1.2.4.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第四节 全章复习 第一课时 复习提升课

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主题1　不等式性质的应用
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(1)(多选)下列命题正确的有(　　)
A．若a>1，则<1
B．若a＋c>b，则<
C．对任意实数a，都有a2≥a
D．若ac2>bc2，则a>b
(2)已知2【解】　(1)选AD.因为a>1，所以<1，所以A正确；若a＋c>b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，则有>，故B错误；对于C，可取a＝，则a2bc2，所以c2>0，所以a>b，故D正确．
(2)因为－2又因为2所以2<－ab<6，
所以－6因为－2因为2所以<<2.
在判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来，找到与命题相近的性质，应用性质判断命题真假．注意特殊值法在解有关不等式客观题中的应用．　
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已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
解析：选C.当c＝0时，可知A不正确；当c<0时，可知B不正确；由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以>成立，C正确；当a<0且b<0时，可知D不正确．
主题2　基本不等式
若x>0，y>0，且x＋2y＝5，求＋的最小值，并求出取得最小值时x，y的值．
【解】　因为x>0，y>0，且x＋2y＝5，
所以＋＝(x＋2y)
＝
≥＝5，
当且仅当即时等号成立．
所以＋的最小值为5，此时x＝3，y＝1.
条件不等式的最值问题的解题策略
(1)对于条件的使用是解此类问题的关键，常用的方法有代入法、“1”的代换等，解题还要注意在变形的过程中字母取值的限制，否则可能影响取等号时字母的取值．
(2)对于要求最值的式子的变形也至关重要，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号必须取到，否则此种变形就是错误的．　
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1．函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________．
解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号．
答案：
2．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：因为当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，
所以a≤x＋对实数x＞1均成立．
由于x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故x＋的最小值为3.
所以a≤3，即实数a的取值范围为a≤3.
答案：a≤3
主题3　一元二次不等式
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解下列关于x的不等式．
(1)－1＜x2＋2x－1≤2；
(2)m2x2＋2mx－3＜0.
【解】　(1)原不等式等价于
即
由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0；
由②得(x＋3)(x－1)≤0，
所以－3≤x≤1.
将①②的解集在数轴上表示出来，如图．
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求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2或0(2)当m＝0时，－3<0恒成立，解集为R.
当m≠0时，二次项系数m2>0，Δ＝16m2>0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0.
当m>0时，解集为；
当m<0时，解集为.
一元二次不等式的解法
(1)简单的一元二次不等式：
①将不等式化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；
②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集．
(2)含参数的一元二次不等式：
解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的．　
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1．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)＞0的解集是(　　)
A．{x|x＜－n或x＞m}
B．{x|－n＜x＜m}
C．{x|x＜－m或x＞n}
D．{x|－m＜x＜n}
解析：选B.方程(m－x)(n＋x)＝0的两个根为m，－n.因为m＋n＞0，所以m＞－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n＜x＜m}．故选B.
2．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解：(1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
所以解得a＝3.
所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
所以所求不等式的解集为
.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，所以－6≤b≤6.
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