1.3.2.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第三章 函数的概念与性质 第二节 函数的基本性质 第一课时 函数的单调性

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INCLUDEPICTURE"导学聚焦LLL.TIF"
教材考点
学习目标
核心素养
函数单调性的判定与证明
了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性
逻辑推理
求函数的单调区间
会借助图象或定义求函数的单调区间
数学运算、直观想象
函数单调性的应用
会根据函数的单调性求参数或解参数不等式
数学运算、直观想象
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"
问题导学
预习教材P76－P79，并思考以下问题：
1.增函数、减函数的概念是什么？
2.函数的单调性和单调区间有什么关系？
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1.增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：
(1)如果?x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①).
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
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"../../../../../PQ2.TIF"
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(2)如果?x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②)
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
■微思考1
(1)在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？
提示：不能.不能用特殊代替一般.
(2)?x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＜0，则y＝f(x)在某个区间D上是减函数吗？简要说明原因.
提示：是.若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2＞x1时，f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.同理(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＜0时，f(x)在D上为减函数.
(3)?x1，x2∈D，若＞0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？若＜0，则y＝f(x)在某个区间D上是减函数？并简要说明原因.
提示：是.若＞0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2＞x1时，f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.同理＜0时，f(x)在D上为减函数.
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
■微思考2
区间D一定是函数的定义域吗？
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念.
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
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"../../../../../自我检测LLL.TIF"
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1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.(　　)
(2)若函数y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1，3].(　　)
(3)若函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).(　　)
(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)(5)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　)
A.y＝－　　　　　　　
B.y＝x
C.y＝x2
D.y＝1－x
答案：D
3.若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)
A.k>
B.k>－
C.k<
D.k<－
答案：C
4.函数f(x)＝x2＋2x＋1的单调递减区间是　　　　　.
答案：(－∞，－1]
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　函数单调性的判定与证明
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根据定义，研究函数f(x)＝(a≠0)在x∈(－1，1)上的单调性.
【解】　设x1，x2为(－1，1)上的任意两个数，且x1＜x2，
所以f(x1)－f(x2)＝－
＝＝
因为x1，x2∈(－1，1)且x1＜x2，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
所以＞0，
当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(－1，1)上单调递减，
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－1，1)上单调递增.
综上，当a＞0时，f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a＜0时，f(x)在(－1，1)上单调递增.
利用定义证明函数单调性的步骤
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"../../../../../X31.TIF"
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[注意]　作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因式乘积的形式.　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A.y＝|x|＋1　　　　　　　
B.y＝
C.y＝－
D.y＝x＋
解析：选CD.y＝|x|＋1＝－x＋1(x＜0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；y＝－＝x(x＜0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x＜0)在(－∞，0)上也是增函数.
2.已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数.
证明：?x1，x2∈(－1，＋∞)，
且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x2＞x1＞－1，
所以x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
因此f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数.
探究点2　求函数的单调区间
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
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"../../../../../例2LLL.TIF"
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画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间.
【解】　y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示.
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"../../../../../X32.TIF"
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函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在(－1，0)，(1，＋∞)上是减函数.所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是(－1，0)和(1，＋∞).
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../../互动探究LLL.TIF"
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(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示，
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"../../../../../ABD2.TIF"
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由图象可知其单调递增区间为[－1，1]，[3，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－1)，(1，3).
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"../../../../../CK4.TIF"
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INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
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"../../../../../JN17.tif"
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A.函数在区间[－5，－3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[－5，5]上没有单调性
解析：选ABD.若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不能用“∪”连接.故C错.
2.函数y＝的单调递减区间为　　　　.
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"../../../../../XRT4.TIF"
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解析：y＝的图象可由函数y＝的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞).
答案：(－∞，1)和(1，＋∞)
探究点3　函数单调性的应用
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"../../../../../例3LLL.TIF"
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(1)(一题两空)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.
①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　　；
②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为　　　　　.
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为　　　　.
【解析】　(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1].
①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，
即a≤－4.
②由题意得－a－1＝3，a＝－4.
(2)因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
所以2x－3>5x－6，解得x<1，
即实数x的取值范围为(－∞，1).
【答案】　(1)①a≤－4　②－4　(2)(－∞，1)
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../../互动探究LLL.TIF"
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(变条件)若本例(1)中的函数f(x)在区间(1，2)上是单调函数，求a的取值范围.
解：因为函数f(x)的对称轴为x＝－a－1，
又f(x)在(1，2)上是单调函数，
所以－a－1≥2或－a－1≤1，
即a≤－3或a≥－2.
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法
(1)由函数解析式求参数
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"../../../../../ABD5.TIF"
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(2)利用抽象函数单调性求范围
①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解.
[提醒]　单调区间是D≠在区间D上单调.
(1)单调区间是D：指单调区间的最大范围是D.
(2)在区间D上单调：指区间D是单调区间的子集.　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.若函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间[0，2]上不是单调函数，则a的取值范围是　　　　　.
解析：因为f(x)＝x2－2(a－1)x＋2的对称轴方程是x＝a－1，
又f(x)在[0，2]上不是单调函数，
所以0答案：(1，3)
2.若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)解析：依题意，得不等式组
解得答案：
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1.(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　　)
A.y＝2x＋1　　　　　　　　
B.y＝3x2＋1
C.y＝
D.y＝|x|
解析：选ABD.借助函数图象可知，y＝2x＋1，y＝3x2＋1，y＝|x|在(0，＋∞)上都是增函数，y＝在(0，＋∞)上为减函数.
2.函数y＝x2－6x的减区间是(　　)
A.(－∞，2]
B.[2，＋∞)
C.[3，＋∞)
D.(－∞，3]
解析：选D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3].
3.设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A.f(x1)B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定.
4.若函数f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)解析：函数的定义域为R.由条件可知，x－2>3，解得x>5.
答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，试写出函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调递增区间.
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"../../../../../ABD6.TIF"
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解：由题意，确定函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上升趋势的一段图象.
由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的.
由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(　　)
A.y＝3－x　　　　　　　　
B.y＝x2＋1
C.y＝
D.y＝－|x＋1|
解析：选B.y＝3－x，y＝，y＝－|x＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0，2)上是增函数.
2.若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)C.f(a2＋a)D.f(a2＋1)解析：选D.因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)3.函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上(　　)
A.递减
B.递增
C.先减后增
D.先增后减
解析：选C.因为y＝|x＋2|＝作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数，
在[－2，0]上为增函数.
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"../../../../../X37.TIF"
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4.函数y＝的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－3]
B.
C.(－∞，1)
D.[－1，＋∞)
解析：选B.由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在(－∞，＋∞)上单调递增，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是.
5.已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是(　　)
A.减函数且f(0)<0
B.增函数且f(0)<0
C.减函数且f(0)>0
D.增函数且f(0)>0
解析：选A.因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.
6.已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是　　　　.
解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1).
答案：(－∞，1)
7.如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为　　　　.
解析：因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为直线x＝，又函数f(x)在区间上是增函数，所以≤，解得a≤2.
答案：(－∞，2]
8.已知函数f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2解析：因为A(0，－2)，B(－3，2)在函数y＝f(x)的图象上，所以f(0)＝－2，f(－3)＝2，故－2答案：(－3，0)
9.作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间.
解：f(x)＝的图象如图所示，
INCLUDEPICTURE
"../../../../../X36.TIF"
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由图象可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]；
单调递增区间为(2，＋∞).
10.已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝.
(1)求m，n的值；
(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明.
解：(1)因为f(1)＝m＋＋＝2，
f(2)＝2m＋＋＝.
所以
(2)由(1)知f(x)＝x＋＋，f(x)在x∈[1，＋∞)上为增函数，证明如下：
设1≤x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝x1＋＋－
＝(x1－x2)
＝.
因为1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞1，
所以2x1x2＞2＞1，
所以＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
[B　能力提升]
11.(多选)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　)
A.函数f(x)在R上不具有单调性
B.当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上单调递减
C.若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1　
D.若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是
解析：选BD.当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上单调递减，A错误；
当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上单调递减，B正确；
由f(x)的单调区间是(－∞，－4]得
解得a的值不存在，C错误；
在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；
当a≠0时，由解得a≤且a>0，
所以a的取值范围是，D正确.
12.已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A.当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，所以0≤a≤.
13.已知定义在[1，4]上的函数f(x)是减函数，则满足不等式f(1－2a)－f(3－a)>0的实数a的取值范围为　　　　.
解析：由题意，可得f(1－2a)>f(3－a).
因为f(x)在定义域[1，4]上单调递减，
所以，
解得－1≤a≤0，
所以实数a的取值范围为[－1，0].
答案：[－1，0]
14.已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围.
解：设11.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)·<0.
因为x1－x2<0，
所以1＋>0，
即a>－x1x2.
因为11，
所以－x1x2<－1，
所以a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞).
[C　拓展探究]
15.设f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，F(x)＝g(x)－λf(x).问是否存在实数λ，使F(x)在区间上是减函数且在区间上是增函数？
解：假设存在这样的实数λ，则由f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，得g(x)＝(x2＋1)2＋1，
所以F(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)·x2＋2－λ.
令t＝x2，则t＝x2在(－∞，0)上单调递减，且当x∈时，t＞；当x∈时，0＜t＜.
故要使F(x)在上单调递减，在上单调递增，
则函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ在上单调递增，在上单调递减，
所以函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ图象的对称轴t＝为t＝，即＝，则λ＝3.
故存在这样的实数λ(λ＝3)，使F(x)在区间上是减函数且在区间上是增函数.
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