1.3.2.4 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第三章 函数的概念与性质 第二节 函数的基本性质 第二课时 函数奇偶性的应用

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教材考点
学习目标
核心素养
利用奇偶性求函数的解析式
会利用函数的奇偶性求函数的解析式
数学运算
函数的奇偶性与单调性的综合问题
能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题
数学运算、逻辑推理
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
探究点1　利用奇偶性求函数的解析式
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../../例1LLL.TIF"
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若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式.
【解】　当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)，
所以x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋1，
故f(x)＝
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../../互动探究LLL.TIF"
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1.(变问法)在本例条件下，求f(－3)的值.
解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3－1)＝－2.
2.(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式.
解：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x－1，
即x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1.
利用奇偶性求函数解析式的思路
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.
(2)利用已知区间的解析式代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
2.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域.
解：(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(x)＝f(－x).
当x<0时，－x>0，所以f(x)＝f(－x)＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示：
INCLUDEPICTURE
"../../../../../ABD23.TIF"
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(3)由(2)中图象可知，f(x)的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)，函数f(x)的值域为(－∞，1].
探究点2　函数的奇偶性与单调性的综合问题
角度一　比较大小问题
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
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"../../../../../例2LLL.TIF"
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若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
A.f＜f(－1)＜f(2)
B.f(2)＜f＜f(－1)
C.f(2)＜f(－1)＜f
D.f(－1)＜f＜f(2)
【解析】　因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，
所以f(2)＝f(－2).
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜－＜－1.
所以f(2)＝f(－2)＜f＜f(－1)，故选B.
【答案】　B
角度二　解不等式
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
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"../../../../../例3LLL.TIF"
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设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是　　　　.
【解析】　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数，
所以f(x)在[－3，3]上是减函数.
所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于
解得－2≤m＜.
【答案】　
奇偶性与单调性综合问题的两种类型
(1)比较大小
①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
(2)解不等式
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.设F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则一定是F(x)的单调递减区间的是(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选B.因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上F(x)一定单调递减.
2.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)>f的实数x的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A.因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，且满足f(2x－1)>f，所以不等式等价为f(|2x－1|)>f，即|2x－1|<，所以－<2x－1<，计算得出INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A.y＝x3　　　　　　　　
B.y＝|x|＋1
C.y＝－x2＋1
D.y＝－
解析：选B.对于函数y＝|x|＋1，
f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上单调递增；
另外函数y＝x3不是偶函数；
y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；y＝－不是偶函数.故选B.
2.如果奇函数f(x)在区间[1，5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是(　　)
A.增函数且最小值为3
B.增函数且最大值为3
C.减函数且最小值为－3
D.减函数且最大值为－3
解析：选D.当－5≤x≤－1时，1≤－x≤5，所以f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上是减函数.
3.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A.(－1，0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－1，0)∪(0，1)
解析：选C.因为f(x)为奇函数，
<0，
即
<0，
因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，
所以当x>1时，f(x)<0.
因为奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，
即x<－1时，f(x)>0.综上，使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)>0，则a＋b　　　　0.(填“>”“<”或“＝”)
解析：由f(a)＋f(b)>0得f(a)>－f(b)，
因为f(x)为奇函数，
则f(－x)＝－f(x).
所以f(a)>f(－b)，又f(x)为减函数，
所以a<－b，即a＋b<0.
答案：<
5.已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，f(x)的表达式.
解：因为x＜0，
所以－x＞0，
所以f(－x)＝(－x)|(－x)－2|.
又因为f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)
＝－(－x)|(－x)－2|＝x|x＋2|.
故当x＜0时，f(x)＝x|x＋2|.
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析：选A.因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数.
2.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上，f(x)(　　)
A.可能是增函数，也可能是常函数
B.是增函数
C.是常函数
D.是减函数
解析：选A.因为f(x)是偶函数，
所以m＝±1；
当m＝1时，f(x)＝1是常函数；
当m＝－1时，f(x)＝－2x2＋1在(－∞，0]上是增函数.
3.(2020·山东实验中学检测)设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(2)＝0，则＜0的解集为(　　)
A.{x|x＜－2或x＞2}
B.{x|x＜－2或0＜x＜2}
C.{x|－2＜x＜0或x＞2}
D.{x|－2＜x＜0或0＜x＜2}
解析：选A.因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上也为减函数.
因为f(2)＝0，所以f(－2)＝－f(2)＝0，故函数f(x)的大致图象如图所示.则由＜0，可得xf(x)＜0，即x和f(x)异号，由图象可得x＜－2或x＞2.
故＜0的解集为{x|x＜－2或x＞2}，故选A.
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"../../../../../JN21.tif"
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4.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A.21　　　　　　　　　　
B.－21
C.26
D.－26
解析：选B.设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数.由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.
5.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　)
A.f(－x1)>f(－x2)
B.f(－x1)＝f(－x2)
C.f(－x1)D.f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定
解析：选A.因为x2>－x1>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x2)又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)，　
所以f(－x2)6.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是　　　　.
解析：根据偶函数的性质，易知f(x)＞0的解集为(－2，2)，若f(x－1)＞0，则－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.
答案：(－1，3)
7.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝　　　　.
解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，
因为图象关于y轴对称，且它的值域为(－∞，4]，
所以2a＋ab＝0，所以b＝－2或a＝0(舍去)，
所以f(x)＝－2x2＋2a2，
又因为值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，
所以f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
8.设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.
(1)求f(x)的表达式；
(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.
解：(1)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.
因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)，
所以f(x)＝
(2)证明：设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，x2＋x1＋4>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x1)9.设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的一部分.
INCLUDEPICTURE
"../../../../../ABD24.TIF"
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(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间.
解：(1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
因为f(x)的图象过点A(2，2)，
所以a(2－3)2＋4＝2，
所以a＝－2，
所以f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x>2，
所以f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2).
(2)函数图象如图所示.
INCLUDEPICTURE
"../../../../../ABD25.TIF"
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(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}.单调递增区间为(－∞，－3]和[0，3]；
单调递减区间为(－3，0)和(3，＋∞).
[B　能力提升]
10.若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是(　　)
A.f>f
B.fC.f≥f
D.f≤f
解析：选C.因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以f≤f＝f.
11.若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有(　　)
A.最小值－8
B.最大值－8
C.最小值－6
D.最小值－4
解析：选D.根据题意有f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，又因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(x)＋g(x)是奇函数且f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，则F(x)在(－∞，0)上有最小值－6＋2＝－4，故选D.
12.(一题两空)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
(1)若a＞b，则f(a)与f(b)的大小关系为　　　　；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，则实数m的取值范围为　　　　.
解析：(1)因为a＞b，所以a－b＞0，
由题意得＞0，
所以f(a)＋f(－b)＞0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b).
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4].
答案：(1)f(a)＞f(b)　(2)(－∞，4]
13.已知函数f(x)＝是R上的偶函数.
(1)求实数m的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；
(3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值.
解：(1)若函数f(x)＝是R上的偶函数，
则f(－x)＝f(x)，即＝，
解得m＝0.
(2)函数f(x)在(－∞，0]上单调递增.证明如下：
由(1)，知f(x)＝.
设任意的x1，x2∈(－∞，0]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝eq
\f(1,1＋x)－eq
\f(1,1＋x)＝eq
\f(1＋x－1－x,(1＋x)(1＋x))＝eq
\f((x2＋x1)(x2－x1),(1＋x)(1＋x))，
因为x1＜x2≤0，
所以x2＋x1＜0，x2－x1＞0，(1＋x)(1＋x)＞0，
所以f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增.
(3)由(2)，知函数f(x)在(－∞，0]上单调递增.
又f(x)是R上的偶函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在[－3，0]上单调递增，在(0，2]上单调递减，
又f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝，
所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(－3)＝.
[C　拓展探究]
14.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b均为实数)，
x∈R，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)设mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)是否大于零，并说明理由.
解：(1)因为f(－1)＝0，
所以a－b＋1＝0　①.
又函数f(x)的值域为[0，＋∞)，所以a≠0.
由y＝a＋，知＝0，
即4a－b2＝0　②.
解①②，得a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
(2)由(1)得g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝＋1－.
因为当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，
所以≤－2或≥2，
即k≤－2或k≥6，
故实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).
(3)大于零.理由如下：
因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ax2＋1，
所以F(x)＝
不妨设m＞n，则n＜0.
由m＋n＞0，得m＞－n＞0，
所以|m|＞|－n|，
又a＞0，
所以F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝(am2＋1)－(an2＋1)＝a(m2－n2)＞0，
所以F(m)＋F(n)大于零.
函数及其性质(强化练)
一、选择题
1.下列函数中，与函数y＝
为同一个函数的是(　　)
A.y＝x　　　　　　
B.y＝－x
C.y＝－
D.y＝x2
解析：选B.函数y＝的定义域为(－∞，0]，值域为[0，＋∞)，而y＝－的定义域为[0，＋∞)，y＝x2的定义域为(－∞，0)，所以排除C，D.
又y＝x中，x≤0，
所以y≤0，即值域为(－∞，0]，这与函数y＝
的值域不同，所以排除A.故选B.
2.已知函数f(x)＝若f(α)＋f(1)＝0，则实数α的值等于(　　)
A.－3
B.－1
C.1
D.3
解析：选A.因为f(1)＝2，
所以f(α)＝－f(1)＝－2，
当α>0时，2α>0，所以α?(0，＋∞).
所以α≤0，α＋1＝－2，得α＝－3.
3.如果函数y＝x2＋(1－a)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是(　　)
A.[5，＋∞)
B.(－∞，－3]
C.[9，＋∞)
D.(－∞，－7]
解析：选C.由题得－≥4，a≥9.故选C.
4.下列函数中，既是偶函数又在(－3，0)上单调递减的函数是(　　)
A.y＝x3
B.y＝－x2＋1
C.y＝|x|＋1
D.y＝
解析：选C.A项为奇函数；B项为偶函数，但在(－3，0)上单调递增，不合题意；C项，函数是偶函数，当x∈(－3，0)时，y＝－x＋1单调递减，符合题意；D项，函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，不合题意.故选C.
5.(2020·衡阳高一检测)我们从商标
INCLUDEPICTURE
"../../../../../JN22a.tif"
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中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数可能是(　　)
INCLUDEPICTURE
"../../../../../JN22.tif"
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A.f(x)＝
B.f(x)＝
C.f(x)＝
D.f(x)＝
解析：选D.由图象得函数的定义域为{x|x≠±1}，排除B、C.由f＞0排除A.故选D.
6.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A.|f(x)|－g(x)是奇函数
B.|f(x)|＋g(x)是偶函数
C.f(x)－|g(x)|是奇函数
D.f(x)＋|g(x)|是偶函数
解析：选D.根据题意有f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，所以f(x)＋|g(x)|是偶函数.
同理，易知选项A，B中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C中的函数是偶函数.
7.已知函数f(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是(　　)
A.(0，2)
B.(－2，0)
C.(－1，0)
D.(1，2)
解析：选A.当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝－x－1.
由f(x－1)＜0得
或
解得0＜x＜1或1≤x＜2，
即0＜x＜2.故选A.
8.已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若a＋b＞0，则有(　　)
A.f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)
B.f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
C.f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)
D.f(a)－f(b)＜f(－a)－f(－b)
解析：选A.因为a＋b＞0，
所以a＞－b，b＞－a，
所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，所以f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b).故选A.
9.(多选)某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时间x(年)的函数关系如图，下列说法中正确的是(　　)
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A.前三年中，总产量的增长速度越来越快
B.前三年中，总产量的增长速度越来越慢
C.前三年中，年产量的增长速度越来越慢
D.第三年后，这种产品停止生产
解析：选BD.由题中函数图象可知，在区间[0，3]上，图象是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，因此A错误，B正确；由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减少，因此C错误；在区间[3，8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此D正确.故选BD.
10.(多选)有下列几个命题，其中正确的命题是(　　)
A.函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数
B.函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数
C.函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)
D.已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3
解析：选AD.由y＝2x2＋x＋1＝2＋在上单调递增知，函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A正确；y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，如－2＜0，但＜，故B错误；y＝在[－2，－1)上无意义，从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误；设x＜0，则－x＞0，g(－x)＝－2x－3，因为g(x)为奇函数，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确.故选AD.
二、填空题
11.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝　　　　.
解析：由函数y＝f(x)＋x是偶函数，
则f(－2)－2＝f(2)＋2＝3，
所以f(－2)＝5.
答案：5
12.若f＝＋(x≠0)，则f＝　　　　.　
解析：令＝，可得x＝－2.
所以f＝＋＝.
答案：
13.定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为　　　　.
解析：因为函数f(x)为奇函数，
f＝0，
所以f＝0，不等式xf(x)＞0化为或结合函数图象可知的解集为，的解集为，所以不等式的解集为.
答案：∪
14.(一题两空)已知函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2.
(1)若f(x)的单调区间为(－∞，4)，则实数a的值为　　　　；
(2)若f(x)在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围为　　　　.
解析：(1)由题意知＝4，解得a＝.
(2)当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，在(－∞，4)上是减函数，所以a＝0满足；
当a≠0时，由题意得
解得0＜a≤.
综上，实数a的取值范围为.
答案：(1)　(2)
三、解答题
15.已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明.
解：(1)由已知g(x)＝f(x)－a，
得g(x)＝1－a－，
因为g(x)是奇函数，
所以g(－x)＝－g(x)，
即1－a－＝－，
解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数.
证明如下：
设0＝1－－＝.
因为0所以x1－x2<0，x1x2>0，
从而<0，即f(x1)所以函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数.
16.已知函数f(x)＝，x∈[－3，－2].
(1)求证：f(x)在[－3，－2]上是增函数；
(2)求f(x)的最大值和最小值.
解：(1)证明：设x1，x2是区间[－3，－2]上的任意两个不相等的实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
由于－3≤x1则x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)＝在[－3，－2]上是增函数.
(2)因为f(－2)＝4，f(－3)＝3，
且f(x)在[－3，－2]上是增函数，
所以函数f(x)的最大值是4，最小值是3.
17.已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值.
解：因为当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝－，
所以当x∈[－3，－1]时，
f(x)min＝f＝－，
f(x)max＝f(－3)＝2.
因为函数f(x)为奇函数，
所以当x∈[1，3]时函数的最小值和最大值分别为－2，，
所以m的最小值为，n的最大值为－2.
所以(m－n)min＝－(－2)＝，
即m－n的最小值为.
18.已知函数f(x)＝，若函数f(x)是奇函数，且f(1)＝3，f(2)＝5.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝3f(x)＋，试证明函数g(x)在(0，1)上是减函数；
(3)若不等式g(x)≤m在上恒成立，求m的取值范围.
解：(1)因为f(x)＝是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x).
所以＝－.
即＝－.
所以－bx＋c＝－(bx＋c).
所以c＝－c.所以c＝0.所以f(x)＝.
因为f(1)＝3，f(2)＝5，所以＝3，＝5.
所以a＝，b＝.
所以f(x)＝.
(2)证明：g(x)＝3f(x)＋＝＝7.
设x1，x2∈(0，1)且x1＜x2.
g(x2)－g(x1)＝7
＝7(x2－x1)
＝.
因为0＜x1＜x2＜1，
所以0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，x2－x1＞0.
所以g(x2)－g(x1)＜0，g(x2)＜g(x1).
因此函数g(x)在(0，1)上是减函数.
(3)由(2)知g(x)在上为减函数.
所以g(x)在x＝处取最大值g＝.
所以m≥.
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