第
2
讲：三角形的中位线
多边形的内角和与外角和
一．三角形的中位线
1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图，在△ABC
中，D、E
分别是
AB、AC
边的中点，则线段
DE
是△ABC
的中位线．
2．性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
如图，点
D、E
分别是三角形
ABC
的边
AB、AC
的中点，求
证：DE∥BC，
DE
BC
证明：延长
DE
到
F，使
EF
=
DE，连接
FC、DC、AF．
3．补充说明：任一个三角形都有三条中位线，由此有下列结论：
（1）三条中位线组成一个三角形，周长为原三角形周长的一半．
（2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
（3）三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．
（4）三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．
（5）任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．
4．补充说明：任意两点的中点坐标公式：对于平面直角坐标系内的任意两点
A
x1，y1
，
(
2
2
)B
x
，y
，线段
AB
的中点坐标为
x1
x2
，
y1
y2
(
．
)
2
2
二．多边形的外角和和内角和
1.
多边形的相关概念
（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．
（3）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
（4）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（5）凸多边形：如果整个多边形都在其任何一边所在直线的同一侧的多边形．
2.
内角和与外角和
如下图，
n
边形的内角和为
(n
2)
180
(n
≥
3)
，多边形的外角和都是
360
．
分割成(n-2)个三角形求内角和
n个平角-内角和
3.
正多边形
正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形.
题模一：中位线定理
例
1.1.1
如图，点
D、E、F
分别为△ABC
三边的中点，若△DEF
的周长为
10，则△ABC
的周长为
（
）
A．5
B．10
C．20
D．40
例
1.1.2
如图，在
Rt△ABC
中，∠A=30°，BC=1，点
D，E
分别是直角边
BC，AC
的中点，则
DE
的长为（
）
A．1
B．2
C．
D．1+
例
1.1.3
如图，点
D
是△ABC
内一点，BD
⊥CD
，AD=6
，BD=4
，CD=3
，E
、F
、G
、H
分别是
AB、AC、CD、BD
的中点，则四边形
EFGH
的周长是
．
例
1.1.4
已知，如图四边形
ABCD
中，AD=BC，E、F
分别是
AB
和
CD
的中点，AD、EF、BC
的延
长线分别交于
M、N
两点．求证：∠AME=∠BNE．
N
M
F
C
D
A
E
B
例
1.1.5（1）如图所示，BD，CE
分别是△ABC
的外角平分线，过点
A
作
AF
垂直
BD，AG
垂直
CE，垂足分别为
F，G，连接
FG，延长
AF，AG，与直线
BC
分别交于点
M、N，那么线段
FG
与
△ABC
的周长之间存在的数量关系是什么？
即：FG=
（AB+BC+AC）（直接写出结果即可）．
（2）如图，若
BD，CE
分别是△ABC
的内角平分线；其他条件不变，线段
FG
与△ABC
三边之间
又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图，若
BD
为△ABC
的内角平分线，CE
为△ABC
的外角平分线，其他条件不变，线段
FG
与△ABC
三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段
FG
与△ABC
三边之间数量关系是
．
题模二：多边形的内角和与外角和
例
1.2.1
若一个正
n
边形的每个内角为
144°，则这个正
n
边形的所有对角线的条数是（
）
A．7
B．10
C．35
D．70
例
1.2.2
一个多边形的内角和是外角和的
2
倍，则这个多边形是（
）
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．八边形
例
1.2.3
一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形的内角和是
1980°，则原多
边形的边数为（
）
A．11
或
12
B．12
或
13
C．13
或
14
D．12
或
13
或
14
例
1.2.4
已知正
n
边形的一个内角为
135°，则边数
n
的值是（
）
A．6
B．7
C．8
D．10
例
1.2.5
如图所示，小华从
A
点出发，沿直线前进
10
米后左转
24，再沿直线前进
10
米，又向左转
24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地
A
点时，一共走的路程是（
）
A．140
米
B．150
米
C．160
米
D．240
米
随练
1.1△ABC
中的三条中位线围成的三角形周长是
15cm，则△ABC
的周长为（
）
A．60cm
B．45cm
C．30cm
D．
cm
随练
1.2
如图△ABC
中，已知
AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE
是中位线，则
DE
的长为（
）
A．4
B．3
C．
D．2
(
第
8
页
)
随
练
1.3
如图所
示，在△ABC
中，M
是
BC
的中点
，AN
平分∠BAC
，BN⊥AN
．若
AB=14
，
AC=19，则
MN
的长度为
．
随练
1.4
如果一个多边形的边数增加
1
倍后，它的内角和是
2160
，那么原来多边形的边数是
．
随练
1.5
一个多边形的每一个内角都是
140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数
是
．
随练
1.6
一个多边形截去一个角后，形成新的多边形的内角和为
720°,那么原多边形的边数
为
．
随练
1.7（1）如图
1，在四边形
ABCD
中，E、F
分别是
BC、AD
的中点，连接
EF
并延长，分别与
BA、CD
的延长线交于点
M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取
BD
的中点
H，连
接
FH，HE
作辅助线）
（2）如图
2，在△ABC
中，且
O
是
BC
边的中点，D
是
AC
边上一点，E
是
AD
的中点，直线
OE
交
BA
的延长线于点
G，若
AB=DC=5，∠OEC=60°，求
OE
的长度．
1（实外)如图，在矩形
ABCD
中,AD=
AB,
AE
平分∠BAD,
DF⊥AE
于
F,
BF
交
DE、CD
于
O、H,
下列结论:①∠DEA=∠DEC;
②BF=FH;
③OE=OD;
④BC-CH=2EF．其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2
（自编）如图
2
，E
、F
、G
、H
分别是
BD
、BC
、AC
、AD
的中点，且
AB=CD
．下列结论：
①EG⊥FH，②四边形
EFGH
是矩形，③HF
平分∠EHG，④EG=（BC-AD），⑤四边形
EFGH
是菱形．其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3（培优）如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形
ABCD
和中间一个小四边形
MNPQ，连
接
EF
、GH
得到四边形
EFGH，设
S
四
边
形
ABCD=S1
，S
四
边
形
EFGH=S2
，S
四
边
形
MNPQ=S3
，若
S1+S2+S3=20，则
S2=
.
4（培优）如图，在平行四边形
ABCD
中，AE⊥BC，AF⊥CD.H
为△AEF
三边上的高的交点，求
证：AC2=AH2+EF2．
5（自编）
分别以平行四边形
ABCD（∠CDA≠90°）的三边
AB，CD，DA
为斜边作等腰直角三角
形△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图
1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接
GF，EF．请判断
GF
与
EF
的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图
2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接
GF，EF（1）中结论还成立
吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
6（实外月考）
在平行四边形
ABCD
中，∠BAD的平分线交直线
BC
于点
E，交直线
DC
于点
F．
（1）在图
1
中证明
CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G
是
EF
的中点（如图
2），直接写出∠BDG
的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接
DB、DG（如图
3），求∠BDG
的度数．
7（实外）如图，在平行四边形
ABCD
中，AB=4，∠BAD
的平分线与
BC
的延长线交于点
E，与
DC
交于点
F，且点
F
为边
DC
的中点，DG⊥AE，垂足为
G，若
DG=1，则
AE
的边长为多少？
作业
1
如图，点
D,E,F
分别是△ABC
三边的中点，若△ABC
的周长为
20cm，则△DEF
的周长为
（
）
A．15cm
B．cm
C．
5cm
D．10cm
作业
2
下列说法中错误的有（
）
①各边都相等的多边形是正多边形．②多边形的外角和是指多边形所有外角相加的和．③四个内角
均为直角的四边形是正四边形．④多边形的内角和与外角和均与边数有关．⑤正多边形的内角度数
与边数无关．⑥多边形的内角和与外角和加起来，应为边数与
180°的乘积．
A．2
个
B．3
个
C．4
个
D．5
个
作业
3
一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为
1080°，那么原多边形的边数
为
作业
4
如图，在四边形
ABCD
中，点
P
是对角线
BD
的中点，点
E、F
分别是
AB、CD
的中点，
AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE
的度数是
作业
5
如图，为测量位于一水塘旁的两点
A、B
间的距离，在地面上确定点
O，分别取
OA、OB
的
中点
C、D，量得
CD=20m，则
A、B
之间的距离是
m．
作业
6
如图，点
A，B
为定点，定直线
l∥AB，P
是
l
上一动点，点
M，N
分别为
PA，PB
的中点，
对下列各值：
①线段
MN
的长；②△PAB
的周长；③△PMN
的面积；④直线
MN，AB
之间的距离；⑤∠APB
的
大小．其中会随点
P
的移动而变化的是
作业
7
如图，四边形
ABCD
各边中点分别是
E、F、G、H,则四边形
HEFG
是
形．
作业
8
如图，四边形
ABCD
中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点
M，N
分别为线段
BC，AB
上的动
点（含端点，但点
M
不与点
B
重合），点
E，F
分别为
DM，MN
的中点，则
EF
长度的最大值
．
作业
9
如图，AD、AE
分别是△ABC
的中线和角平分线，AC=2，AB=5，过点
C
作
CF⊥AE
于点
F，连接
DF，有下列结论：
①将△ACF
沿着直线
AE
折叠，点
C
怡好落在
AB
上；
②3＜2AD＜7；
③若∠B=30°，∠FCE=15°，则∠ACB=55°；
④若△ABC
的面积为
S，则△DFC
的面积为
0.15S．
其中正确的是
．（把所有正确结论的序号都选上）
作业
10
如图，已知ΔABC
是锐角三角形，分别以
AB、AC
为边向外侧作两个等边三角形ΔABM
和
ΔCAN，D、E、F
分别是
MB，BC，CN
的中点，连结
DE、FE，求证：DE=EF
作业
11
平行四边形
ABCD
的对角线相交于点
O，点
E、F、P
分别是
OB、OC、AD
的中点，且
AC=2AB
求证：EP=EF．
(
第
10
页
)第六章：平行四边形
第
1
讲：平行四边形的性质与判定
一．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用“□
”表示．
如右图，平行四边形
ABCD
记作“□ABCD”．（字母顺序须按顺时
针或逆时针的顺序书写）
二．平行四边形的性质
1．边的性质：对边平行且相等．如下图：AB//CD，AB=CD，
AD//BC，AD=BC．
2．角的性质：平行四边形的对角相等．如下图：∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD
3．对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．如下图：OA=OC，OB=OD.
三．平行四边形的判定
1．与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
3．与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．即：OA=OC，OB=OD．
题模一：平行四边形的性质
例
1.1.1（1）在平面直角坐标系中，已知□ABCD
的三个顶点坐标分别是
A（m，n），B（2，-1），
C（-m，-n），则点
D
的坐标是
．
（2）□ABCD
的对角线
AC，BD
交于点
O，点
E
是
AD
的中点，△BCD
的周长为
8cm，则△DEO
的周长是
．
（3）在□ABCD
中，BC
边上的高为
4，AB=5，AC=
2
，则□ABCD
的周长等于
．
例
1.1.2
如图，平行四边形
ABCD
中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E
在
AB
上，且
AE：EB=1：2，
F
是
BC
的中点，过
D
分别作
DP⊥AF
于
P，DQ⊥CE
于
Q，则
DP：DQ
等于
．
例
1.1.3
如图，四边形
ABCD
为平行四边形，∠BAD
的角平分线
AE
交
CD
于点
F，交
BC
的延
长线于点
E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接
BF，若
BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形
ABCD
的面积．
题模二：平行四边形的判定
例
1.2.1
已知四边形
ABCD
的对角线
AC
，BD
相交于点
O
，给出下列
5
个条件：①AB//CD
；
②AO=OC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD//BC（1）从以上
5
个条件中任意选出
2
个条件，
能推出四边形
ABCD
是平行四边形的有
（用序号来表示）
例
1.2.2
如图，在△ABC
中，AD
平分∠BAC
交
BC
于点
D．点
E、F
分别在边
AB、AC
上，且
BE=AF，FG//AB
交线段
AD
于点
G，连接
BG、EF．
求证：四边形
BGFE
是平行四边形．
例
1.2.3
如图，平行四边形
ABCD
的对角线相交于点
O，直线
EF
经过点
O，分别与
AB，CD
的延
长线交于点
E，F．求证：四边形
AECF
是平行四边形．
随练
1.1
如图，□ABCD
的对角线
AC、BD
相交于点
O，EF
过点
O
与
AD、BC
分别相较于点
E、
F，若
AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形
EFCD
的周长为（
）
A．16
B．14
C．12
C．10
随练
1.2
如图，在□ABCD
中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过
BC
的中点
E
作
EF⊥AB，垂足为点
F，与
DC
的延长线相交于点
H，则△DEF
的面积是（
）
A
D
F
B
E
C
H
A．
2
B．
4
C.
3
D．
6
随练
1.3
四边形
ABCD
中，对角线
AC、BD
相交于点
O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；
②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是
平行四边形的条件共有（
）
A．1
组
B．2
组
C．3
组
D．4
组
随练
1.4
如图，在周长为
20cm
的平行四边形
ABCD
中，AB≠AD，AC、BD
相交于点
O，OE⊥BD
交
AD
于
E，则△ABE
的周长为
．
随练
1.5
如图，在
Rt△ABC
中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点
D
在
BC
上，以
AC
为对角线的所有平
行四边形
ADCE
中，DE
的最小值是
．
随练
1.6
如图，平行四边形
ABCD
中，E
为
BC
中点，过点
E
作
AB
的垂线交
AB
于点
G，交
DC
的
延长线于点
H，连接
DG．若
BC=10，∠GDA=45°，DG=
8
，求
CH
的长及平行四边形
ABCD
的
周长．
随练
1.7
已知：如图，在平行四边形
ABCD
中，点
E、F
在
AC
上，且
AE=CF．
求证：四边形
BEDF
是平行四边形．
随练
1.8
如图，分别以
Rt△ABC
的直角边
AC
及斜边
AB
向外作等边△ACD
，等边△ABE
．已知
∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为
F，连接
DF．
（1）试说明
AC=EF；
（2）求证：四边形
ADFE
是平行四边形．
1（成外直升）如图,在平行四边形
ABCD
中，AD=2AB，F
是
AD
的中点，作
CE⊥AB，垂足
E
在线
段
AB
上，联结
EF、CF，那么下列结论中一定成立的是
．
1
∠DCF=12∠BCD，②EF=CF，③S△BEC=2S△CEF，④∠DFE=3∠AEF.
(
第
6
页
)
2（自编）在面积为
15
的平行四边形
ABCD
中，过点
A
作
AE
垂直直线
BC
于点
E，作
AF
垂直直
线
CD
于点
F，若
AB=5，BC=6，则
CE+CF
的值为
．
3（直升模拟）三角形
ABC
如图在空间直角坐标系所示，在坐标系中再找一点
D，使
ABCD
为平行
四边形，则
D
的坐标为
．
4（成外）如图平行四边行
ABCD
绕
A
点逆时针旋转
30°，得到平行四边形
A′B′C′D′，点
B′与
B
是
对应点，点
C′与
C
是对应点，D′与
D
是对应点，B′恰好落在
BC
边上，则∠C=
．
5（直升模拟）如图，已知三角形
ABC
中，M
为
AB
边上的中点，D
是
MC
延长线上一点，满足
∠ACM=∠BDM．
（1）
求证
AC=BD．
（2）
若∠CMB=60°,求的值．
6（直升模拟）如图，正方形
ABCD
的变长为
6，点
O
是对角线
AC、BD
的交点，点
E
在
CD
上，
且
DE=2CE，连接
BE.过点
C
作
CF⊥BE，垂足为
F，连接
OF，则
OF
的长为
．
7（实外）如图正方形
ABCD
中，点
E、F
分别在边
BC、CD
上，且
AE=EF=FA.下列结论：
①△ABE≌△ADF，
②CE=CF，③∠AEB=75°，④BE+DF=EF，⑤S△ABE+S△ADF=S△CEF，其
中正确的是
(只填写序号)．
8（实外）如图,六边形
ABCDEF
中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差
BC?EF=ED?AB=AF?CD>0，试判断该六边形的各角是否相等?若相等，请说明理由．
9（成外直升）点
P
是平行四边形
ABCD
内一点，S△PAB=7，S△PAD=4，则
S△PAC=
．
10（自编）如图，在平行四边形
ABCD
中，对角线
AC、BD
相交于
O，BD=2AD，E、F、G
分别
是
OC
、OD
、AB
的
中
点
，下
列
结
论
：
①∠OBE=∠ADO
、②EG=EF
、
③GF
平
分∠AGE
、④EF⊥GE
则正确的为
．
11（成外半期）如图，在边长为
3
的正方形
ABCD
中，点
E
是
BC
边上的点，BE=1，∠AEP=90°，
且
EP
交正方形外角的平分线
CP
于点
P，交边
CD
于点
F，
（1）
FC
的值为
；
EF
（2）求证：AE=EP；
（3）在
AB
边上是否存在点
M，使得四边形
DMEP
是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存
在，请说明理由．
作业
1
如图，过□ABCD
的对角线
BD
上一点
M
分别作平行四边形两边的平行线
EF
与
GH，那么
图中的□AEMG
的面积
S1
与□HCFM
的面积
S2
的大小关系是（
）
A．S
1＞S2
B．S
1＜S2
C．S
1=S2
D．2S
1=S2
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)
作业
2
下列四个命题：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题个数有（
）
A．4
个
B．3
个
C．2
个
D．1
个
作业
3
在面积为
15
的平行四边形
ABCD
中，过点
A
作
AE
垂直于直线
BC
于点
E，作
AF
垂直于直
线
CD
于点
F，若
AB=5，BC=6，则
CE+CF
的值为
．
作业
4
在平面直角坐标系中，已知
A（0，0），B（4，0），C（3，3），若以
A、B、C、D
为顶
点的四边形是平行四边形，则点
D
的坐标是
．
作业
5
如图，在平行四边形
ABCD
中，分别以
AB、AD
为边向外作等边三角形△ABE、△ADF，延
长
CB
交
AE
于点
G（点
G
在点
A、E
之间），连接
CE、CF、EF
，则以下四个结论中，正确的
有
．
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△CEF
是等边三角形；④CG⊥AE
作业
6
如图，四边形
ABCD
是平行四边形，E、F
是对角线
BD
上的点，∠1=∠
2．
（1）求证：BE=DF；
（2）求证：AF∥CE．
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)
作业
8
如图，△ABC
是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以
AB、AC
为直角边向外作等腰直角
△ABD
和等腰直角△ACE，点
G
为
BD
的中点，连接
CG、BE、CD，BE
与
CD
交于点
F．
（1）判断四边形
ABGD
的形状，并说明理由；
（2）求证：BE=CD，BE⊥CD
作业
9
如图
1，在平行四边形
ABCD
中，AC、BD
相交于点
O，BM
垂直直线
AC
于点
M，DN
垂直
直线
AC
于点
N．
（1）线段
OM、ON
有什么样的数量关系？直接写出结论；
（2）若直线
AC
绕点
A
旋转到图
2
的位置时，其它条件不变，线段
OM、ON
有什么样的数量关
系？请给予证明
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