1.2.3.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第三节 二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时 二次函数与一元二次方程、不等式

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教材考点
学习目标
核心素养
一元二次不等式的解法
掌握一元二次不等式的解法
数学运算
三个“二次”之间的关系
理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
数学抽象
一元二次不等式的实际应用
会用一元二次不等式解决有关实际问题
数学建模
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"
问题导学
预习教材P50－P54，并思考以下问题：
1．一元二次不等式的概念是什么？
2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？
3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
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"../../../../新知初探LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．一元二次不等式
(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0．(其中a，b，c均为常数，a≠0)
■微思考1
(1)如何理解一元二次不等式中的“一元”和“二次”？
提示：①一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)．
②二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
提示：不能．若a＝0就不是二次不等式了．
(3)不等式x2＋＞0是一元二次不等式吗？
提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
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"../../../../2-4.tif"
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MERGEFORMAT
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"../../../../2-5.tif"
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MERGEFORMAT
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"../../../../2-6.tif"
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ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
■微思考2
(1)一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．
(2)一元二次不等式与一元二次方程有什么关系？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
4．求解一元二次不等式的过程
INCLUDEPICTURE
"../../../../2-7A.tif"
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MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
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"../../../../自我检测LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)
(2)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　　)
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　　)
A.　　　　
B.
C．?
D．R
解析：选D.因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，
所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
3．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为(　　)
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：选B.由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1x2＝×＝，解得a＝－6，c＝－1.
4．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为________．
答案：
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
探究点1　解不含参数的一元二次不等式
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../例1LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0；
(4)－x2＋3x－5>0.
【解】　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为
.
(2)原不等式可化为≤0，
所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，
因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，
所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，
又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为?.
解不含参数的一元二次不等式的方法
(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．
(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．　
(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　)
A．{x|x<－1}　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选D.不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是，故选D.
2．解不等式：－2解：原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1.
不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.
故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2探究点2　解含参数的一元二次不等式
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
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"../../../../例2LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【解】　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.
③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a>1，即<1时，解得若01时，解得1综上可知，当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为?；
当a>1时，不等式的解集为.
含参一元二次不等式的解法
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"../../../../BH3.TIF"
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MERGEFORMAT
　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
解关于x的不等式x2＋x－a(a－1)>0，(a∈R)．
解：因为关于x的不等式x2＋x－a(a－1)>0，
所以(x＋a)(x＋1－a)>0，
当－a>a－1，
即a<时，x－a，
当a－1>－a，
即a>时，x<－a或x＞a－1，
当a－1＝－a，
即a＝时，x≠－，
所以当a<时，
原不等式的解集为{x|x－a}，
当a>时，
原不等式的解集为{x|x<－a或x>a－1}，
当a＝时，
原不等式的解集为.
探究点3　三个“二次”之间的关系
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
【解】　由题意知
所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0(a<0)．
即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，
解得－3所以所求不等式的解集为{x|－3INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../互动探究LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
若将本例中“”改为“{x|解：由题意知
，即
代入不等式cx2－bx＋a>0，得ax2＋ax＋a>0(a>0)，
即x2＋x＋1>0，
化简得x2＋5x＋6>0，
解得x>－2或x<－3.
所以所求不等式的解集为{x|x>－2或x<－3}．
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
INCLUDEPICTURE
"../../../../A5-4A.TIF"
\
MERGEFORMAT
　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．若不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|1A．3　　　　　　　　　　　
B．1
C．－3
D．－1
解析：选A.因为不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|12．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：因为不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立．
所以Δ＝(－a)2－8a<0，解得0答案：0探究点4　一元二次不等式的实际应用
INCLUDEPICTURE"例4LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../例4LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝3
m，AD＝2
m．要使矩形AMPN的面积大于32
m2，则DN的长应在什么范围内？
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"../../../../BH4.TIF"
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MERGEFORMAT
【解】　设DN的长为x(x>0)m，则AN的长为(x＋2)m.
因为＝，所以AM＝，
所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.
由S矩形AMPN>32，得>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得06，
即DN的长的取值范围是
.
解不等式应用题的步骤
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"../../../../A5-5.TIF"
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MERGEFORMAT
　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
解析：选C.由题意知y－25x＝－0.1x2－5x＋3
000≤0，
即x2＋50x－30
000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
2．用一根长为100
m的绳子能围成一个面积大于600
m2的矩形吗？若“能”，求出该矩形边长的取值范围．
解：设矩形一边的长为x
m，则另一边的长为(50－x)m，0600，即x2－50x＋600<0，解得20m2的矩形．
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．不等式3x2－7x＋2<0的解集为(　　)
A.　　　　　
B.
C.
D．{x|x>2}
解析：选A.因为3x2－7x＋2＝(x－2)(3x－1)<0，所以2．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A.原不等式等价于(x－2)≤0，解得≤x≤2，故选A.
3．要使有意义，则x的取值范围为________．
解析：要使有意义，则7－6x－x2>0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7答案：－74．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24
000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9
000万元，则t的取值范围为________．
解析：由题意可列不等式如下：
·24
000·t%≥9
000?3≤t≤5.
答案：3≤t≤5
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
[A　基础达标]
1．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；
②x2－2x＋>0；
③x2＋6x＋10>0；
④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是(　　)
A．①　　　　　　　　　　　
B．②
C．③
D．④
解析：选C.①显然不可能；
②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；
④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数的图象开口向上，显然不可能．故选C.
2．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a>4或a<－4}
B．{a|－4C．{a|a≥4或a≤－4}
D．{a|－4≤a≤4}
解析：选A.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
3．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是(　　)
A．{x|x<5a或x>－a}
B．{x|x>5a或x<－a}
C．{x|－aD．{x|5a解析：选A.方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.
因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}，故选A.
4．(2020·正定中学月考)若0＜t＜1，则关于x的不等式(t－x)＞0的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D.因为0＜t＜1，所以＞1，所以＞t，所以(t－x)＞0?(x－t)＜0?t＜x＜.
5．(2020·青岛高一检测)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　)
A．{x|0＜x＜2}
B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜－2或x＞1}
D．{x|－1＜x＜2}
解析：选B.因为x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，所以(x＋2)(x－1)＜0，所以－2＜x＜1.故选B.
6．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7解析：因为不等式ax2＋8ax＋21<0的解集为，
所以方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根为－7和－1，
所以(－7)×(－1)＝，所以a＝3.
答案：3
7．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1解析：因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1＜x＜m}．
所以a>0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则
即1＋m＝.
所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.
答案：2
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3
860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7
000万元，则x的最小值为________．
解析：由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3
860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7
000，解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20.
答案：20
9．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3>0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，
所以(2x＋1)(x－2)<0，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0.
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为
.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
故原不等式的解集是R.
10．已知关于x的不等式x2－x－m＋1>0.
(1)当m＝3时，解此不等式；
(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝3时，不等式为x2－x－2>0，方程x2－x－2＝0的两根为2和－1，
根据函数y＝x2－x－2的图象，可知此不等式的解集为{x|x>2或x<－1}．
(2)不等式x2－x－m＋1>0对任意实数x恒成立，
等价于二次函数y＝x2－x－m＋1的图象在x轴上方，
即1－4(－m＋1)<0，解得m<，
所以实数m的取值范围是m<.
[B　能力提升]
11．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是(　　)
A．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是{x|x＞3}
B．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是R
C．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是?
D．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是{x|－1＜x＜3}
解析：选BD.在A中，依题意得a＝0，且3b＋3＝0，解得b＝－1，此时不等式为－x＋3＞0，解得x＜3，故A错误；在B中，取a＝1，b＝2，得x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2＞0，解集为R，故B正确；在C中，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3＞0，知其解集不为?，C错误；在D中，依题意得a＜0，且解得符合题意，故D正确．
12．(一题两空)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1解析：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，则－1＋2＝－，－1×2＝，解得a＝－1，b＝1.所以2x2＋bx＋a＝2x2＋x－1＜0，解得－1＜x＜.
答案：－1　
13．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
解析：由题意解得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x<8.
答案：2≤x<8
14．解关于x的不等式x2＋3ax－4a2<0(a∈R)．
解：由于x2＋3ax－4a2<0可化为(x－a)·(x＋4a)<0，且方程(x－a)(x＋4a)＝0的两个根分别是a和－4a.
当a＝－4a，即a＝0时，不等式的解集为?；
当a>－4a，即a>0时，
解不等式为－4a当a<－4a，即a<0时，
解不等式为a综上所述，当a＝0时，不等式的解集为?；当a>0时，不等式的解集为{x|－4a[C　拓展探究]
15．某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s
m和汽车车速x
km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5
m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？
解：由题设条件应列式为－2x＋x2≥22.5，
移项、整理、化简得不等式x2－36x－405≥0.
因为Δ>0，所以方程x2－36x－405＝0有两个实数根x1＝－9，x2＝45，
所以不等式的解为x≤－9或x≥45.
在这个实际问题中x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45
km/h.
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