1.2.4.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第四节 全章复习 第二课时 综合检测

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综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题中，一定正确的是(　　)
A．若a>b且>，则a>0，b<0
B．若a>b，b≠0，则>1
C．若a>b且a＋c>b＋d，则c>d
D．若a>b且ac>bd，则c>d
解析：选A.A正确，若ab>0，则a>b与>不能同时成立；B错，如取a＝1，b＝－1时，有＝－1<1；C错，如a＝5，b＝1，c＝1，d＝2时，有a＋c>b＋d，cb，令c＝－3，d＝－1，有ac>bd，c2．不等式14－5x－x2<0的解集为(　　)
A．{x|－7B．{x|x<－7或x>2}
C．{x|x>2}
D．{x|x<－7}
解析：选B.原不等式等价于x2＋5x－14>0，所以(x＋7)·(x－2)>0，即x<－7或x>2，故选B.
3．如果a>b>0，那么下列不等式中不正确的是(　　)
A.<
B.>
C．ab>b2
D．a2>ab
解析：选B.因为a>b>0，所以ab>0，
所以>，即<；
因为a>b>0，所以a2>b2>0，
所以>，即<；
因为a>b>0，所以ab>b2，a2>ab.
故不等式中不正确的是B，故选B.
4．若x>0，则y＝12x＋的最小值为(　　)
A．2
B．2
C．4
D．8
解析：选C.因为x>0，所以y＝12x＋≥2
＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立，故选C.
5．不等式≥0的解集为(　　)
A.
B.
C．{x|x≥3}
D.∪{x|x≥3}
解析：选D.根据题意，
≥0?
解得≤x≤2或x≥3.
6．若a＜b，d＜c，并且(c－a)(c－b)＜0，(d－a)(d－b)＞0，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d＜a＜c＜b
B．a＜c＜b＜d
C．a＞d＜b＜c
D．a＜d＜c＜b
解析：选A.因为a＜b，(c－a)(c－b)＜0，
所以a＜c＜b，
因为(d－a)(d－b)＞0，
所以d＜a＜b或a＜b＜d，
又因为d＜c，所以d＜a＜b，
综上可得d＜a＜c＜b.
7．若0A．{x|3a2≤x≤3a}
B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2或x≥3a}
D．{x|x≤3a或x≥3a2}
解析：选A.因为08．若不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则a的取值范围是(　　)
A．{a|0≤a<4}
B．{a|0C．{a|a>4或a<0}
D．{a|a≥4或a≤0}
解析：选A.当a＝0时，原不等式等价于1>0，符合题意；当a≠0时，若原不等式的解集为R，则，解得0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．设a，b是正实数，下列不等式中正确的是(　　)
A.＞
B．a＞|a－b|－b
C．a2＋b2＞4ab－3b2
D．ab＋＞2
解析：选BD.对于A，＞?1＞?＞，当a＝b＞0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，a＋b＞|a－b|?a＞|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2＞4ab－3b2?a2＋4b2－4ab＞0?(a－2b)2＞0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对于D，ab＋≥2＞2，故D中不等式正确，故选BD.
10．下列结论中正确的有(　　)
A．若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3＞a2b＋ab2
B．若a，b，m为正实数，a＜b，则＜
C．若＞，则a＞b
D．当x＞0时，x＋的最小值为2
解析：选ACD.对于A，因为a，b为正实数，a≠b，所以a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)＞0，所以a3＋b3＞a2b＋ab2正确；对于B，若a，b，m为正实数，a＜b，则－＝＞0，则＞，故B错误；
对于C，若＞，则a＞b，故C正确；
对于D，当x＞0时，x＋的最小值为2，当且仅当x＝时取等号，成立，故D正确．故选ACD.
11．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞0
B．b＞0
C．c＞0
D．a＋b＋c＞0
解析：选BCD.因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a＜0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1＜0，－＝＞0，又a＜0，故b＞0，c＞0，故BC正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c＞0，f(－1)＝a－b＋c＜0，故D正确．故选BCD.
12．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　　)
A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为?
B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}
C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式
D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝
解析：选AB.由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0，从而不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为?，故A正确．当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4就是x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b就是x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．
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由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误．由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，
知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b.由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4.当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如果a＞b，ab＞0，那么与的大小关系是________．
解析：因为a＞b，ab＞0，所以＞，即＞.
答案：＜
14．关于x的方程＝的解集为________．
解析：由题意，≥0，
所以x≤0或x＞1，
所以方程＝的解集为{x|x≤0或x＞1}．
答案：{x|x≤0或x＞1}
15．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．
解析：由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)，所以9ab＋10≤，所以≥.
答案：
16．(一题两空)某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类
每件需要人员数
每件产值(万元)
A类
7.5
B类
6
今制订计划欲使总产量最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．
解析：设总产值为y万元，应开发A类电子器件x件，则应开发B类电子器件(50－x)件．
根据题意，得＋≤20，解得x≤20.
由题意，得y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330，所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．
答案：20　330
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知2＜x＜3，2＜y＜3.分别求
(1)2x＋y的取值范围；
(2)x－y的取值范围；
(3)xy的取值范围．
解：(1)因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以4＜2x＜6，所以6＜2x＋y＜9，故2x＋y的取值范围为6<2x＋y<9.
(2)因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－1＜x－y＜1，故x－y的取值范围为－1(3)因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以4＜xy＜9，故xy的取值范围为418．(本小题满分12分)设集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|－x2－2x＋3>0}．
(1)求集合A∩B；
(2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集为B，求a，b的值．
解：(1)A＝{x|4－x2>0}＝{x|－20}＝{x|－3(2)因为2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－319．(本小题满分12分)已知正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
解：(1)由1＝＋≥2得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)·＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
20．(本小题满分12分)已知y＝x2－2x－8，若对一切x>2，均有y≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
解：当x>2时，y≥(m＋2)x－m－15恒成立，
所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15在x＞2时恒成立，
则x2－4x＋7≥m(x－1)在x＞2时恒成立．
所以对一切x>2，均有不等式≥m成立．
又＝(x－1)＋－2
≥2－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)．
所以实数m的取值范围是m≤2.
21．(本小题满分12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞收入50万元．
(1)问捕捞几年后总利润最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后平均利润最大，最大是多少？
解：(1)设该船捕捞n年后的总利润为y万元．则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102.
所以当捕捞10年后总利润最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为＝
－2≤－2(2－20)＝12，当且仅当n＝，即n＝7时等号成立．
所以当捕捞7年后平均利润最大，最大是12万元．
22．(本小题满分12分)设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
解：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为?；
③当－④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，即原不等式的解集为.
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