北师大版七年级上册第三章整式及其加减总复习（学案）

北师版七年级上整式及其加减总复习
知识思维导图
二、知识梳理
1.字母可以表示
（
）
A.任何数
B.有理数
C.非负数
D.实数
2.代数式中含有数字或表示数的之外，通常还含有（
）
A.字母
加法B.字母
减法C.字母
乘、除、乘方D.字母
运算符号
3.代数式中的运算符号，主要包含加，减，（
）
A.乘、除B.乘、乘方C.乘、除、乘方D.乘、除、乘方、开方
4.单独的一个或一个，也是代数式.（
）
A.数、aB.字母、3C.数
字母D.数
运算符号
5.数值转换机是用来
（
）
A.列代数式B.编程序C.计算代数式的值D.求数的绝对值
6.一般地，用代替代数式中的，计算所得结果叫做代数式的值.（
）
A.字母
数B.数值
字母C.运算符号
字母D.数值
运算符号
7.关于单项式的描述，错误的是
（
）
A.数与字母乘积的代数式B.单独的一个数是单项式
C.单独的一个字母时单项式D.相同字母的积不是单项式
8.单项式中叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数（
）
A.数字
指数和B.数字因数
指数和C.数字
指数差D.数字因数
指数差
9.对单项式的系数，指数两省一不一零的理解
当单项式的系数为或时，通常省略不写，但的符号不能省略，此外，字母因数的指数如果是，通常也省略不写；单独的一个非零数的次数是.
10.几个单项式的叫做多项式.（
）
A.和B.差C.积D.商
11.在多项式中，每个叫做多项式的项，不含的项叫做常数项.（
）
A.代数式
字母B.单项式
字母C.字母
字母D.单项式
单项式
12.和统称整式.
（
）
A.单项式
代数式B.多项式
代数式C.单项式多项式D.代数式
代数式
13.所含相同，并且的指数也的项叫做同类项.（
）
A.字母
相同字母
相同B.字母
相同字母不相同
C.字母
不同字母
相同
D.字母
不同字母不相同
14.下列说法，正确的是
（
）
A.所有字母都是同类项B.所有多项式都是同类项
C.所有常数项都是同类项D.所有单项式都是同类项
15.把合并成一项，叫做合并同类项.
（
）
A.单项式B.多项式C.整式D.同类项
16.合并同类项的依据是
（
）
A.乘法对加法的结合律B.乘法对加法的分配律C.加法的交换律D.加法的结合律
17.合并同类项时，把同类项的相加，字母和字母的不变.（
）
A.项
次数B.系数
指数C.指数
指数D.系数，系数
18.括号前是“+”号，把和它前面的“+”号去掉后，原来括号里各项的符号都（
）
A.括号
改变B.括号
不改变C.系数
改变D.指数
不改变
19.括号前是“-”号，把和它前面的“-”号去掉后，原来括号里各项的符号都（
）
A.括号
改变
B.括号
不改变C.系数
改变
D.指数
不改变
20.进行整式加减运算时，如果遇到括号，要先，再
（
）
A.去掉括号
把指数相加B.去掉括号
把系数相加
C.去掉括号
合并同类项D.去掉括号
合并单项式
三、知识应用
考点
1:布列代数式
例1（2020长沙）.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：
第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．
题意剖析：
以扑克游戏为问题背景，让学生感到亲切，不反感，反映了数学源于生活的思想，同时，为了解决问题，需要用到字母表示数的思想，学会熟练规范进行代数式的布列，巩固了相应的数学知识，落实了让学生在玩中学的课标学习目标，值得点赞！
解法直播：
解法1：设每个同学扑克牌的数量都是；
第一步，A同学的扑克牌的数量是，B同学的扑克牌的数量是；
第二步，B同学的扑克牌的数量是，C同学的扑克牌的数量是；
第三步，A同学的扑克牌的数量是2()，B同学的扑克牌的数量是()；
∴B同学手中剩余的扑克牌的数量是：()．故答案为：．
点评：按照题目的操作顺序，步步为营，紧紧指向目标，是常用的求解思路.
解法2：设每个同学扑克牌的数量都是，列表如下：
所以答案为9.
点评：列表法是数学解题的一种非常实用有效的解题方法，最大特点是简洁，直观，易懂易操作，是值得同学们熟练掌握的好解题方法.
考点2:求代数式的值
（1）整体代入
例2（2020重庆B卷）已知a+b=4，则代数式1+的值为
（
）
A.3
B.1
C.0
D.-1
解析：因为=，a+b=4，所以原式=1+=3，所以选A.
点评：把握已知条件，梳理所求代数式的特点，选择整体代入求值是正确的选择.
（2）单一代入
例3（2020年黄岗）若|x-2|+=0，则-xy=
.
解：，，，，，
，故答案为：2．
点评：活用实数的非负性质，求得每个字母的值，为代数式的值计算提供支撑.
考点3:单项式
活动1：确定单项式的系数
例4（2019湖南怀化）单项式﹣5ab的系数是
（　　）
5
B．﹣5
C．2
D．﹣2
分析：单项式的一般结构是数字因数+字母因数，其中的数字因数叫做单项式的系数，注意系数一定要包含数的符号.特别地，单纯的数不能称系数，单独的字母其系数为1或-1，通常数字“1”省略不写，只写其符号代替.
解：-5ab的数字因数为-5，所以单项式-5ab的系数为-5，所以选B.
活动2：确定单项式的次数
例5（2019，山东淄博）单项式的次数是　
　．
分析：单项式的次数是所有字母指数的和,就现阶段的内容看，单项式的次数一定是正整数.
谨记字母的指数最小是1，如a的指数是1，绝对不是0，否则计算的结果一定是错误的.
解：因为a的次数是3，b的次数为2，所以单项式的次数为3+2=5，所以填5.
活动3：探索单项式中的变化规律
例6(2019?云南)按一定规律排列的单项式：，-，，-，，……第n个单项式是
（
）
A．
B．
C．
D．
分析：观察各单项式，发现奇数项系数为正，偶数项系数为负，所以可以用或（为大于等于1的整数)来控制系数的正负，指数为从3开始的奇数，所以指数部分规律为2n+1．整体处理即可得到答案.
解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，所以可以用或
(为大于等于1的整数)来控制系数的正负，指数为从3开始的奇数，所以指数部分规律为2n+1，所以选C．
活动4：阅读创新，提高自学能力
例7（2019湖南张家界）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，…，，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中=1，=3，公差为d=2．根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为　　，第5项是　　．
（2）如果一个数列，，，…，，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到-=d，﹣=d，-=d，…，-=d,…．所以=+d,
=+d=（+d）+d=+2d，=+d=（+2d）+d=+3d，……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：=+（　　）d．
（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
分析：这是一道高中基础知识下移生成的阅读型考题，其意义有五：一是培养学生的阅读能力，这是解题的基础，题意都读不懂，更难说解题；二是培养学生的自学能力，学会理解题意，学会寻找解题方法；三是培养自我接受新鲜事物的能力，特别是接受新知识的能力，这是全面数学素养提升的基础；四是培养寻找系数与序号之间的变化规律的探索能力；培养学生学以致用的问题解决能力.
解：（1）根据题意得，d=10﹣5=5；因为=15，所以=+d=15+5=20，所以=+d=20+5=25，
所以应该填5；25．
（2）因为=+（2-1）d,=+d=（+d）+d=+2d=+（3-1）d,
=+d=（+2d）+d=+3d=+（4-1）d,……所以=+（n﹣1）d，所以应该填
n﹣1．
（3）因为等差数列﹣5，﹣7，﹣9…中，=-5，d=-7-（-5）=﹣2，所以=+（n﹣1）d=-5-2（n-1）,因为﹣5﹣2（n﹣1）=﹣4041，解得：n=2019，符合题意，所以﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，且它是此数列的第2019项．
考点4
同类型型
例8（2020贵州黔西南）若7与﹣的和为单项式，则=　
　．
解析：因为7与﹣的和为单项式，所以7与﹣是同类型，
所以x=3,y=2,所以==8.
点评：这是单项式与同类型两个基本概念之间的内在联系，抓住联系，将概念题目化，不仅考查了对单个概念的理解与应用，更注重了概念间的联系，实现了培养数学综合能力的解题的目标.
例9(2020苏州）若单项式与单项式是同类项，则________．
解析：因为单项式与单项式是同类项，所以m-1=2,n+1=2,
所以m=3,n=1,所以m+n=3+1=4；(2)所以m-1+n+1=2+2,所以m+n=4.
点评：同类项型概念题是中考的常考题型，也是基础性考题之一，解答时，注意如下几点：1.落实好两个对应即明确对应字母，后根据对应字母的指数对应相等构造出解题需要的等式；2.根据等式，完成对字母值的确定；3.化归为代数式的值问题求解思路，确定最终的结果.解答时，要注意用好两种求解思路：单字母值确定法，这是解题的同法，也是同学们最常用的方法；整体求值法，根据条件的特点，可将两个等式求和或求差，得到答案.
考点5多项式型
例10（2020年绵阳）若多项式x+(n-2)+1是关于x,y的三次多项式，则mn=.
解析：因为多项式x+(n-2)+1是关于x,y的三次多项式，所以n-2=0，
且|m-n|=2,所以n=2，|m-2|=2，所以m=4,n=2，或m=0,n=2，所以mn=8或mn=0.
点评：抓住多项式的次数定义是完成解题的根本依据，解答时，注意如下几点：
1.多项式的次数是多项式中每一个单项式次数的最高次数，具备最高次数的单项式可以不唯一；
2.熟记单项式次数的确定方法，各字母指数的和，为解题构造等式提供支撑；
3.掌握消除高于最高次数的项的基本方法：令该项的系数为0,0与任何数，任何式的积均为0，从而实现消项的目标.
考点6编程计算
1.以“0”为参照标准的单一代数式的编程计算
例11（2020江苏连云港）按照如图1所示的计算程序，若x=2，则输出的结果是　
．
分析：编程计算，简洁但内涵丰富，解答时，需要准确理解编程计算的意义和计算原理，其基本结构为：输入值→代数式→转化为代数式的值→对照标准→符合→输出，不符合，代数式的值作为新输入值，进行再次流程计算，直到符合标准为止.
解析：
当x=2时，10-=10-=6＞0，不符合标准，当x=6时，10-=10-=10-36=-26＜0，符合标准，可以输出，所以输出的结果是-26.
点评：编程计算的实质是求代数式的值，是一种符合标准输出，不符合标准，代数式的值转化为输入值重新计算值的重复型计算题，理解编程计算的实质和意义是解题的关键.
2.分类输入两代数式的规律探索型编程计算
例12（2020贵州黔西南）如图2，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则
第2020次输出的结果为　
　．
分析：程序的基本特点，对输入数按照等于1和不等于1进行分类，后进行分类计算，通过反复的输入计算，寻找其中的基本规律，利用循环节的思想方法求解即可.
解析：当x=625时≠1,所以x=125；当x=125时≠1，所以x=25；
当x=25时≠1，所以x=5；当x=5时≠1，所以x=1；
当x=1时，x+4=5，当x=5时≠1，所以x=1；…依此类推，以5，1值进行循环，循环节为2，因为（2020﹣2）÷2＝1010，所以第2020次的结果为1即输出的结果是1.
点评：解答时，不要急躁，通过进行多步计算，将问题转化为循环节问题，这是解题的关键.确定从第几步开始，循环节是多少，循环值的对应变化规律都是解题时必须要解决的问题，要熟练掌握.
考点7
规律探索
1.黑色三角形拼图摆放中寻找规律
例13（2020重庆A卷）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为
（
）
A.
10
B.
15
C.
18
D.
21
解析：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3=1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6=1+2+3，……，∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5=15，故选：B．
点评：选择正确的试题角度是解题的关键.从上而下，分层数，分别加，是解题的根本.
其一般性规律为：第n个图案中，黑三角形的个数：1+2+3+……+n=.
其计算思想恰好是高斯计算思想的再现，在寻找规律中，缅怀了数学名人.
2.正三角形拼图摆放中寻找规律
例14（2020山西）（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有　
　个三角形（用含n的代数式表示）．
解法1：整体元分割法，列表思索如下：
所以第n个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．
点评：此法采用图形整体元分解法，准确实施图形分割是解题的关键.这里也体现局部整体思维的智慧，实现了整体变化，局部稳定的解题探索.
解法2：上、下二层分割法
第一个图案数：2+1+1=4；第二个图案数：2×2+2+1=7；第三个图案数：3×2+3+1=10；
第四个图案数：4×2+4+1=13；…，第n个图案数：n×2+n+1=3n+1，．故答案为：（3n+1）．
点评：合理分层使得规律发现更容易，更容易总结，这也体现了数学创新精神的课标要求，培养自我数学创新意识.
3.实心圆点摆放中寻找规律
例15（2020重庆B卷）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，?，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为
（
）
A.18
B.
19
C.20
D.21
解析：横、纵二层分割法探索列表如下：
所以第n个图案中，圆点数为（3n+2）个，当n=6时，3n+2=20,所以选C.
点评：科学分割图案，用序号分别表示横，纵圆点数是解题的关键.
4.菱形摆放中寻找规律
例16（2020贵州黔西南）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①
个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，
按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为　
．
解析：继续采用二层分割法
第①个图形中上层1，下层1+1，即1+1+1=3，一共有3个菱形；
第②个图形中上层1+2+1，下层2+1，即+2+1=7，一共有7个菱形；
第③个图形中上层1+2+3+2+1下层3+1，即+3+1=13，一共有33个菱形；
…，按此规律排列下去，
第n个图形中上层1+2+…+n+…+2+1，下层n+1，即+n+1，一共有(+n+1)个菱形；
所以第⑦个图形中菱形的个数为：+n+1=+7+1=57．所以答案为：57．
点评：上下二层分割法是解题的方法引领，代数式变形为序号为底数的自然数完全平方，是解题的关键，灵活变形是解题的创新灵魂所在.
例17（2020海南）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有　　个菱形，第n个图中有　
　个菱形（用含n的代数式表示）．
解析：∵第1个图中菱形的个数1=+；第2个图中菱形的个数5=+；
第3个图中菱形的个数13=+；第4个图中菱形的个数25=+
∴第5个图中菱形的个数为+=41，
第n个图中菱形的个数为+=2-2n+1，故答案为：41，2-2n+1．
点评：这个图示，实际上是勾股数的变式，这启示同学们，在常态学习时，不仅要注意式子的学习，更要掌握式子的形的意义，这样才能全面掌握，全面学习，继而实现数形结合的思想的提炼与渗透，实现培养数学核心素养的数学学习目标.
5.恒等式中寻找规律
例18（2020青海）（4分）观察下列各式的规律：
①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．
请按以上规律写出第4个算式　
．
用含有字母的式子表示第n个算式为　
　．
解析：④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．
第n个算式为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
考点8
整式加减
例19（2020河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
解析：（1）A区显示结果为：，
B区显示结果为：；
（2）初始状态按4次后A显示为：
B显示为：
∴A+B=
=
=
∵恒成立，
∴和不能为负数．
　四、易错点剖析
1、对单项式的定义理解不准致错
例１　下列式子中，是单项式的有（　　　　）（只填序号）
①ａ；②－２；③ｘ＋３ｙ；④；⑤；⑥
错解：　①②④．
　　剖析：单项式的存在形式有以下几种：（１）单独的数；（２）单独的字母；（３）数与字母的乘积；（４）单独的字母或字母的乘积与数字的商．当有分母时，分母中出现了字母就一定不是单项式，注意π是一个数字而不是一个字母，这一点同学们一定要记清楚．
　　　正解：①②⑥．
2、对单项式的系数理解不准致错
例２　单项式－ｙ的系数为　　．
　　　错解：　１或０．
　　　剖析：确定单项式的系数时，我们按照规范＋省略的眼光来分析：
所谓的规范是指：（１）把单项式分成数×字母的形式；（２）省略字母后的因数就是系数．
所谓的省略是指：当系数时１时，数字１省略不写；当系数时－１时，数字１省略不写但是“－”却不能省略．所以－ｙ＝（－１）×（ｙ），所以单项式－ｙ的系数为－１．
　　正解：－１．
3、对单项式的次数理解不准致错
例３　在下列代数式中，次数为３的单项式是（　　）
　
　A．ｘ
Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．３ｘｙ
错解：
选B或选C．
剖析：　确定单项式的次数时，我们的思考顺序是：
（１）首先确定它是单项式；（２）确定单项式中字母的种数；
（３）确定每种字母的指数；（４）确定每种字母指数的和．解答时，一定要严格落实上面的要求．因为是多项式，不是单项式，所以不符合题意．其余如下：
所以符合的是Ａ．
　正解：　选A．
4、对同类项的定义理解不准致错
例４　下列各式是同类项的是（
）
①2和2；②－２5和；③2和4；④-和5
A．②③④．
Ｂ．　②③．　
Ｃ．　②④．
　Ｄ．①②③．
错解：　选A或选B．
　剖析：判断两个式子是同类项时，一定注意以下几点：
１．两个式子必须都是单项式；2.
两个单项式中的字母种数必须相同；
3.
同一个字母在单项式中的指数必须相同；
4.同类项与单项式的系数无
；5.
同类项与字母顺序无关；
6.
具体的数，不论其呈现形式如何，都是特殊的同类项．
　正解：①中的两个单项式中字母的种数不同，所以一定不是同类项；②中的两个式子都标示的是数，所以一定是同类项；③中字母的种数相同，但是相同字母的指数不同，所以一定不是同类项；④中字母的种数相同，相同的字母的指数也相同，只是顺序不同，根据乘法交换律可以变形为-和5，所以一定是同类项．所以应该选Ｃ．
5、对合并同类项的实质把握不准致错
例５　下列合并同类项的结果是错误的有　　　．（只填序号）
①２ａ＋３＝５；②３ｘ＋４ｘ＝７；③５ｘｙ－４ｘｙ＝１；
④ａｘ－ｘａ＝０；⑤４ｙ－５ｙ＝－１ｙ；⑥３ａ－ａ＝２ａ．
　错解：　③．
　剖析：合并同类项的实质是把同类项的系数相加或相减，同类项中的字母及其指数保持不变．①中的两个式子根本不是同类项，谈不上合并同类项，所以其计算结果必然是错误的；②中的两个式子是同类项，可以进行合并，系数相加为７没有错，错在把字母的指数也进行了加法运算，正确的结果应该是３ｘ＋４ｘ＝７ｘ；③中的两个式子也是同类项，因此可以进行合并，系数相减为１也是正确的，但是不能把字母省去，正确的结果是５ｘｙ－４ｘｙ＝ｘｙ，系数１要省去；④正确；⑤计算的结果没有错，错在没有按照课本的要求去记结果，当系数的绝对值是１时，数字１要省略不写，所以正确结果为４ｙ－５ｙ＝－ｙ；⑥中的结果是正确的，但是错在结果的书写上，当带分数与字母相乘时，带分数一定要化成假分数，所以正确结果为ａ．
　正解：①②③⑤⑥．
6、对去括号的法则理解不准致错
例６　计算－３（ｘ－２ｙ－１）的结果正确的是（　　）
A．－３ｘ－２ｙ－１
Ｂ．　－３ｘ－６ｙ－１　
Ｃ．－３ｘ＋６ｙ－３
　　Ｄ．－３ｘ＋６ｙ＋３
错解：　选Ａ或选Ｂ或选Ｃ．
　剖析：当括号前面有系数，去括号时，要先把系数逐项乘进括号中，特别是当系数是负数时，一定要用这个负数去乘以括号里的每一项，不能漏项，把＂－（　　）＂型去括号转化成＂＋（
）”型去括号,这样就可避免一些错误的出现．
正解：－３（ｘ－２ｙ－１）＝｛［（－３）×１］ｘ＋［（－３）×（－２）］ｙ＋［（－３）×（－１）］＝（－３ｘ＋６ｙ＋３）＝－３ｘ＋６ｙ＋３，所以选择Ｄ．