利用空间向量求二面角

(共21张PPT)
　课题：利用法向量求二面角
茂名市第十六中学：高二数学理科备课组
主讲人：吕宇云
四、教学过程的设计与实施
l
A
B
O
2、如何作二面角α—l—β的平面角？
温故知新
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做 ，这条直线叫做 ，
这两个半平面叫做 .
二面角
二面角的棱
二面角的面
1、二面角的定义：
与面
如图， 是直角梯形，
所成的二面角的余弦值。
求面
你能找到所求二面角的棱吗？
探究新知
问题： 二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没有关系？
l
探究新知
探究新知
问题： 法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补。
再次演示课件
探究新知
细心想一想，
你将有新发现！！
尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），
n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
解析
即〈m,n〉=45°，其补角为135°.
∴两平面所成二面角为45°或135°.
C
练一练
与面
如图， 是直角梯形，
所成的锐二面角的余弦值。
求面
例题精讲
【审题指导】本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性
解：
则
设
是面SCD的法向量，
与面
如图，ABCD是直角梯形，
所成的二面角的余弦值。
求面
建立如图所示的空间直角坐标系
则
启示：
求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。
是平面SAB的法向量，
就是二面角的平面角，
所求锐二面角的余弦值为：
令z=1解之得
结论：
利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。
利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：
建立坐标系
找点坐标
求法向量坐标
求两法向量夹角
定值
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求锐二面角A—DQ—A1的余弦值．
巩固练习：
x
y
z
小结：
1.利用法向量求二面角大小的优势：
避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数值计算。
2.利用法向量求二面角大小的关键：
确定相关平面的法向量。
3.利用法向量求二面角大小的缺点：
计算量相对比较大。
课后思考 （2009·天津理，19）
如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥
平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥
AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= .
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE;
(3)求锐二面角A—CD—E的余弦值.
(1)解 如图所示，建立空间直
角坐标系，点A为坐标原点，设
AB=1，依题意得B(1,0,0),
C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
(2)证明
又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE?平面
CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)解 设平面CDE的法向量为u=（x,y,z)，
令x=1,可得u=(1,1,1).
又由题设，平面ACD的一个法向量v=(0,0,1).
因为二面角A—CD—E为锐角，所以其余弦值为
课后作业：第111页A组：6、8
谢谢