1.2.2.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第二节 基本不等式 第一课时 基本不等式

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教材考点
学习目标
核心素养
基本不等式
理解基本不等式的内容及导出过程
逻辑推理
利用基本不等式求最值
能够运用基本不等式求函数或代数式的最值
数学运算
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"
问题导学
预习教材P44－P46，并思考以下问题：
1．基本不等式的内容是什么？
2．基本不等式成立的条件是什么？
3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
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1．重要不等式与基本不等式
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"../../../../BZ1.TIF"
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■微思考1
(1)不等式a2＋b2≥2ab和≥成立的条件相同吗？
提示：两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．
(2)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
(3)基本不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明．
提示：不能，如≥是不成立的．
2．基本不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2．
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．
■微思考2
通过以上结论，你认为利用基本不等式求最值要注意哪几方面？
提示：利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：
①一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0；
②二定：化不等式的一边为定值；
③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立．
以上三点缺一不可．
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../自我检测LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　)
(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(　　)
(3)若a>0，b>0，则ab≤.(　　)
(4)a，b同号时，＋≥2.(　　)
(5)函数y＝x＋的最小值为2.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×
2．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是(　　)
A．2　　　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：选D.因为a>0，所以a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时取等号．
3．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　)
A．x≥2y
B．x>2y
C．x≤2y
D．x<2y
解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，故选B.
4．已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．
解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
答案：　
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　对基本不等式的理解
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
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"../../../../例1LLL.TIF"
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下列结论正确的是(　　)
A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0【解析】　对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－在0【答案】　B
应用基本不等式时的三个关注点
INCLUDEPICTURE
"../../../../QQ1.TIF"
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MERGEFORMAT
　
(多选)下列条件中，能使＋≥2成立的是(　　)
A．ab＞0
B．ab＜0
C．a＞0，b＞0
D．a＜0，b＜0
解析：选ACD.当，均为正数时，＋≥2，故只须a，b同号即可，所以ACD均可以．故选ACD.
探究点2　利用基本不等式直接求最值
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
(1)已知t＞0，求y＝的最小值；
(2)若正实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值．
【解】　(1)依题意得y＝t＋－4≥
2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.
(2)因为正数x，y满足2x＋y＝1，
所以2x＋y＝1≥2，
所以≤，
解得xy≤，当且仅当x＝，y＝时取等号．
(1)若a＋b＝S(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值，可以用基本不等式≤求得．
(2)若ab＝P(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2，可以用基本不等式a＋b≥2求得．
不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16
B．25
C．9
D．36
解析：选B.因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.
2．若a，b都是正数，则的最小值为(　　)
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：选C.因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时取等号．
探究点3　利用基本不等式求最值
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
(2)若0(3)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________．
【解析】　(1)因为x>2，
所以x－2>0，
所以y＝x＋＝x－2＋＋2
≥2
＋2＝6，
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，等号成立．
所以y＝x＋的最小值为6.
(2)因为00，
所以y＝x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，
即当x＝时，ymax＝.
(3)因为x，y∈(0，＋∞)，x＋4y＝1，
所以＋＝＋＝5＋＋≥9，
当且仅当＝，
即x＝，y＝时取等号．
【答案】　(1)6　(2)　(3)9
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../互动探究LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
(变条件)若把本例(1)中的条件“x>2”改为“x<2”，求f(x)＝x＋的最大值．
解：因为x<2，
所以2－x>0，
所以f(x)＝x＋
＝－＋2
≤－2＋2＝－2，
当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，
即x＝0时，等号成立．
故f(x)＝x＋的最大值为－2.
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B.由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．
2．函数y＝3x2＋的最小值是(　　)
A．3－3
B．3
C．6
D．6－3
解析：选D.y＝3(x2＋1)＋－3≥
2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.
3．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．
解析：x＋y＝(x＋y)·
＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16.
即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.
答案：16
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．下列不等式中，正确的是(　　)
A．a＋≥4　　　　　　　
B．a2＋b2≥4ab
C.≥
D．x2＋≥2
解析：选D.a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)
A．25
B.
C.
D.
解析：选D.a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab＝a·2b≤×＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故选D.
3．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．2
B．a
C.
D．3
解析：选D.因为a＞1，所以a－1＞0，
所以a＋＝a－1＋＋1
≥2＋1＝3.
当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．
4．(2020·泰安高一检测)当x＞0时，若2x＋(a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
解析：因为a＞0，且2x＋≥2＝2，
当且仅当2x＝，
即x＝时，2x＋取得最小值，
所以＝3，
解得a＝18.
答案：18
5．已知x，y为正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
解：因为x，y为正实数，
所以(x＋y)
＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，
即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”．
又x＋y＝4，
所以＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
[A　基础达标]
1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
解析：选D.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．
2.(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9　　　　　　　　　　　
B.
C．3
D.
解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，
a＋6≥0，
所以≤＝.
即(－6≤a≤3)的最大值为.
3．已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选D.因为x>0，y>0，且＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝时等号成立．故选D.
4．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)
A．3
B．3－2
C．3－2
D．－1
解析：选C.y＝3－3x－＝3－≤3－2
＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．
5．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　)
A．0
B.
C．1
D.
解析：选A.因为x＞0，所以x＋＞0，
所以y＝x＋－
＝＋－2
≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以函数的最小值为0.
6．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)
≤·
＝×＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
答案：
7．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
所以2m＋n＝1，
所以＋＝＋＝4＋≥8.
当且仅当m＝，n＝时等号成立．
答案：8
8．给出下列不等式：
①x＋≥2；②≥2；③≥2；
④>xy；⑤≥.
其中正确的是________(写出序号即可)．
解析：当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，①不正确；
因为x与同号，
所以＝|x|＋≥2，②正确；
当x，y异号时，③不正确；
当x＝y时，＝xy，④不正确；
当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．
答案：②
9．已知y＝x＋.
(1)已知x＞0，求y的最小值；
(2)已知x＜0，求y的最大值．
解：(1)因为x＞0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.
(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以f(x)＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．所以y的最大值为－2.
10．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋的最大值；
(2)已知x＞0，求y＝的最大值．
解：(1)因为x＜3，所以3－x＞0.又因为y＝2(x－3)＋＋7＝－＋7，由基本不等式可得2(3－x)＋≥2＝2，当且仅当2(3－x)＝，即x＝3－时，等号成立，于是－≤－2，－＋7≤7－2，故y的最大值是7－2.
(2)y＝＝.因为x＞0，所以x＋≥2＝2，所以0＜y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1.
[B　能力提升]
11．若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为(　　)
A．1
B.
C.
D.
解析：选C.因为0＜x＜，所以1－4x2＞0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C.
12．(多选)下列四个命题中，是真命题的是(　　)
A．?x∈R，且x≠0，x＋≥2
B．?x∈R，使得x2＋1≤2x
C．若x＞0，y＞0，则
≥
D．若x≥，则的最小值为1
解析：选BCD.对于A，?x∈R，且x≠0，x＋≥2对x＜0时不成立；
对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；
对于C，若x＞0，y＞0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为
≥，当且仅当x＝y＞0时取等号，正确；
对于D，y＝＝
＝，
因为x≥，所以x－2＞0，
所以≥·2
＝1，
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
故y的最小值为1.
13．(一题两空)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab.
(1)则ab的最小值为________；
(2)则a＋2b的最小值为________．
解析：因为2a＋b＝ab，
所以＋＝1；
(1)因为a>0，b>0，
所以1＝＋≥2，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号，所以ab≥8，即ab的最小值为8.
(2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，
所以a＋2b的最小值为9.
答案：(1)8　(2)9
14．已知a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解：(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2，
即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)．
因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以a2＋b2的最小值为1.
(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2≥4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0.因为a，b为正实数，所以ab＝1.
[C　拓展探究]
15．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
解：因为＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，又x＋y的最小值为18，
所以(＋)2＝18.
由得或
故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．
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