1.3.1.3 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第三章 函数的概念与性质 第一节 函数的概念及其表示 第三课时 分段函数

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INCLUDEPICTURE"导学聚焦LLL.TIF"
教材考点
学习目标
核心素养
分段函数求值
理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值
数学运算
分段函数的图象
能画出分段函数的图象，并会应用解决问题
直观想象
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
问题导学
预习教材P68－P71，并思考以下问题：
1.什么是分段函数？
2.分段函数是一个函数还是多个函数？
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
1.分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数.
■微思考
(1)分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
提示：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
②分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围.
(2)分段函数的定义域、值域与各段函数的定义域、值域之间有什么关系？
提示：①分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.
②分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.
2.分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
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"../../../../../自我检测LLL.TIF"
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1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成.(　　)
(2)函数f(x)＝是分段函数.(　　)
(3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　
2.(多选)下列给出的式子是分段函数的是(　　)
A.f(x)＝　
B.f(x)＝
C.f(x)＝
D.f(x)＝
答案：AD
3.已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)
A.0
B.
C.1
D.2
解析：选C.f(2)＝＝1.
4.(一题两空)函数y＝的定义域为　　　　　　　，值域为　　　　　　　Ｗ.
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)　{－2}∪(0，＋∞)
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　分段函数的定义域、值域
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(1)已知函数f(x)＝，则其定义域为(　　)
A.R　　　　　　　　　　
B.(0，＋∞)
C.(－∞，0)
D.(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)(一题两空)函数f(x)＝的定义域为　　　　，值域为　　　　Ｗ.
【解析】　(1)要使f(x)有意义，需x≠0，
故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)由已知得定义域为{x|0又当0当－1当x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1).
【答案】　(1)D　(2)(－1，1)　(－1，1)
(1)分段函数定义域、值域的求法
①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；
②分段函数的值域是各段函数值域的并集.
(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
(一题两空)已知函数f(x)＝则函数的定义域为　　　　，值域为　　　　.
解析：由已知得定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1].
答案：R　[0，1]
探究点2　分段函数求值问题
已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f的值.
【解】　由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)
＝3－2.
因为f＝－＋1＝－，
－2<－<2，
所以f＝f
＝＋2×
＝－3＝－.
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../../互动探究LLL.TIF"
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(变问法)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
解：①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，
所以a＋1＝3，
所以a＝2>－2不合题意，舍去.
②当－2即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2，2)，－3?(－2，2)，
所以a＝1符合题意.
③当a≥2时，2a－1＝3，
所以a＝2符合题意.
综合①②③知，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
(1)分段函数求函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间；
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)已知函数值求字母取值的步骤
①先对字母的取值范围分类讨论；
②然后代入到不同的解析式中；
③通过解方程求出字母的值；
④检验所求的值是否在所讨论的区间内.　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.已知函数f(x)＝则f(2)＝(　　)
A.－1　　　　　　　　　　
B.0
C.1
D.2
解析：选A.f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
2.已知f(x)＝若f(x)>2，求x的取值范围.
解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，
由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；
当x<－2时，f(x)＝－x－2，
由f(x)>2，得－x－2>2，
解得x<－4，故x<－4.
综上可得，x>0或x<－4.
探究点3　分段函数的图象及应用
角度一　分段函数图象的识别
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(2020·潍坊高一检测)设x∈R，定义符号函数sgn
x＝则函数f(x)＝|x|sgn
x的图象大致是(　　)
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"../../../../../JN11.TIF"
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【解析】　函数f(x)＝|x|sgn
x＝故函数f(x)＝|x|sgn
x的图象为y＝x所在的直线，故选C.
【答案】　C
角度二　分段函数图象的画法
INCLUDEPICTURE"例4LLL.TIF"
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"../../../../../例4LLL.TIF"
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分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域.
(1)y＝
(2)y＝
【解】　各函数对应图象如图所示，
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"../../../../../X19.TIF"
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由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；
(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6].
角度三　分段函数图象的应用
INCLUDEPICTURE"例5LLL.TIF"
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"../../../../../例5LLL.TIF"
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某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：
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"../../../../../1-5.tif"
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(1)求y关于x的函数关系式；
(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
【解】　(1)当0≤x≤100时，设函数关系为y＝kx.
将x＝100，y＝65代入，
得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x>100时，设函数关系式为y＝ax＋b.
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
得解得
所以y＝0.8x－15.
综上可得y＝
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元.
(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；
当y＝105时，
因为0.65×100＝65<105，故x>100，
所以105＝0.8x－15，x＝150.
即若该用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若该用户月交费105元，则该用户该月用了150度电.
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.已知函数f(x)＝＋1(－2(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；
(2)在坐标系中画出该函数的图象，并写出函数的值域.
解：(1)①当0≤x≤2时，f(x)＝＋1＝1.
②当－2故f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示：
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"../../../../../1-6.TIF"
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由图可知，函数f(x)的值域为[1，3).
2.A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地.写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(时)的函数关系，并画出函数图象.
解：(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/时，
则有s＝50t，到达B地所需时间为＝3(时).
(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.
(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/时，
则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，
从B地到A地用时＝2.5(时).
综上可得，该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为
s＝
函数图象如图所示.
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"../../../../../JN12.tif"
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INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1.函数y＝的值域是(　　)
A.R　　　　　　　　　　
B.[0，＋∞)
C.[0，3]
D.{y|0≤y≤2或y＝3}
解析：选D.值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y|0≤y≤2或y＝3}.
2.已知函数y＝则使函数值为5的x的值是　(　　)
A.－2
B.2或－
C.2或－2
D.2或－2或－
解析：选A.当x≤0时，
x2＋1＝5，x＝－2.
当x>0时，－2x<0，不合题意.
故x＝－2.
3.函数y＝x＋的图象是(　　)
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"../../../../../X22.TIF"
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解析：选C.对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.即y＝故其图象应为C.
4.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是　　　　Ｗ.　
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"../../../../../JN13.tif"
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解析：由题图可知，f(x)的图象是由两条线段组成的，当－1≤x＜0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，
得解得
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，得k＝－1.
所以f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
5.已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值.
解：(1)因为0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
所以f(2)＝22－4＝0，
f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，由x－4＝8，得x0＝±2(舍去)；当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.所以x0＝4.
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　　)
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"../../../../../1-7.TIF"
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解析：选B.根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D.然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2.设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A.　　　　　　　　　　
B.3
C.
D.
解析：选D.f(3)＝，f(f(3))＝f＝＋1＝＋1＝.
3.已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A.
B.9
C.－1或1
D.－或
解析：选A.依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去.若04.函数f(x)＝x2－2|x|的图象是(　　)
INCLUDEPICTURE
"../../../../../X24A.TIF"
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解析：选C.f(x)＝分段画出，应选C.
5.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于(　　)
INCLUDEPICTURE
"../../../../../X25.TIF"
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A.－
B.
C.－
D.
解析：选B.由题图可知，函数f(x)的解析式为
f(x)＝
所以f＝－1＝－，
所以f＝f＝－＋1＝.
6.已知f(n)＝则f(8)＝　　　　.
解析：因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13)).因为13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7.
答案：7
7.已知函数f(x)＝若f(f(0))＝a，则实数a＝　　　　.
解析：依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.
答案：
8.(一题两空)设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝　　　　，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为　　　　.
解析：因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
所以，解得，所以f(x)＝.
在同一平面直角坐标系下画出y＝f(x)与y＝x的图象，如图所示，
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"../../../../../JN14.tif"
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则两函数图象有3个交点，即方程f(x)＝x的解的个数为3.
答案：　3
9.已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象.
解：(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，
即f(f(f(5)))＝－1.
(2)图象如图所示.
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"../../../../../X26.TIF"
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10.如图，△OAB是边长为4的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0INCLUDEPICTURE
"../../../../../1-9.TIF"
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解：当0当2当4所以函数f(t)的解析式为
f(t)＝
[B　能力提升]
11.(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(－∞，4)
C.若f(x)＝3，则x的值是
D.f(x)＜1的解集为(－1，1)
解析：选BC.由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1].当－1＜x＜2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1＜x＜2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，x＋2＜1，解得x＜－1，当－1＜x＜2时，x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f(x)＜1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误.故选BC.
12.已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是(　　)
A.{x|x≤1}
B.{x|x≤2}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|x<0}
解析：选A.当x≥0时，f(x)＝1，
xf(x)＋x≤2?x≤1，
所以0≤x≤1；
当x<0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2?x≤2，
所以x<0，综上，x≤1.
13.(一题两空)已知f(x)＝
(1)若f(x)≥，则x的取值范围为　　　　；
(2)f(x)的值域为　　　　.
解析：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
INCLUDEPICTURE
"../../../../../1-8.TIF"
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MERGEFORMAT
由于f＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是
∪.
(2)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0，1].
答案：(1)∪　(2)[0，1]
14.给定函数f(x)＝4－x2，g(x)＝3x，x∈R.
(1)画出函数f(x)，g(x)的大致图象；
(2)?x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，请分别用图象法和解析法表示函数m(x).
解：(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的大致图象，如图所示.
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"../../../../../JN15.tif"
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MERGEFORMAT
(2)结合函数m(x)的定义，可得到m(x)的图象如图所示.
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"../../../../../JN16.TIF"
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由4－x2＝3x，
得x＝－4或x＝1，
结合m(x)的图象，
得m(x)的解析式为m(x)＝
[C　拓展探究]
15.讨论方程x2－4|x|＋5＝m的实根的个数.
解：将方程x2－4|x|＋5＝m的实根个数问题转化为函数y＝x2－4|x|＋5的图象与直线y＝m的交点个数问题.
作出函数y＝x2－4|x|＋5＝的图象，如图所示.
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"../../../../../PQ1.TIF"
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由图象可以看出：
①当m＜1时，直线y＝m与该图象无交点，此时方程无解；
②当m＝1时，直线y＝m与该图象有2个交点，此时方程有2个实根；
③当1＜m＜5时，直线y＝m与该图象有4个交点，此时方程有4个实根；
④当m＝5时，直线y＝m与该图象有3个交点，此时方程有3个实根；
⑤当m＞5时，直线y＝m与该图象有2个交点，此时方程有2个实根.
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