第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
一、重难点解析
1.教学重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值
2.教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系
二、重点知识
1.
如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b.
2.
一个重要不等式a?+b?≥2ab.
3.等式的性质:
（1）对称性：如果a＝b，那么b＝a
（2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c
（3）同加性，同减性：如果a＝b，那么a±c＝b±c
（4）同乘性：如果a＝b，那么ac＝bc
（5）同除性：如果a＝b，c≠0，那么
4.不等式的性质：(1)
如果a＞b，那么b＜a；
(2)
如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
(3)
如果a＞b，那么a+c＞b+c.
(4)
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
(5)
如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.
(6)
如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
(7)
如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）.
2.2基本不等式
一、重难点解析
1.教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.
2.教学难点：用基本不等式求最大值和最小值.
二、重点知识
1.
若，，当且仅当时，等号成立.
其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
2.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
一、重难点解析
1.教学重点元二次不等式的解法及实际应用
2.教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
二、重点知识
1.
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
2.
求解一元二次不等式的过程：2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第一册期末复习单元知识检测
第二章
一元二次函数、方程和不等式
1.下列不等式:
①;
②;
③.
其中恒成立的不等式的个数为(
)
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
2.若,则一定有(
)
A.
B.
C.
D.
3.若,且,则下列不等式一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.设为正数,
则的最小值为
(
)
A.6
B.9
C.12
D.15
5.已知,且,则的最小值为
(
)
A．100
B．81
C．36
D．9
6.设,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知不等式的解集是,则不等式的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
8.不等式成立的一个必要不充分条件是(
)
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
9.若不等式对任意的都成立,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
10.已知集合,则等于(
)
A.
B.
C.
D.
11.用”>”“<”或“=”填空:
①已知,则________;
________;________.
②已知,则________
12.已知,则下列不等式:
①;
②;
③;
④;
⑤中,你认为正确的是________.(填序号)
13.已知实数满足,则的最大值为______________.
14.设，则关于x的不等式的解集是__________.
15.若,求证:
16.设均为正数，.
（1）若恒成立，求实数的最大值.
（2）若，求的最小值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，即①正确；
，即②错误；
，即③错误，故选B
2.答案：C
解析：，又是上的增函数，，故选C.取，否定A，B，D.
3.答案：D
解析：当时，，故A错；当时，B错；当时，C错．故选D.事实上，，又，
4.答案：B
解析：,
当且仅当时等号成立,故最小值为9,选B.
5.答案：C
解析：∵,且，
由基本不等式可得,当且仅当即时取等号，
解可得，即的最小值36.
故选：C.
6.答案：A
解析：,,当且仅当,即,时,取“=”.故选A.
7.答案：A
解析：根据题意,由于不等式的解集是,则可知
∴,那么可知不等式的解集为,故选A
8.答案：A
解析：由得,解得或∴要找不等式成立的必要不充分条件，也就是要使得集合是所给选项对应集合的真子集.
结合选项可得集合是A选项所对应集合的真子集，其它选项均不满足题意.
9.答案：A
解析：原不等式等价于,
当时,对任意的,不等式都成立;
当,即时,
,解得,故,
综上,得.故选A.
10.答案：C
解析：
，故选C
11.答案：>；<；>；>
解析：
又
再由
12.答案：④
解析：当时，经验证①，②，③，⑤均不正确．结合指数函数是增函数可知当时，有，因此④正确
13.答案：
解析：,
.若存在最大值,显然不满足题意,则,,当且仅当时取等号,故的最大值为.
14.答案：
解析：时，，且，
则关于的不等式可化为，
解得或，
所以不等式的解集为.
15.答案：证明
又
又
解析：
16.答案：（1）因为均为正数，所以由基本不等式，得，即（当且仅当时取“=”）.①
于是，即（当且仅当时取“=”）.②
由，得（当且仅当时取“=”）.
由已知条件，知恒成立，故所求实数的最大值为8.
（2）由（1）的结论，得，
即（当且仅当时取“=”）.
而，所以的最小值为2（当且仅当时取得）.
