4.3用一元二次方程解决问题（2）
目标导航：
知识要点：
根据增长率的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．
学习要点：
学习根据增长率的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．
基础巩固题
1、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2、某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．
3、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是 。
4、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是___________。
5、2007年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
6、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为 ( )
A、200(1+x)2=1000 B、200+200×2x=1000
C、200+200×3x=1000 D、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
7、一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
8、某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ d ）．
A． B．p C． D．
9、某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（ ）
（A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元
10、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
思维拓展题
11、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2。
求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。
自主探究题
12、某同学根据2004年江苏省内五个城市商品房销售均价（即销售平均价）的数据，绘制了如下统计图：
（1）这五个城市2004年商品房销售均价的中位数、极差分别是多少？
（2）若2002年A城市的商品房销售均价为1600元/平方米，试估计A城市从2002年到
2004年商品房销售均价的年平均增长率约是多少（要求误差小于1%）？
走进中考
13、（2007安徽）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取≈1.41)
14、（2007四川眉山）黄金周长假推动了旅游经济的发展．下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图．
(1)根据图中提供的信息．请你写出两条结论；
(2)根据图中数据，求2002年至2004年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到0．1)
答案：
1、6（1＋x）万kg，6（1＋x）2万kg，6（1＋x）3万kg
2、a（1＋x）2吨
3、20%
4、20+20（1＋x）+20（1＋x）2=95
5、B
6、D
7、B
8、A
9、C
10、分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x1=-2（不符，舍去），x2= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =0.125=12.5%
答：所求的年利率是12．5%．
11、1250×80%=1000
1000（1＋x）2=1440
x=0.2
这个百分数20%
12、（1）中位数是2534（元/平方米）；极差是3515－2056＝1459（元/平方米）．
（2）设A城市2002年到2004年的年平均增长率为x，由题意，得
1600(1＋x)2＝2119． (1+x)2＝1.324375，
∵x＞0，∴1+ x＞0，
当x＝0.15时， (1+x)2＝1.152＝1.3225＜1.324375，
当x＝0.16时， (1+x)2＝1.162＝1.3456＞1.324375，
可知 1.15＜1＋x＜1.16，∴0.15＜x＜0.16．
答：平均增长率约为15%（或16%等，答案不惟一）．
13、解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：
30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2
∴x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意舍去)。
∴x≈0.41。
即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。
14、解：（1）①历年春节旅游收入低于“五一”和“十一”旅游收入；
②黄金周旅游收入呈上升趋势。┉┉
（2）设平均每年增长的百分率为x，则300（1＋x）2＝400，
解得：＝－1＋，＝－1－（不合题意，舍去），
所以，＝－1＋≈0.155，
答：平均每年增长的百分率为15.5%。
（第13题）4.3用一元二次方程解决问题（3）
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知识要点：
建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．
学习要点：
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
基础巩固题
1、一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________．
2、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
3、某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A：200(1+a%)2=148 B：200(1－a%)2=148
C：200(1－2a%)=148 D：200(1－a2%)=148
4、某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ）．
A．正好8km B．最多8km C．至少8km D．正好7km
5、 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克. 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
6、两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
7、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
思维拓展题
8、某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．
（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品 （用含a、b的代数式表示）
（2）若一名检验员1天能检验b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员
9、某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．
自主探究题
10、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少
11、 春秋旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去该风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去了该风景区旅游？
设该单位这次共有名员工去某风景区旅游，因为，所以员工人数一定超过25人。 可得方程
走进中考
12、（辽宁省十二市2007）某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是 ．
13、（湖南省娄底市2007）高速公路有一次抢修任务，竞标资料显示：若由甲、乙两队合作施工，6天可以完成，共需工程费用10200元，若由甲队或乙队单独施工，那么甲队比乙队少用5天施工时间，但甲队每天的工作费用比乙队多300元，问应选哪个队施工经费较少？
答案：
1、63- x-（63- x）÷63×x=28
2、C
3、B
4、B
5、设每千克应涨价x元
（10+ x）（500-20 x）=6000
∴每千克应涨价5元
6、 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．
依题意，得5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）
设乙种药品成本的平均下降率为y．
则：6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：两种药品成本的年平均下降率一样大．
7、设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100）
解：设每张贺年卡应降价x元
则（0.3-x）（500+ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ）=120
解得：x=0.1
答：每张贺年卡应降价0.1元．
8、（1）=a+2b或
（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．
所以a+2b=，解得：a=4b
所以（a+2b）÷b=6b÷b==7.5（人）
所以至少要派8名检验员．
9、 解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．
（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，
则：（0.75-y）（200+×34）=120
即（-y）（200+136y）=120
整理：得68y2+49y-15=0
y= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）
y≈0.23元
答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．
因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．
10、分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．
（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]
（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．
解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．
当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．
11、解得：。
当时，，故舍去
当时，，符合题意
答：该单位这次共有30名员工去某风景区旅游。
走进中考
12、25%
13、设甲单独施工需天，则乙单独施工为天
可列出方程
得解之，（不合题意舍去）
设甲队每天费用元，乙队每天费用元
则
解之得
甲队施工经费为（元）
乙队施工经费为（元）
答：应选甲队施工费较少．
如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元
如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元4.2一元二次方程解法（3）
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知识要点：
二次项系数不是1的一元二次方程的配方.
学习要点：
会用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。
基础巩固题：
1、
2、
3、- =（ ）2
4、下列用配方法解方程时，有错误的是 （ ）
5、用配方法解下列方程时，配方错误的是---------------------------------------------------------（ ）
A 化为 B 化为
C 化为 D 化为
6、用配方法解方程:
(1).2x2-5x+2=0 (2).-3x2+4x+1=0
(3). (4).
7、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h(m)与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h=24t-5t2. 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m？
8、已知多项式
（1）当x=0、1、2时，分别计算出多项式的值；
（2）x取任意值时，此多项式的值是否总是为正数，你能说明其中的道理吗？
（3）你知道当x取何值时，多项式的值最小吗？最小值是多少？
思维拓展题
9、试说明不论m取何值，关于x的方程都是一元二次方程？
10、能否选取适当的x的值使得代数式的值为正？为什么？
自主探究题
11、
走进中考
12、（2007年甘肃省白银等7市）探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解
x2-2x+1=0 x1=1 ， x2=1 x2-2x+1=（x-1）（x-1）
x2-3x+2=0 x1=1 ， x2=2 x2-3x+2=（x-1）（x-2）
3x2+x-2=0 x1=， x2=-1 3x2+x-2=2（x-）（x+1）
2x2+5x+2=0 x1=-， x2=-2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2）
4x2+13x+3=0 x1= ， x2= 4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）
将你发现的结论一般化，并写出来．
答案：
1、16，4
2、1，1
3、，-
4、D
5、C
6、略
7、24t-5t2=16
t=4,t=
8、（1）当x=0、1、2时，
（2）（x-3）2+1
（3）当x=3时，多项式的值最小,最小值是1
9、说明m2-8m+17≠0
10、说明=-2(x-3)2+18-﹤0
11、-
12解：填空：，3；4x2+13x+3=4(x+)(x+3)．
发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则
ax2+bx+c=a（x x1）（xx2）．4.2一元二次方程解法（2）
目标导航：
知识要点：
1、二次项系数是1的一元二次方程的配方.
2、用配方法解一元二次方程的一般步骤:就是把一个一元二次方程变形为型的方程，就可以用直接开平方法求解。
学习要点：
会用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。
基础巩固题：
1．x2＋5x＋ =（ ）2
2．x2－x+ =（ ）2
3．x2－＋ =（ ）2
4．x2＋＋ =（ ）2
5．x2－px+ =( )2
6、 。
7、已知：x2 ＋y2－4x＋6y＋13=0，且x、y为实数，则xy=
8、已知关于x的方程4x2＋4kx＋k2=0的一个根是－2，则k=
9、已知二次三项式x2+2mx+4是一个完全平方式，则m= 。
10、将方程x2－5x－3=0化成(x+m)2=n的形式，正确的是 （ ）
A. (x－5)2=3 B. (x－)2=
C. (x－)2=3 D. (x－)2=28
11、方程x2+3=4x用配方法解时，应先化成（ ）
A、(x-2)2=7； B、(x+2)2=1； C、(x-2)2=1； D、(x+2)2=2；
12、用配方法解下列方程：
（１） （２）；
（3）x2+10x+10=0 （4）x2+2x-3=0
(5).x2+4x-12=0 (6). y2+2y-4=0
13、用配方法解关于x的方程：x2－2mx=n2－m2
14、用配方法证明m2－8m+20大于0
思维拓展题
15、如果是一个完全平方式，则_____ _。
自主探究题
16、说明：不论取何值，代数式的值总大于0。再求出当取何值时，代数式的值最小？最小是多少？
走进中考
17、（2007四川内江）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
18、（2007北京）解方程：．
答案：
1、， +
2、， -
3、， -
4、， +
5、， -
6、， -
7、-6
8、4
9、
10、B
11、C
12、略
13、+，-
14、m2－8m+20=（m-4）2+4
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+4>0
15、2
16、=（x-）2+
∵（x-）2≥0
∴（x-）2+≥
当=时，代数式的值最小,最小是.
17、A
18、解：配方，得：（x＋2）2＝5，解得：x1＝－2＋，x2＝－2－4.2一元二次方程解法（1）
目标导航：
知识要点：
学习要点：
会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；
会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；
基础巩固题
1、方程的根是 ；方程x2－196＝0的解为＿＿＿。
2、方程的解为＿＿＿__；
3、方程的解为＿＿＿。
4、要到玻璃店配一块面积为1.21m2的正方形玻璃，那么该玻璃边长为______。
5、若方程有整数根，则的值可以是_________（只填一个）。
6、已知的值是10，则代数式的值是 。
7、解方程：3x2+27=0，得------------------------------------------（ ）
A.x=±3 B.x=-3 C.方程无实数根 D.方程有无数个实数根
8、方程(x-1)2=4的根是--------------------------------------------（ ）
A.3,-3 B.3,-1 C.5,-5 D.5,-3
9、关于的一元二次方程的解为（ ）
A．， B． C． D．无解
10、已知ｍ是方程－ｘ－１＝０的一个根，则代数的值等于-----( )
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
11、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A、 B、 C、或 D、
12、解下列方程：
（4）
（5）(2x－1)2＝(3－x)2
13、一个长方形操场的面积是7200，它的长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽。
思维拓展题
14、已知关于的方程（2k+1）x2－4kx+（k－1）=0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根；
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程，且不含有一次项？求出这个一元二次方程的根
15、右图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求的值．
自主探究题
16、、若a-b+c=0,a≠0, 则方程ax2+bx+c=0必有一个根是_______
17、已知α，β是方程的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_________。
走进中考
18、（2007重庆）方程的解为 。
19、（2007湖南株州）已知x＝1是一元二次方程的一个解，且，求的值.
答案：
1、，
2、或2
3、
4、
5、答案不唯一
6、19
7、C
8、B
9、C
10、C
11、B
12、（1）（2）（3）-1，--1 （4），-1 （5），-2
13、解设宽为，长为2
（负的舍去）
宽为，长为
14、（1）-， （2），
15、
-1
16、-1
17、10
18、，
19、解：把x＝1代入方程，得：＋＝40，又
所以，＝＝＝20。4.2一元二次方程解法（4）
目标导航：
知识要点：
一元二次方程,当时，它的根，这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法；当时,该方程无实数根。
学习要点：
会用公式法解一元二次方程。
基础巩固题
1、方程是一元二次方程，则 ，根的判别式△= 。
2、方程中,a=________,b=________,c=________,=________,方程的根为。
方程中，⊿= ，根的情况是 ；
4、用公式法解方程，得到（ ）
A、 B、 C、 D、
5、关于的方程的判别式是 （ ）
A. B. C. D.
6、方程化简整理后，写成形式，其中a、b、c分别是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、了解一元二次方程根的判别式。
⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4
8、用公式法解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
9、若关于x的一元二次方程有一个根是0，求m。
10、等腰三角形两边之和为10，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长。
11、用一块长方形铁片，在它的四个角各自剪去一边长是4cm的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没盖的盒子。已知铁片长是宽的2倍，做成的盒子的容积是1536cm2，求这个铁片的长和宽。
思维拓展题
12、解关于的方程
自主探究题
13、若实数满足，则= 。
走进中考
14、（2007四川德阳）阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，．根据该材料填空：
已知，是方程的两实数根，则的值为______
15、（2007四川乐山）已知是关于的方程的一个根，则_______．
答案：
1、≠-1，
2、2，-3，-4，41，，
3、0，有两个相等实数根
4、D
5、A
6、C
7、（1）△=1（2）△=81
8、略
9、
10、11
11、宽为20，长为40
12、-，
13、
14、10
15、或 4.1一元二次方程
目标导航：
知识要点：
1、一元二次方程的概念和一般形式.
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式.
任何一个关于的一元二次方程都可以化成（、、是常数，这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中、、分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项，、分别叫做二次项系数、一次项系数。
学习要点：
1、了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。
2、正确理解和掌握一般形式中的a≠0 ，“项”和“系数”。
基础巩固题
1、将方程化成一元二次方程的一般形式，得 ；其中二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .
2、已知关于的一元二次方程，则应满足 .；
3、一元二次方程:2x2+(k+8)x-(2k-3)=0的各项系数之和为5,则k = . .
4、下列方程中，是一元二次方程的是---------------------------------------------------------------（ ）
A B
C D
5一元二次方程（3x-1）（2x+2）=+1化为一般形式（a≠0）后，a、b、c的值分别为 （ ）
A．6，4，3 B．6，-4，-3 C．5，4，-3 D．5，-4，3
6．已知2是关于x的方程的一个解，则2a-1的值是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
8、如果关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0有一个解是0，求m的值。
9、如果方程ax2+bx-6=0与方程ax2+2bx-15=0有一个公共解是3，求a、b的值。
10、方程；（1）取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）取何值时是一元一次方程；
思维拓展题
11、当 时，方程不是一元二次方程。
12、用换元法解方程(x2＋x)2＋(x2＋x)＝6时，如果设x2＋x＝y，那么原方程可变形为（ ）
A、y2＋y－6＝0 B、y2－y－6＝0
C、y2－y＋6＝0 D、y2＋y＋6＝0
13、方程:(m-5)(m-3)xm-2+(m-3)x+5=0
(1).m为何值时,此方程为一元二次方程
(2).m为何值时,此方程为一元一次方程
14、如果-1=0，那么代数式-7的值是多少。
中考题型：
15．仔细观察下列计算过程： 同样
由此猜想 。
16、（2007湖北武汉）如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（ ）。
A、2 B、－2 C、4 D、－4
17、（2007四川成都）已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的实数根，那么代数式的值为＿＿＿＿
答 案
1、3、-8、-10
2、
3、
4、c
5、
6、
7、
8、将代入方程，求出，然后考虑二次项系数不为0。所以-2。
9、提示：将代入方程列出关于、的方程组，-，。
10、时是一元二次方程，-1取何值时是一元一次方程。
11、
12、A
13、，
14、-6
15、111111111
16、C
17、4.2一元二次方程解法（6）
目标导航：
知识要点：
用因式分解法解一元二次方程时，把原方程一定化为左边是两个整式的积，右边是0的等式。
学习要点：
会用因式分解法（提公因式法、公式法）解一元二次方程。
基础巩固题
1、方程x2+2x=0的解为 ；
2、已知y=x2-2x-3，当x= 时，y的值是-3。
3、方程的解是 。
4、方程的较小根的的倒数是 ；
5、方程的解是 ；
6、观察下列各式：
请你将猜想到的规律用
自然数表示出来_______。
7、方程（x+3）（x－3）=0的根的情况是（ ）
A、无实数根 B、有两个不相等的实数根
C、两根互为倒数 D、两根互为相反数
8、用换元法解方程(x2＋x)2＋(x2＋x)＝6时，如果设x2＋x＝y，原方程可变形为（ ）
A、y2＋y－6＝0 B、y2－y－6＝0 C、y2－y＋6＝0 D、y2＋y＋6＝0
9、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是----------------------（ ）
A、（x+1）（x-3）=2 B、 2（x-2）2=x2-4
C、x2+3x-1=0 D、 5（2-x）2=3
10、已知、是实数，若，则下列说法正确的是（ ）
（A）一定是0 （B）一定是0 （C）或 （D）且
11、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 （ ）
A. 1 B. －l C. 1 或－1 D.
12、关于的方程的解为
A. B. C. D.
13、方程的解是 （ ）
A B C D 无解
14、解下列方程：
（1）（1-x）2 - 9=0 （2）x（x-3）+ 4（3-x）=0
（3） （4）
（5）x2－4x+4=0 （6）
（7） （8）2（2x－3）2－3（2x－3）=0
思维拓展题
15、利用因式分解思想解下列问题：
（1）写出一个一元二次方程，使这个方程一个根为1，另一个根是2的一元二次方程为：__________________。
（2）写出一个根为-2，另一个根满足的一元二次方程为：__________________。
（3）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为2，一个根为-3，另一个根满足的一元二次方程为：__________________。
自主探究题
16、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。
走进中考
17、（2007浙江嘉兴）解方程：x2＋3＝3(x＋1)．
18、、（2007四川绵阳）已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
答案：
1、0或-2
2、0或2
3、0或
4、-1
5、0，2-
6、
7、D
8、A
9、B
10、C
11、C
12、C
13、B
14、略
15、(1)（x-1）(x-2)=0, (2) （x-1）(x+2)=0答案不唯一，(3) 2(x+3)(x-2)=0
16、（1）<1>，所以
<2>，所以
<3>，所以
……
，所以
（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等。
17、解：原方程变为：x2－3x＝0，解得：＝0，＝3
18、解：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，
∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，
（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，
即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，
∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．
（2）∵ 直角三角形的面积为=
=
=，
∴ 当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或．4.3用一元二次方程解决问题（1）
目标导航：
知识要点：
根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．
学习要点：
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
基础巩固题
1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
3、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
4、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）．
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;
D．以上都不对
5、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
6、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少
7、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
8、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
9、如图，在ΔABC中，∠B=90 ，AB=4cm，BC=10cm，点P从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向点C移动，问：经过多少秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1？
A
B P C
思维拓展题
10、如图所示，在一个长为32米，宽为20米的矩形空地上，建造一个草坪，并修筑等宽且互相垂直的两条路，要使草坪的面积为540米2，求路的宽度。
11、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？
12、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
自主探究题
13、如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则：）
走进中考
14、（吉林省2007）某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程（ ）．
A、x(x－10)＝375 B、x(x＋10)＝375
C、2x(2x－10)＝375 D、2x(2x＋10)＝375
15、（甘肃省兰州市2007）某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长)，另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形(如下左图)；②围成一个半圆形(如下右图)．设矩形的面积为S1平方米，宽为x米，半圆形的面积为S2平方米，半径为r米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案(π≈3)．
答案：
1、32cm
2、15/2,20或10,15
3、A
4、B
5、D
6、设宽度为xm
12×8-8 x×2-（12-2 x ）x×2=12
解得：x1=3，x2=7（不符合实际意义舍去）
即宽度为3m
7、 解：（1）设渠深为xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2）=25天
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
8、设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
9、设：经过秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1
得
10、路的宽度为2米。
11、设秒后△PBQ的面积等于8 cm2
（-6）÷2=8
=2，=4
即经过2秒或4秒后△PBQ的面积等于8 cm2。
12、1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm
由题意得： 解得：x1=16, x2=4
当x1=16时，20-x=4； 当x2=4时，20-x=16 答：（略）
（2）不能 。理由是： 整理得：x2－20x+104=0
∵ △<0 ∴此方程无解 即不能剪成两段使得面积和为12cm2
解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．
则：（6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．
（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有
∵AB=6，BC=8
∴由勾股定理，得：AC==10
∴DQ=
则：（14-y）·=12.6
整理，得：y2-18y+77=0
解得：y1=7，y2=11
即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．
经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，
∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．
∴本小题只有一解y1=7．
14、A
15、解：S1＝x(30－2x)
＝－2(x－)2＋
当x＝米时
S1取最大值平方米
由30＝πr得r＝10米
S2＝πr2＝×3×100＝150平方米
∵＜150
∴S1＜S2
∴应选择方案②
(第27题图)
x
S1
S24.2一元二次方程解法（5）
目标导航：
知识要点：
一元二次方程的根的判别式：关于的一元二次方程的根的判别式是：b2－4ac
根的判别式性质是：
（1）当b2－4ac＞0时，该方程有两个不相等实数根；
（2）当b2－4ac＝0时，该方程有两个相等实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，该方程没有实数根.
学习要点：
利用一元二次方程的根的判别式在不解方程的情况下就能判断一元二次方程根的情况。
基础巩固题
1、方程的判别式为△= ，这个方程 实数根。
2、若关于的方程的判别式△=4，则=
3、若关于的方程没有实数根，则的取值范围为
4、若关于的方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为 。
5、方程的根的情况是 （ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个实数根
C、有一个实数根 D、没有实数根
6、下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7、下列方程没有实数根的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
8、若关于的方程有两个相等的实数根，则的取值为（ ）
A、 B、 C、1 D、-1
9、已知a、b、c是ΔABC的三条边的长，那么方程cx2+（a+b）x+ =的根的情况是（ ）。
A、没有实数根 B、有两个相等的实数根
C、有两个实数根，但它们不相等 D、只有一个实数根
10、不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2-3x-4=0 (2)16ｙ2+9=24ｙ
(3)5(x2+1)-7ｘ=0
11、已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。
12、已知方程3x2+kx+12=0有两个等根,且k<0,求方程x2+4x+k=0的解.
13、求证:关于y的方程:y2-(a+2)y+2(a-1)=0一定有两个不相等的实数根。
14、已知关于x的方程
(1)有两个不相等的实数根,求m的范围;
(2)有两个相等的实数根,求m的值,并求出此时方程的根;
(3)有实数根,求m的最大整数值.
思维拓展题
15、已知a、b、c为△ABC的三条边长，求证:关于x的方程:必有两个不相等的实数根。
16、当m为何值时,关于x的方程
(1)有两个实数根？
(2)有实数根？
自主探究题
17、已知a、b、c是△ABC的三条边，方程
有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
18、如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒后四边形DFEC的面积为20cm2
走进中考
17、（2007安徽泸州）若关于z的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m-1 C．m>l D．m<-1
18、（2007湖北荆门）下列方程中有实数根的是（ ）
（A）x2＋2x＋3＝0 （B）x2＋1＝0 （C）x2＋3x＋1＝0 （D）
19、（2007湖南怀化）已知方程有两个相等的实数根，则
答案：
有两个相等实数根
2、3
3、
4、0
5、B
6、D
7、A
8、D
9、略
10、由△﹥0得
11、由△=0得，因为所以-12。代入解出或-6
12、由△=（a-2）2+8得出△﹥0
13、△=（a+b+c）(a+b-c)
因为a+b+c﹥0 a+b-c﹥0
所以△﹥0即方程有两个不相等的实数根。
14、(1)m≥-且m≠-,(2) m≥-
15、等腰三角形
16、点D出发1秒或5秒后四边形DFEC的面积为20cm2
17、C
18、C
19、
