔船的速度为60海里/时，则B，D两点间的距离为（ ）
A．10海里
B．15海里
C．30海里
D．90海里
8．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan∠AOC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52.5°，BC＝5米，CD＝35米，DE＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30）（ ）
A．7.6米
B．27.5米
C．30.5米
D．58.5米
10．如图，校园内有两栋教学楼求真楼AB和行知楼CD，已知CD的高度为21米，为测量AB的高度，小诚先在行知楼顶端D处测得求真楼顶端A处的仰角为14°，然后下楼从行知楼底部点C出发，先沿坡度为1：2.4的斜坡行走2.6米到达点E，再沿水平方向前进47.6米到达求真楼底端点B（A，B，C，D，E在同一平面内），则求真楼AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
A．31.5米
B．32.5米
C．33.5米
D．34.5米
二．填空题
11．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是
m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．
12．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则sin∠A＝
．
13．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是
．
14．如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠ACB的度数为
．
15．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是
m．
三．解答题
16．根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6．
17．（1）如图1所示，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB和BC的长．
（2）如图2，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
18．如图，A市北偏东30°方向有一旅游景点M，在A市北偏东60°的公路上向前行1000米到C处，测得M位于C的北偏西15°，试求景点M到C处的距离MC及景点M到公路AC的距离MN（结果保留根号）．
19．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45°，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31°，已知斜坡DE的坡度3：4，DE＝10米，DC＝22米，求宣传牌AB的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，1小时后达到B处，
过点B作BC⊥从港口A出发向南偏东57°方向航行的航向于点C，
由题意得，AB＝16海里，∠BAC＝27°+33°＝60°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴AC＝AB×cos∠BAC＝8（海里），
∴另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东57°方向航行．离开港口1小时后，达到C处，
∴BC＝AB×sin∠BAC＝8（海里），
故选：A．
2．【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AB＝2BC，
∴tan∠ABD＝tan∠C＝＝2，
故选：A．
3．【解答】解：连接BC，如图：
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：B．
4．【解答】解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，
∴＝，
则AC＝4（m），
故AB＝＝＝4（m）．
故选：C．
5．【解答】解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，OA＝300m，
∴AB＝OA＝150（m），
故选：C．
6．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度i＝1：，
∴＝，即＝，
解得，AC＝10，
由勾股定理得，AB＝＝20（m），
故选：C．
7．【解答】解：由题意可得，AB＝BC＝60×＝30（海里），
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝15（海里），
即点B、D之间的距离为15海里，
故选：B．
8．【解答】解：连接BC，
由题意可得：OB＝OC＝BC，
则△OBC是等边三角形，
故tan∠AOC＝tan60°＝．
故选：D．
9．【解答】解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
∴GF＝BC＝5，
∵山坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DF＝3k，CF＝4k，
∴CD＝5k＝35，
∴k＝7，
∴DF＝21，BG＝CF＝28，
∴EG＝GF+DF+DE＝5+21+19＝45，
∵∠AED＝52°，
∴AG＝EGtan52°≈45×1.30＝58.5，
∴AB＝30.5米，
答：铁塔AB的高度约为30.5米．
故选：C．
10．【解答】解：过D作DF⊥AB于F，延长BE交CD于G，如图所示：
由题意得：∠ADF＝14°，∠ABG＝∠BGD＝∠BFD＝∠AFD＝90°，
∴四边形BGDF是矩形，
∴BF＝DG，DF＝BG，
∵斜坡CE＝2.6米，坡度为1：2.4，
∴CG＝HE＝1（米），EG＝CH＝2.4（米），
∴DF＝BG＝BE+EG＝47.6+2.4＝50（米），BF＝DG＝CD﹣CG＝21﹣1＝20（米），
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝，
∴AF＝DF×tan14°≈50×0.25＝12.5（米），
∴AB＝AF+BF＝12.5+20＝32.5（米），
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：在直角三角形中，sinA＝，
则BC＝ABsinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，
＝0.801≈0.8（m），
故答案为：0.8．
12．【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
13．【解答】解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：
∵DB＝CK＝2，DB∥CK，
∴四边形CDBK是平行四边形，
∴CD∥BK，
∴∠AOC＝∠ABK，
过点K作KH⊥AB于H．
∵AB＝＝，S△ABK＝AK4＝ABKH＝20，
∴HK＝＝，
∵BK＝＝2，
∴BH＝＝＝，
∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，
故答案为：．
14．【解答】解：由题意得：∠BAC＝31°，∠CBD＝45°，
∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°﹣31°＝14°，
故答案为：14°．
15．【解答】解：∵坡比i＝tan∠CAB＝＝＝，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵BC＝5m，
∴AB＝2BC＝10m，
故答案为：10．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2，
∴c＝＝4，
∴sinA＝＝，sinB＝＝，
∴∠A＝60°，∠B＝30°．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，
∴sinA＝＝，sinB＝＝，
∴a＝3，b＝3．
17．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H.
∵∠AHC＝90°，∠C＝45°，
∴AH＝HC＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠AHB＝90°，
∴AB＝2AH＝2，
∴BH＝AH＝，
∴BC＝BH+CH＝+．
（2）在Rt△BAD中，∵tan∠BAD＝，AD＝12，
∴＝，
∴BD＝9，
∵BC＝14，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
∴AC＝＝＝13，
∴sinC＝＝．
18．【解答】解：由题意可知：∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠MCN＝15°+60°＝75°，
∴∠AMC＝∠MCN﹣∠MAC＝75°﹣30°＝45°，
过C作CH⊥AM交AM于点H，如图所示：
在Rt△ACH中，∠MAC＝30°，AC＝1000m，
∴HCAC＝500（m），AH＝HC＝500（m），
在Rt△HMC中，，
∴MN，
即：，
∴，
即MC的长度为米，MN的长度为米．
19．【解答】解：过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，
则CF＝EG，CG＝EF，
在Rt△EFD中，∵斜坡DE的坡度3：4，DE＝10米，
∴设EF＝3x米，DF＝4x米，
∴DE＝＝5x＝10，
∴x＝2，
∴EF＝6米，DF＝8米，
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
∴BC＝CD＝22米，
∴BG＝BC﹣CG＝22﹣6＝16（米），
在Rt△AEG中，AG＝EGtan31°＝30×0.6＝18（米），
∴AB＝AG﹣BG＝18﹣16＝2（米），
答：宣传牌AB的高度为2米．
一．选择题
1．已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东57°方向航行．离开港口1小时后，则两船相距（ ）
A．8海里
B．8海里
C．16海里
D．24海里
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝2BC，则tan∠ABD的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，则sin∠BAC的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，则AB的长度为（ ）
A．2m
B．4m
C．4m
D．6m
5．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）
A．150m
B．150m
C．150m
D．100m
6．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：，堤高BC＝10m．则坡面AB的长度是（ ）
A．15m
B．20m
C．20m
D．10m
7．如图，一艘渔船从点A出发，沿正南方向航行了半小时到达点B，再沿南偏西60°方向航行了半小时到达点C，此时测得码头D在C的正东方向，该渔船的速度为60海里/时，则B，D两点间的距离为（ ）
A．10海里
B．15海里
C．30海里
D．90海里
8．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan∠AOC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52.5°，BC＝5米，CD＝35米，DE＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30）（ ）
A．7.6米
B．27.5米
C．30.5米
D．58.5米
10．如图，校园内有两栋教学楼求真楼AB和行知楼CD，已知CD的高度为21米，为测量AB的高度，小诚先在行知楼顶端D处测得求真楼顶端A处的仰角为14°，然后下楼从行知楼底部点C出发，先沿坡度为1：2.4的斜坡行走2.6米到达点E，再沿水平方向前进47.6米到达求真楼底端点B（A，B，C，D，E在同一平面内），则求真楼AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
A．31.5米
B．32.5米
C．33.5米
D．34.5米
二．填空题
11．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是
m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．
12．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则sin∠A＝
．
13．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是
．
14．如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠ACB的度数为
．
15．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是
m．
三．解答题
16．根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6．
17．（1）如图1所示，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB和BC的长．
（2）如图2，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
18．如图，A市北偏东30°方向有一旅游景点M，在A市北偏东60°的公路上向前行1000米到C处，测得M位于C的北偏西15°，试求景点M到C处的距离MC及景点M到公路AC的距离MN（结果保留根号）．
19．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45°，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31°，已知斜坡DE的坡度3：4，DE＝10米，DC＝22米，求宣传牌AB的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，1小时后达到B处，
过点B作BC⊥从港口A出发向南偏东57°方向航行的航向于点C，
由题意得，AB＝16海里，∠BAC＝27°+33°＝60°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴AC＝AB×cos∠BAC＝8（海里），
∴另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东57°方向航行．离开港口1小时后，达到C处，
∴BC＝AB×sin∠BAC＝8（海里），
故选：A．
2．【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AB＝2BC，
∴tan∠ABD＝tan∠C＝＝2，
故选：A．
3．【解答】解：连接BC，如图：
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：B．
4．【解答】解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，
∴＝，
则AC＝4（m），
故AB＝＝＝4（m）．
故选：C．
5．【解答】解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，OA＝300m，
∴AB＝OA＝150（m），
故选：C．
6．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度i＝1：，
∴＝，即＝，
解得，AC＝10，
由勾股定理得，AB＝＝20（m），
故选：C．
7．【解答】解：由题意可得，AB＝BC＝60×＝30（海里），
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝15（海里），
即点B、D之间的距离为15海里，
故选：B．
8．【解答】解：连接BC，
由题意可得：OB＝OC＝BC，
则△OBC是等边三角形，
故tan∠AOC＝tan60°＝．
故选：D．
9．【解答】解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
∴GF＝BC＝5，
∵山坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DF＝3k，CF＝4k，
∴CD＝5k＝35，
∴k＝7，
∴DF＝21，BG＝CF＝28，
∴EG＝GF+DF+DE＝5+21+19＝45，
∵∠AED＝52°，
∴AG＝EGtan52°≈45×1.30＝58.5，
∴AB＝30.5米，
答：铁塔AB的高度约为30.5米．
故选：C．
10．【解答】解：过D作DF⊥AB于F，延长BE交CD于G，如图所示：
由题意得：∠ADF＝14°，∠ABG＝∠BGD＝∠BFD＝∠AFD＝90°，
∴四边形BGDF是矩形，
∴BF＝DG，DF＝BG，
∵斜坡CE＝2.6米，坡度为1：2.4，
∴CG＝HE＝1（米），EG＝CH＝2.4（米），
∴DF＝BG＝BE+EG＝47.6+2.4＝50（米），BF＝DG＝CD﹣CG＝21﹣1＝20（米），
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝，
∴AF＝DF×tan14°≈50×0.25＝12.5（米），
∴AB＝AF+BF＝12.5+20＝32.5（米），
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：在直角三角形中，sinA＝，
则BC＝ABsinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，
＝0.801≈0.8（m），
故答案为：0.8．
12．【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
13．【解答】解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：
∵DB＝CK＝2，DB∥CK，
∴四边形CDBK是平行四边形，
∴CD∥BK，
∴∠AOC＝∠ABK，
过点K作KH⊥AB于H．
∵AB＝＝，S△ABK＝AK4＝ABKH＝20，
∴HK＝＝，
∵BK＝＝2，
∴BH＝＝＝，
∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，
故答案为：．
14．【解答】解：由题意得：∠BAC＝31°，∠CBD＝45°，
∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°﹣31°＝14°，
故答案为：14°．
15．【解答】解：∵坡比i＝tan∠CAB＝＝＝，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵BC＝5m，
∴AB＝2BC＝10m，
故答案为：10．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2，
∴c＝＝4，
∴sinA＝＝，sinB＝＝，
∴∠A＝60°，∠B＝30°．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，
∴sinA＝＝，sinB＝＝，
∴a＝3，b＝3．
17．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H.
∵∠AHC＝90°，∠C＝45°，
∴AH＝HC＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠AHB＝90°，
∴AB＝2AH＝2，
∴BH＝AH＝，
∴BC＝BH+CH＝+．
（2）在Rt△BAD中，∵tan∠BAD＝，AD＝12，
∴＝，
∴BD＝9，
∵BC＝14，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
∴AC＝＝＝13，
∴sinC＝＝．
18．【解答】解：由题意可知：∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠MCN＝15°+60°＝75°，
∴∠AMC＝∠MCN﹣∠MAC＝75°﹣30°＝45°，
过C作CH⊥AM交AM于点H，如图所示：
在Rt△ACH中，∠MAC＝30°，AC＝1000m，
∴HCAC＝500（m），AH＝HC＝500（m），
在Rt△HMC中，，
∴MN，
即：，
∴，
即MC的长度为米，MN的长度为米．
19．【解答】解：过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，
则CF＝EG，CG＝EF，
在Rt△EFD中，∵斜坡DE的坡度3：4，DE＝10米，
∴设EF＝3x米，DF＝4x米，
∴DE＝＝5x＝10，
∴x＝2，
∴EF＝6米，DF＝8米，
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
∴BC＝CD＝22米，
∴BG＝BC﹣CG＝22﹣6＝16（米），
在Rt△AEG中，AG＝EGtan31°＝30×0.6＝18（米），
∴AB＝AG﹣BG＝18﹣16＝2（米），
答：宣传牌AB的高度为2米．