1.2.2.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第二节 基本不等式 第二课时 基本不等式的应用

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INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
探究点1　利用基本不等式证明不等式
已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.
【证明】　因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../互动探究LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
(变问法)在本例条件下，求证：＋＋≥9.
证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，
所以＋＋
＝＋＋
＝3＋＋＋　
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
利用基本不等式证明不等式的思路
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.
证明：因为a，b都是正实数，且ab＝2，
所以2a＋b≥2＝4，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立．
所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab＝5＋2a＋b≥5＋4＝9.
即(1＋2a)(1＋b)≥9.
2．已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：因为a，b，c＞0，所以利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，所以＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
探究点2　利用基本不等式解实际应用题
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
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"../../../../例2LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1
800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？
【解】　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．
由题意可知，面粉的保管费等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)(元)．
设平均每天所支付的总费用为y元，
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1
800＝9x＋＋10
809≥2
＋10
809＝10
989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．
故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
利用基本不等式解决实际问题的思路
利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)上靠拢．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N
)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5　8
2．用一段长为36
m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x
m、宽为y
m，
则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，
矩形菜园的面积为xy
m2.
由≤＝＝9，
可得xy≤81，
当且仅当x＝y，
即x＝y＝9时，等号成立．
因此，这个矩形的长、宽都为9
m时，菜园的面积最大，最大面积为81
m2.
探究点3　基本不等式的综合问题
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
若不等式9x＋≥a＋1(常数a＞0)对一切正实数x成立，求a的取值范围．
【解】　常数a＞0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a＋1≤9x＋的最小值，
又9x＋≥6a，
当且仅当9x＝，
即x＝时，等号成立．
故必有6a≥a＋1，
解得a≥.
所以a的取值范围为a≥.
(1)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)的最小值．
(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)的最大值．
[注]　f(x)表示有关x的代数值　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
已知不等式(x＋y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　
B．2
C．4
D．6
解析：选C.(x＋y)(＋)＝4＋a＋，因为x＞0，y＞0，a＞0，所以＋≥2＝4，当且仅
当＝时取等号．由已知可得4＋a＋4≥16，即a＋4－12≥0，解得≥2或≤－6(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．若a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2________2|ab|.(　　)
A．≥　　　　　　　　　　
B．＝
C．≤
D．＞
解析：选A.由基本不等式得a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．
2．(2020·聊城高一检测)设0＜a＜b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　　)
A.
B．b
C．2ab
D．a2＋b2
解析：选B.因为0＜a＜b，且a＋b＝1，
所以ab＜＝，所以2ab＜.
因为
＞＝，
所以a2＋b2＞.
因为b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)＞0，
所以b＞a2＋b2，所以b最大．
3．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：每年购买次数为次．
所以总费用＝·4＋4x≥2＝160，
当且仅当＝4x，
即x＝20时等号成立．
答案：20
4．若a＜1，则a＋与－1的大小关系是________．
解析：因为a＜1，即1－a>0，
所以－＝(1－a)＋
≥2
＝2.
即a＋≤－1.
答案：a＋≤－1
5．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明：由a，b，c，d都是正数，得
≥，
≥，
所以≥abcd，
即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
[A　基础达标]
1．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　)
A．a2＋b2　　　　　　　　
B．2
C．2ab
D．a＋b
解析：选D.法一：因为0＜a＜1，0＜b＜1且a≠b，所以a2＋b2＞2ab，a＋b＞2，a＞a2，b＞b2，所以a＋b＞a2＋b2，故选D.
法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．
2．(2020·枣庄高一检测)已知a＞0，b＞0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为(　　)
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
解析：选D.≥≥，当且仅当a＝b时取等号，故选D.
3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
解析：选B.设每件产品的平均费用为y元，
由题意得y＝＋≥2＝20.
当且仅当＝(x>0)，
即x＝80时“＝”成立，故选B.
4．已知aA．3
B．2
C．4
D．1
解析：选A.因为a0，
由基本不等式可得＋b－a＝1＋＋(b－a)≥1＋2＝3，
当且仅当＝b－a(b>a)，
即当b－a＝1时，等号成立，
因此，＋b－a的最小值为3，故选A.
5．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)
A．8
B．7
C．6
D．5
解析：选C.由已知，
可得6＝1，
所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，
所以9m≤54，即m≤6，故选C.
6．已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
解析：y＝4x＋≥2
＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，
即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.
又由已知x＝3时，y的最小值为4，
所以＝3，即a＝36.
答案：36
7．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．
答案：≤
8．已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．
解析：因为a＋b＝4，所以(a＋1)＋(b＋3)＝8，所以8＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝＋＋2≥2＋2＝4，
所以＋≥，
当且仅当a＋1＝b＋3时，等号成立，
所以＋的最小值为.
答案：
9．已知x＞0，y＞0，z＞0.
求证：≥8.
证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，
所以＋≥＞0，
＋≥＞0，
＋≥＞0，
所以
≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
10．已知a＞b＞c且＋≥恒成立，求实数m的最大值．
解：由题意，a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，
又＋≥，即＋≥m，
即＋≥m，
又2＋＋1＋≥3＋2(当且仅当a－b＝(b－c)时取等号)．
所以实数m的最大值为3＋2.
[B　能力提升]
11．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2
B.≥
C.≥a＋b
D．(a＋b)≥4
解析：选ACD.因为a>0，b>0，
所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A一定成立．
因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥不一定成立，故B不成立．
因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥，
所以≥a＋b，故C一定成立．
因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选ACD.
12．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)
A．10
B．9
C．8
D．7
解析：选B.因为a＞0，b＞0，
所以＋≥?＋＝5＋＋≥m，由a＞0，b＞0得，＋≥2＝4(当且仅当a＝b时取“＝”)．
所以5＋＋≥9，所以m≤9.故选B.
13．如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
INCLUDEPICTURE
"../../../../2-1.tif"
\
MERGEFORMAT
解析：如图所示，
INCLUDEPICTURE
"../../../../2-2.TIF"
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MERGEFORMAT
连接OC，设OB＝x(0所以由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·＝2≤(16－x2)＋x2＝16，
当且仅当16－x2＝x2时，即x＝2时，等号成立．
答案：16
14．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3
000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N
)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7
800元．
(1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数；
(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？
解：(1)由题意，得y＝×300＋k×3
000x.
当x＝20时，y＝7
800，
解得k＝0.04.
所以y＝×300＋0.04×3
000x＝×300＋120x(x∈N
)．
(2)由(1)，得y＝×300＋120x≥2＝2×3
600＝7
200.
当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立．
所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台．
[C　拓展探究]
15．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB>AD，矩形的周长为
8
cm.　
(1)设AB＝x
cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；
(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．
INCLUDEPICTURE
"../../../../2-9.tif"
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MERGEFORMAT
解：(1)由题意可得AD＝4－x，
且x>4－x>0，可得2由CE＝AE＝x－DE，
在直角三角形ADE中，可得AE2＝AD2＋DE2，
即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，
化简可得DE＝4－(2(2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)
＝2
≤2＝12－8，
当且仅当x＝2，4－x＝4－2，
即队徽的长和宽分别为2，4－2时，
△ADE的面积取得最大值．
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