江西省赣县第三中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学（理）试卷 Word含答案

赣县三中2020-2021学年高二上学期12月考数学（理科）试题
一、单选题(共60分)
1．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎患者症状是发热?干咳?浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热?干咳?浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，按照等间隔抽取的方法，则第5段中被抽中的学生编号为（ ）
A．48 B．62 C．76 D．90
3．已知是三个不重合的平面，是直线，给出下列命题：①若，则；②若上两点到的距离相等，则；③若，则；④若，且，则.其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4．设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 ( )
A．2 B．-4 C．-2 D．4
5．已知命题p：若且，则，则命题p的逆否命题及其真假分别为（ ）
A．若，则且，真
B．若，则或，真
C．若，则且，假
D．若，则或，假
6．执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（ ）
A． B． C． D．
7．已知命题：对任意，总有；：“”是“，”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
8．多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，建立下图的空间直角坐标系，已知、、、、、.若为平行四边形，则点到平面的距离为（　）
A． B． C． D．
9．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ）
A． B． C． D．
10.将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正四棱柱中， 是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．设、、…、为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到、、…、点的距离之和最小，则称点为、、…、点的一个“中位点”，有下列命题：①、、三个点共线，在线段上，则是、、的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点、、、共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（ ）
A．②④ B．①② C．①④ D．①③④
二、填空题(共20分)
13．在空间直角坐标系中，点关系平面对称的坐标为，关于轴对称的点坐标为，则_____.
14．若在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率是______．
15．有以下命题：
①存在实数，，使得；
②“，”的否定是“存在，”；
③掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的点数不小于3的概率为；
④在闭区间上取一个随机数，则的概率为．
其中所有的真命题为________．（填写所有正确的结论序号）
16．已知三棱锥的各顶点都在球面上，,平面,，,若该球的体积为，则三棱锥的表面积为__________．
三、解答题(共70分)
17．(本题10分) 已知向量，.
（1）若，求实数；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.
18．(本题12分)设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.
(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．每年8月8日是我国全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；
（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；
（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．
20．如图，在梯形中，，，，现将沿翻折成直二面角.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角余弦值的大小.
21．已知，命題对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若为假，为真，求的取值范围.
22．在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点，在线段上，且满足.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
高二上学期12月考数学（理科）参考答案
A 2．B 3．D 4．D 5．D 6．C 7．D 8．C 9．D 10．A 11．B
12．C ①若三个点共线,在线段上,根据两点之间线段最短,
则是的中位点,正确；
②举一个反例,如边长为的直角三角形,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,
∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；
③若四个点共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一；故错误；
④如图,在梯形中,对角线的交点是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得,
∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．
故①④正确.故选：C
13． 14． 15．①②④
16．27 如图所示，因为平面，所以，，，
因为，，所以平面，所以，
设的中点为，则，所以为三棱锥外接球的球心，
由题知，解得，所以，
在中，,，所以，
在中，，
在中，，
所以三棱锥的表面积为
.故答案为27.
17．（1）；（2）且.
（1）由已知可得，，，因为，所以，可得.
（2）由（1）知，，，因为向量与所成角为锐角，所以，解得，
又当时，，可得实数的范围为且.
18．（1）； （2）.
(Ⅰ)对于命题：由得，
又，∴，当时，，即为真时实数x的取值范围是.
由已知为真时实数的取值范围是.
若为真，则真且真，∴实数的取值范围是.
(Ⅱ)是的充分不必要条件，即，且，
设，，则，
又，，
则且，∴实数的取值范围是.
19．(1) 平均数37，中位数为35;(2) （ⅰ）;（ⅱ）该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．
（1）平均数．
前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，
则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．
（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．
则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：
（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，
故所求概率．
（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，
故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．
20. （Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
（Ⅰ）取的中点，连结.∵，，
∴，，∴四边形是平行四边形，
∴，∴，∴，即.
又平面平面，且两平面的交线为，∴平面，
又平面，∴.
（Ⅱ）取的中点，连结，则.
∴，且，∴，，两两互相垂直.
以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，则，，，，∴，.
由异面直线与所成角的余弦值为，得，解得.
易得平面的一个法向量为，∴设平面的一个法向量为，
又，，由，得，
取，得，，故，，
∴二面角的余弦值.
21．(1)；(2)
(1)对任意，不等式恒成立，
当，由对数函数的性质可知当时，的最小值为，
，解得.
因此，若为真命题时，的取值范围是.
(2)存在，使得成立，.
命题为真时，，且为假，或为真，
，中一个是真命题，一个是假命题.
当真假时，则解得；
当假真时，，即.
综上所述，的取值范围为.
22．（1）见解析；（2）；（3）
（1）由题意可得，，两两互相垂直，如果，以为原点，，，分别是，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，
∴，令∴又，∴，∴平面∴ 平面
（2）设点坐标为则，，
由得，∴设平面的法向量为，
由得即令∴
又由图可知，该二面角为锐角故二面角的余弦值为
（3）设，，∴
∴∴
∵与平面所成角的余弦值是∴其正弦值为∴，整理得：
，解得：，（舍）
∴存在满足条件的点，，且