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2020-2021学年人教版九年级数学下册期末真题集训（提高版）
第二十七章
相似
一．选择题
1．（2020春?高新区期末）如图，是矩形中边的中点，交于点，的面积为2，则四边形的面积为
A．6
B．8
C．10
D．12
【解答】解：四边形为矩形，
，，，，
，
是矩形中边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边的面积为：，
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质以及矩形的性质．
2．（2020春?恩平市期末）如图，的直角边，，在数轴上，在上截取，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则的中点对应的实数是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在中，，，，由勾股定理得：，
，，
，
，
即，
的中点是，
，
即点表示的数是，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，黄金分割，实数和数轴等知识点，能求出的长是解此题的关键．
3．（2020春?工业园区期末）如图，在中，点在上，．若，，则等于
A．5
B．6
C．
D．
【解答】解：在和中，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4．（2020春?文登区期末）如图，正方形，对角线，交于点，将一个三角板的直角顶点与点重合，两直角边分别与，交于点，连接交于点，下列3个结论：
①；
②；
③．
其中正确的结论有
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【解答】解：四边形为正方形，
，，，
，，
，
在和中
，
，所以①正确；
，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
；所以②正确；
，
，
而，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．所以③正确．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了正方形的性质．
5．（2019秋?玄武区期末）如图，在中，、分别是边、的中点，、分别交于点、，则图中阴影部分图形的面积与的面积之比为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，是的中点，
，
，即，
同理可得，，
，
，
、分别是边、的中点，
，，
，
，
，
图中阴影部分图形的面积，
即图中阴影部分图形的面积与的面积之比为，
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
6．（2018秋?南浔区期末）如图，已知在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图所示，过作交于或交于，则或，
此时；
如图所示，过作交于，则，
此时；
如图所示，过作交于，则，
此时，，
当点与点重合时，，即，
，
此时，；
综上所述，长的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
7．（2019春?济南期末）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
，故①正确，
，
，
，
又，，
，
，
，
，故②正确，
，
与不相似，故③错误，
，
，
，
，
，
，故④正确，
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2019秋?吴兴区期末）长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是
A．
B．5.5
C．
D．
【解答】解：设正方形边长为，由与边成的角为，与边成的角为，
在、、，中，
可得①
②
解得，；
两边平方相加得，
所以正方形的边长．
故选：．
【点评】此题考查正方形的性质，以及直角三角形中的边角关系，关键是利用函数值表示矩形的长和宽．
二．填空题
9．（2020秋?皇姑区期末）已知，则 3 ．
【解答】解：设，
则，，，
．
故答案为：3．
【点评】此题考查了比例的基本性质，掌握比例的基本性质，设出相应的未知数是本题的关键．
10．（2020春?渝中区校级期末）如图，为测量学校围墙外直立电线杆的高度，小红在操场上点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合；小红又在点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合．小红的眼睛离地面高度，量得，，，则电线杆的高度为 10.5 ．
【解答】解：，，，
，
△△．
．
，
．
．
，
，
即．
．
，
．
．
．
答：电线杆的高度为．
故答案是：10.5．
【点评】考查相似三角形的应用；解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
11．（2020春?泰山区期末）如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点．若，则的长为 8 ．
【解答】解：作交于点，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，，
，
，
，
即，
解得，，
，
故答案是：8．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
12．（2020春?偃师市期末）如图，正方形中，点是边的中点，、交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是 ①②③④ ．
【解答】解：四边形是正方形，是边上的中点，
，，，
在和中
，
，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
设，则，
，
，故②正确；
，
，
，
即：，故③正确；
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直；
②四个内角相等，都是90度；
③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
13．（2020春?常熟市期末）如图，在矩形中，，，的顶点在边上，且，，，则 ．
【解答】解：如图所示，过作，交的延长线于，则，
四边形是矩形，
，，
又，
，
，
又，
，
，即，
，，
，
设，则，，
中，，
，
解得，
即，
中，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
14．（2019秋?新吴区期末）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点，，，为格点（即小正方形的顶点），与相交于点，则的长为 ．
【解答】解：如图所示：
在和中，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得，
，
又，
，
故答案为．
【点评】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的运用，重点掌握相似三角形的判定与性质．
15．（2019秋?永济市期末）一块含有角的直角三角板按如图所示的方式放置，若顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为 ， ．
【解答】解：如图，过点作轴于点，
，，，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，，
，
点的坐标为，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了坐标与直角三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用锐角三角函数等．
16．（2012秋?武侯区校级期末）如图，是半圆直径，半径于点，平分分别交于点，交弧于点，连结、，给出以下四个结论：①；②；③线段是与的比例中项；④．其中正确结论的序号是 ①④ ．
【解答】解：①平分，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，，
，
，
平分分别交于点，，，
，
，
，
，
；故正确；
②过点作，
，
平分，
，
半径，
，
，
，
，
故错误；
③平分交弧于点，
，
，
，
，
是等腰三角形，
中，，，
和不相似，
线段不是与的比例中项，
故错误；
④是半圆直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
故正确．
故答案为：①④．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、圆周角定理以及角平分线的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题
17．（2020秋?和平区期末）如图，，，，，，点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的长．
【解答】解：设，则，
于，于，
，
当时，，即，
解得，
当时，，即，
整理得，
解得，
当为或3时，以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
18．（2019秋?荔湾区期末）如图，已知，．求证：．
【解答】证明：，
，
．
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
19．（2019秋?市中区期末）如图，在矩形中，，，是边上的任意一点与、不重合），作，交于点．
（1）判断与是否相似，并说明理由．
（2）连结，若，试求出此时的长．
【解答】解：（1）与相似，理由如下：
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）连结，如图所示：
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
在矩形中，，，
，，
．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及平行线截线段成比例定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
20．（2020春?莱州市期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上已知纸板的两条直角边，，测得，边离地面的高度，求树高．
【解答】解：，，
，
，
，，，，
，
米，
米，
树高为9米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
21．（2019秋?宿松县期末）如图，在中，点、分别在边、上，，分别交线段、于点、，且．求证：
（1）平分；
（2）．
【解答】解：如图所示：
（1），
，
，
，
在和中，
，
，
平分；
（2）在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点评】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式．
22．（2019秋?甘井子区期末）如图，点、、、是上的四个点，是的直径，过点的切线与的延长线垂直于点，连接、相交于点．
（1）求证：平分；
（2）若的半径为，，求的长．
【解答】解：（1）证明：如图，连接
过点的切线与的延长线垂直于点，
，
，即平分；
（2）如图，设交于点，连接
为直径
，
，
的半径为，
，
易得四边形为矩形
解得：
的长为．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定及圆中的相关性质定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
23．（2019秋?临安区期末）如图，点、、在一条直线上，交于点，，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解答】（1）
即
在和中
，，
；
（2），
、
在和中，，，
．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（2019秋?咸安区期末）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
过0，
与相切；
（2）解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
25．（2020春?广饶县期末）如图所示，在等腰三角形中，底边，高，四边形是正方形．
（1）与相似吗？为什么？
（2）求正方形的边长．
【解答】解：（1）四边形是正方形
，
；
（2）设正方形的边长为，则，，
，
；
即正方形的边长为．
【点评】此题主要考查学生对相似的三角形的判定及正方形的性质的综合运用．
26．（2018秋?镇海区期末）如图，在中，，，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】解：（1），，
，
又因为（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），
同理，
，
又，
；
（2），
，
，
，
即，
，
．
【点评】本题利用了三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
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第二十七章
相似
一．选择题
1．（2020春?高新区期末）如图，是矩形中边的中点，交于点，的面积为2，则四边形的面积为
A．6
B．8
C．10
D．12
2．（2020春?恩平市期末）如图，的直角边，，在数轴上，在上截取，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则的中点对应的实数是
A．
B．
C．
D．
3．（2020春?工业园区期末）如图，在中，点在上，．若，，则等于
A．5
B．6
C．
D．
4．（2020春?文登区期末）如图，正方形，对角线，交于点，将一个三角板的直角顶点与点重合，两直角边分别与，交于点，连接交于点，下列3个结论：
①；
②；
③．
其中正确的结论有
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
5．（2019秋?玄武区期末）如图，在中，、分别是边、的中点，、分别交于点、，则图中阴影部分图形的面积与的面积之比为
A．
B．
C．
D．
6．（2018秋?南浔区期末）如图，已知在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是
A．
B．
C．
D．
7．（2019春?济南期末）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2019秋?吴兴区期末）长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是
A．
B．5.5
C．
D．
二．填空题
9．（2020秋?皇姑区期末）已知，则 ．
10．（2020春?渝中区校级期末）如图，为测量学校围墙外直立电线杆的高度，小红在操场上点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合；小红又在点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合．小红的眼睛离地面高度，量得，，，则电线杆的高度为 ．
11．（2020春?泰山区期末）如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点．若，则的长为 ．
12．（2020春?偃师市期末）如图，正方形中，点是边的中点，、交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是 ．
13．（2020春?常熟市期末）如图，在矩形中，，，的顶点在边上，且，，，则 ．
14．（2019秋?新吴区期末）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点，，，为格点（即小正方形的顶点），与相交于点，则的长为 ．
15．（2019秋?永济市期末）一块含有角的直角三角板按如图所示的方式放置，若顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为 ．
16．（2012秋?武侯区校级期末）如图，是半圆直径，半径于点，平分分别交于点，交弧于点，连结、，给出以下四个结论：①；②；③线段是与的比例中项；④．其中正确结论的序号是
．
三．解答题
17．（2020秋?和平区期末）如图，，，，，，点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的长．
18．（2019秋?荔湾区期末）如图，已知，．求证：．
19．（2019秋?市中区期末）如图，在矩形中，，，是边上的任意一点与、不重合），作，交于点．
（1）判断与是否相似，并说明理由．
（2）连结，若，试求出此时的长．
20．（2020春?莱州市期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上已知纸板的两条直角边，，测得，边离地面的高度，求树高．
21．（2019秋?宿松县期末）如图，在中，点、分别在边、上，，分别交线段、于点、，且．求证：
（1）平分；
（2）．
22．（2019秋?甘井子区期末）如图，点、、、是上的四个点，是的直径，过点的切线与的延长线垂直于点，连接、相交于点．
（1）求证：平分；
（2）若的半径为，，求的长．
23．（2019秋?临安区期末）如图，点、、在一条直线上，交于点，，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．（2019秋?咸安区期末）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
25．（2020春?广饶县期末）如图所示，在等腰三角形中，底边，高，四边形是正方形．
（1）与相似吗？为什么？
（2）求正方形的边长．
26．（2018秋?镇海区期末）如图，在中，，，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
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