1.3.1.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第三章 函数的概念与性质 第一节 函数的概念及其表示 第一课时 函数的概念

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教材考点
学习目标
核心素养
函数的概念
理解函数的概念，了解构成函数的三要素
数学抽象
求函数的定义域
会求一些简单函数的定义域，并会用区间表示
数学运算
同一个函数
掌握同一个函数，并会判断
数学抽象
求函数值和值域
会求简单函数的函数值和值域，并会用区间表示值域
数学运算
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"问题导学
预习教材P60－P66，并思考以下问题：
1．函数的定义是什么？
2．函数的自变量、定义域是如何定义的？
3．函数的值域是如何定义的？
4．区间的概念是什么？如何用区间表示数集？
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
1．函数的有关概念
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"../../../../../MF42.TIF"
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■微思考1
(1)函数概念中的集合A和集合B有什么特点？
提示：A，B为非空数集，集合A中的元素具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(2)对应关系f一定是解析式吗？
提示：不一定．对应关系f可以是解析式、图象、表格或文字描述等形式．
(3)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是以x为自变量的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
2．区间的概念及表示
(1)区间定义及表示
设a，b是两个实数，而且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
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"../../../../../MF43.TIF"
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{x|a开区间
(a，b)
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"../../../../../MF44.TIF"
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{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
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"../../../../../MF45.TIF"
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MERGEFORMAT
{x|a半开半闭区间
(a，b]
INCLUDEPICTURE
"../../../../../MF46.TIF"
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(2)无穷概念及无穷区间表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，
＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
■微思考2
(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../../自我检测LLL.TIF"
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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　)
(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．(　　)
(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.(　　)
(4)区间可以表示任何集合．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　　
B．0
C．1
D．2
解析：选C.因为g(x)＝2x2－1，所以g(1)＝2－1＝1.
3．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，4)
B．(－∞，4]
C．(4，＋∞)
D．[4，＋∞)
解析：选A.由4－x>0，解得x<4，所以此函数的定义域为(－∞，4)．
4．已知全集U＝R，A＝{x|1解析：?UA＝{x|x≤1或x>3}，用区间表示为(－∞，1]∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)
5．下图中能表示函数关系的是________．
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"../../../../../C1-14C.TIF"
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INCLUDEPICTURE
"../../../../../C1-14D.TIF"
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解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
答案：①②④
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　函数的概念
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../../例1LLL.TIF"
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(1)如图可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　)
INCLUDEPICTURE
"../../../../../1-1.TIF"
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(2)下列三个说法：
①若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；
②若f(x)＝5(x∈R)，则f(π)＝5一定成立；
③函数就是两个集合之间的对应关系．
其中正确说法的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　　　
　　
B．1
C．2
D．3
(3)已知集合A＝[0，8]，集合B＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是(　　)
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝x
【解析】　(1)观察图象可知，A，B，C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D中图象是函数图象．
(2)①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素；
②正确．因为f(x)＝5，这个数值不随x的变化而变化，所以f(π)＝5；
③错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系．
(3)对于A中的任意一个元素，在对应关系f：x→y＝x；f：x→y＝x；f：x→y＝x下，在B中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A中的元素8，在对应关系f：x→y＝x下，在B中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．
【答案】　(1)D　(2)B　(3)D
(1)判断所给的对应关系是否为函数的方法
①先观察两个数集A，B是否非空；
②验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　)
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"../../../../../1-2a.TIF"
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解析：选C.由函数的定义知选C.
2．(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍
解析：选AD.A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系．
探究点2　求函数的定义域
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
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"../../../../../例2LLL.TIF"
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求下列函数的定义域．
(1)y＝－；(2)y＝.
【解】　(1)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(2)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤3，且x≠－5，
即函数的定义域为{x|x≤3且x≠－5}．
(1)求函数定义域的常用方法
①若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
②若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
③若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
④若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
(2)第(1)题易出现化简y＝x＋1－，错求定义域为{x|x≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝·＋2；
(2)y＝；
(3)f(x)＝＋.
解：(1)要使此函数有意义，应满足
解得1≤x≤4，所以此函数的定义域是{x|1≤x≤4}．
(2)因为00无意义，所以x＋1≠0，即x≠－1.①
作为分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负，
所以|x|－x>0，即x<0.②
由①②可得函数y＝的定义域是{x|x<0且x≠－1}．
(3)要使此函数有意义，则
??x≥－3且x≠－2.
所以f(x)的定义域为{x|x≥－3且x≠－2}．
探究点3　同一个函数
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../../例3LLL.TIF"
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(1)给出下列三个说法：
①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R可能是同一个函数；③y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R是同一个函数．其中正确说法的个数是(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝；
④f(x)＝，g(x)＝x＋3.
其中表示同一个函数的是________．(填上所有同一个函数的序号)
【解析】　(1)①错误．函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝1的定义域是R，不是同一个函数；
②正确．y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数有2个．
(2)①定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R.不相等．
②对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝.不是同一个函数．
③定义域、对应关系都相同．同一个函数．
④对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.不是同一个函数．
【答案】　(1)B　(2)③
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝|x|
B．f(x)＝1与g(x)＝(x＋1)0
C．f(x)＝与g(x)＝()2
D．f(x)＝x＋1与g(x)＝
解析：选A.A项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个函数；B项中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)；C项中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)；D项中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．B，C，D三项中两个函数的定义域都不相同，所以不是同一个函数．故选A.
探究点4　求函数值和值域
INCLUDEPICTURE"例4LLL.TIF"
已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)．
(1)求f(1)，g(1)的值；
(2)求f(g(x))．
【解】　(1)f(1)＝＝1，g(1)＝1＋4＝5.
(2)f(g(x))＝f(x＋4)＝＝＝－(x∈R，且x≠－2)．
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../../互动探究LLL.TIF"
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1．(变设问)在本例条件下，求g(f(1))的值及f(2x＋1)的表达式．
解：g(f(1))＝g(1)＝1＋4＝5.
f(2x＋1)＝＝
－.
2．(变条件)若将本例g(x)的定义域改为{0，1，2，3}，求g(x)的值域．
解：因为g(x)＝x＋4，x∈{0，1，2，3}，所以g(0)＝4，g(1)＝5，g(2)＝6，g(3)＝7.所以g(x)的值域为{4，5，6，7}．
(1)求函数值的方法
①先要确定出函数的对应关系f的具体含义；　
②然后将变量取值代入解析式计算，对于f(g(x))型函数的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f(g(x))与g(f(x))的区别．
(2)求函数值域的常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________．
解析：因为f(x)＝－1，
所以f(a)＝－1.
又因为f(a)＝3，
所以－1＝3，a＝16.
答案：16
2．求下列函数的值域．
(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝；(4)y＝x＋.
解：(1)因为x∈R，所以2x＋1∈R，
即函数的值域为R.
(2)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示．
INCLUDEPICTURE
"../../../../../MF48.TIF"
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所以所求函数的值域为[2，11)．
(3)借助反比例函数的特征求．
y＝＝3－(x≠－1)，
显然可取0以外的一切实数，
即所求函数的值域为{y|y≠3}．
(4)设u＝(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，
y＝u2＋u＝－(u≥0)．
由u≥0，可知≥，所以y≥0.所以函数y＝x＋的值域为[0，＋∞)．
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1．若f(x)＝，则f(3)＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　　
B．4
C．2
D．10
解析：选A.因为f(x)＝，所以f(3)＝＝2.
2．(多选)对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法正确的是(　　)
A．f(a)∈B
B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b
D．若a＝b，则f(a)＝f(b)
解析：选ABD.根据函数的定义可知，A，B，D正确；C错误．
3．若[0，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3a－1>0，解得a>，所以a的取值范围是.
答案：
4．用区间表示下列数集．
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2＜x≤4}＝________；
(3){x|x＞－1且x≠2}＝________．
答案：(1)[1，＋∞)　(2)(2，4]　(3)(－1，2)∪(2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
解：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
所以x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是(　　)
A．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f：x→|x|
B．M＝N，N＝N
，f：x→|x－1|
C．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f：x→x2
D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→
解析：选C.对于A，集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应是集合M到集合N的函数．
2．下列四个图中，不是以x为自变量的函数的图象是(　　)
INCLUDEPICTURE
"../../../../../1-3.TIF"
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解析：选C.根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足，故选C.
3．区间(－3，2]用集合可表示为(　　)
A．{－2，－1，0，1，2}　　　　
B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3≤x≤2}
解析：选C.由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－34．已知函数f(x)＝，则f(－2)＝(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选C.由题意知f(－2)＝＝＝1.故选C.
5．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为(　　)
A．{－2，0，4}
B．{－2，0，2，4}
C．{y|y≤－}
D．{y|0≤y≤3}
解析：选A.依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0，所以函数y＝x2－3x的值域为{－2，0，4}．
6．将函数y＝的定义域用区间表示为________．
解析：由解得x≤1且x≠0，
用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．
答案：(－∞，0)∪(0，1]
7．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝________．
解析：令＝2，即2a2－5a＋2＝0，解得a＝或a＝2，故a的值为或2.
答案：或2
8．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．
解析：由题意，得即－1≤x≤1.
故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1，1]．
答案：[－1，1]
9．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(3)的值；
(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．
解：(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝－.
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－，
f(g(x))＝＝＝(x≠0)．
10．已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．
解：函数y＝的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．
由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．
当k＝0时，函数y＝＝1，函数定义域为R，
因此k＝0符合题意；
当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，不等式不成立．所以实数k的值为0.
[B　能力提升]
11．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝－x
解析：选ABD.在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．
12．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于(　　)
A．p＋q
B．3p＋2q
C．2p＋3q
D．p3＋q2
解析：选B.因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，
所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
f(8)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，
所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.
13．(一题两空)已知函数f(x)＝x2－mx＋n，且f(1)＝－1，f(n)＝m，则f(f(－1))＝________，f(f(x))＝________．
解析：由题意知
解得
所以f(x)＝x2－x－1，
故f(－1)＝1，
f(f(－1))＝－1，
f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.
答案：－1　x4－2x3－2x2＋3x＋1
14．求下列函数的值域．
(1)y＝－1(x≥4)；
(2)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(3)y＝x＋；
(4)y＝x2－2x－3(x∈[－1，2])．
解：(1)因为x≥4，所以≥2，
所以－1≥1，
所以y∈[1，＋∞)．
(2)y＝{3，5，7，9，11}．
(3)设u＝，
则u≥0，且x＝，
于是，y＝＋u＝(u＋1)2≥，
所以y＝x＋的值域为.
(4)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
因为x∈[－1，2]，
作出其图象(图略)可得值域为[－4，0]．
[C　拓展探究]
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
019)＋f＋f(2
020)＋f的值．
解：(1)因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1.证明如下：
f(x)＋f＝＋
＝＋＝＝1，是定值．
(3)由(2)知，f(x)＋f＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…
f(2
020)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
019)＋f＋f(2
020)＋f＝2
020.
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