1.3.3.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第三章 函数的概念与性质 第三节 幂函数 第一课时 幂函数

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INCLUDEPICTURE"导学聚焦LLL.TIF"
教材考点
学习目标
核心素养
幂函数的概念
了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式
数学抽象
幂函数的图象
掌握五种幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象特点
直观想象
幂函数的性质
借助五种幂函数的图象，掌握五种幂函数的性质，并会应用
直观想象、逻辑推理
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"
问题导学
预习教材P89－P91，并思考以下问题：
1.幂函数的定义是什么？
2.幂函数的解析式有什么特点？
3.幂函数的图象有什么特点？
4.幂函数的性质有哪些？
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
1.幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
■微思考1
幂函数的解析式有什么特征？
提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数.
2.幂函数的图象与性质
(1)五种常见幂函数的图象
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"../../../../BD31.TIF"
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(2)五类幂函数的性质
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1，1)
■微思考2
(1)通过观察5个幂函数的图象，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.
(2)当α＞0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？
提示：图象都是从左向右逐渐上升.
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
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"../../../../自我检测LLL.TIF"
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1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1).(　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限.(　　)
(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数.(　　)
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数.　(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.下列函数为幂函数的是(　　)
A.y＝2x3　　　　　　　　　
B.y＝2x2－1
C.y＝
D.y＝
解析：选C.y＝2x3中，x3的系数不等于1，故A不是幂函数；y＝2x2－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝x－1是幂函数；y＝＝3x－2中x－2的系数不等于1，故D不是幂函数.
3.在下列四个图形中，y＝x－的图象大致是(　　)
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"../../../../HYSX1.tif"
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解析：选D.函数y＝x－的定义域为(0，＋∞)，是减函数.
4.若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝　　　　.
解析：因为y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，
所以m＝1，2n－4＝0，即m＝1，n＝2，所以m＋n＝3.
答案：3
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　幂函数的概念
(1)下列函数：①y＝x3；②y＝eq
\s\up12(x)；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1).其中幂函数的个数为(　　)
A.1　　　　　　　　　　　
B.2
C.3
D.4
(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　)
A.1
B.－3
C.－1
D.3
【解析】　(1)②⑦中自变量x在指数的位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以
所以m＝1.
【答案】　(1)B　(2)A
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：
(1)指数为常数；
(2)底数为自变量；
(3)系数为1.
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)
A.
B.1
C.
D.2
解析：选C.由幂函数的定义知k＝1.
又f＝，所以＝，
解得α＝，从而k＋α＝.
2.已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝(　　)
A.2
B.1
C.
D.0
解析：选A.因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，
即a＝1，b＝1，
所以a＋b＝2.
探究点2　幂函数的图象及应用
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间.
【解】　因为f(x)＝xα的图象过点P，
所以f(2)＝，
即2α＝，
得α＝－2，
即f(x)＝x－2，
f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0).
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"../../../../bd32.TIF"
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解决幂函数图象问题应把握的原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断.
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
幂函数f(x)＝x的大致图象为(　　)
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"../../../../HYSX2y.tif"
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解析：选B.由于f(0)＝0，所以排除C，D选项.而f(－x)＝(－x)＝＝＝x＝f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.故选B.
探究点3　幂函数单调性的应用
角度一　比较幂的大小
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
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"../../../../例3LLL.TIF"
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比较下列各题中两个值的大小.
(1)2.3，2.4；
(2)()
，()；
(3)(－0.31)，0.35.
【解】　(1)因为y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3＜2.4，
所以2.3＜2.4.
(2)因为y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且＜，
所以()＞().
(3)因为y＝x为R上的偶函数，所以(－0.31)＝0.31.又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31＜0.35，
所以0.31＜0.35，即(－0.31)＜0.35.
比较幂值大小的方法
(1)若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小.
(2)若指数不同，可采用中介值法或估值法，如先与0比较大小，若都大于0，再与1比较，直到比较出所有数的大小，若中介值法不行则要采用估值法，判断各数的范围，进而比较出各数的大小.　
角度二　解不等式
若(3－2m)＞(m＋1)，求实数m的取值范围.
【解】　因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，
所以
解得－1≤m＜.
故实数m的取值范围为.
利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.　
已知幂函数y＝x3m－9(m∈N
)的图象关于y轴对称，且在x∈(0，＋∞)上为减函数，求满足不等式(a＋1)
＜(3a－2)的实数a的取值范围.
解：若幂函数y＝x3m－9(m∈N
)的图象关于y轴对称，
则为偶函数，
即m为奇数，
又在x∈(0，＋∞)上为减函数，
因而3m－9＜0，即m＜3.
又m∈N
，从而m＝1.故不等式(a＋1)＜(3a－2)可化为(a＋1)＜(3a－2).　
函数y＝x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且在(－∞，0)与(0，＋∞)上均为减函数，
因而a＋1＞3a－2＞0，或0＞a＋1＞3a－2，或a＋1＜0＜3a－2，
解得a的取值范围为.
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1.下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　)
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"../../../../JN24.tif"
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A.①y＝x2，②y＝x，③y＝x，④y＝x－1
B.①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C.①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D.①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
解析：选B.注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应；y＝x＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，其图象应与④对应.
2.已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为(　　)
A.－1或2　　　　　　　　
B.－2或1
C.－1
D.1
解析：选C.因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，
所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.
又a－2≠0，所以a＝－1.
3.幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)(　　)
A.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D.既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：选D.由题意设f(x)＝xn，
因为函数f(x)的图象经过点(3，)，
所以＝3n，解得n＝，
即f(x)＝，
所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，
且在(0，＋∞)上是增函数，故选D.
4.函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是　　　　Ｗ.
解析：因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，
所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝＝－.
答案：－
5.已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值.
解：由题意得
解得
所以m＝－3，n＝.
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1.在下列函数中，定义域和值域不同的是(　　)
A.y＝x　　　　　　　　　
B.y＝x
C.y＝x
D.y＝x
解析：选D.A，C的定义域和值域都是R；B的定义域和值域都是[0，＋∞)；D的定义域是R，值域是[0，＋∞).故选D.
2.已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则(　　)
A.m>n
B.mC.m＝n
D.m与n的大小不确定
解析：选B.设f(x)＝x－1，已知a≠0，则a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(a2＋3)3.已知a＝1.2，b＝0.9，c＝，则(　　)
A.cB.cC.bD.a解析：选A.b＝0.9－＝＝，c＝＝1.1，因为f(x)＝x在[0，＋∞)上单调递增，且1.2>>1.1，所以1.2>>1.1，即a>b>c.
4.已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的下方，则α的取值范围是(　　)
A.0<α<1
B.α<0
C.α<1
D.α>1
解析：选C.由幂函数的图象特征知α<1.
5.(多选)已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，可以是函数y＝f(x)的图象的有(　　)
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"../../../../JN25.tif"
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INCLUDEPICTURE
"../../../../JN26.tif"
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解析：选ABD.函数f(x)＝xk(k∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象不是函数y＝f(x)的图象，A，B，D选项均可以.
6.已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x
1
f(x)
1
则f(x)的单调递增区间是　　　　Ｗ.
解析：因为f＝，所以＝，即α＝，
所以f(x)＝x的单调递增区间是[0，＋∞).　
答案：[0，＋∞)
7.已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是　　　　.
解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.故α<0.
答案：α＜0
8.已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝　　　　.
解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数.又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，所以m＝1.
答案：1
9.已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)，问：
(1)当a为何值时，此函数为幂函数？
(2)当a为何值时，此函数为正比例函数？
(3)当a为何值时，此函数为反比例函数？
解：(1)由题意知a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0，
解得a＝.
(2)由题意知解得a＝4.
(3)由题意知解得a＝3.
10.已知幂函数f(x)＝(2m2－6m＋5)xm＋1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间(2，3)上为单调函数，求实数a的取值范围.
解：(1)由f(x)为幂函数知2m2－6m＋5＝1，即m2－3m＋2＝0，得m＝1或m＝2.
当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；当m＝2时，f(x)＝x3，为奇函数，不符合题意，舍去.所以f(x)＝x2.
(2)由(1)得y＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1，即函数的对称轴为x＝a－1，由题意知函数在(2，3)上为单调函数，所以对称轴a－1≤2或a－1≥3，即a≤3或a≥4.故实数a的取值范围是(－∞，3]∪[4，＋∞).　
[B　能力提升]
11.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
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"../../../../BD35.TIF"
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A.－1＜n＜0＜m＜1
B.n＜－1，0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1
D.n＜－1，m＞1
解析：选B.在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”.如图，0＜m＜1，n＜－1.
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"../../../../BD36.TIF"
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12.(多选)下列不等式在a＜b＜0的条件下能成立的是(　　)
A.a－1＞b－1
B.a＜b
C.b2＜a2
D.a＞b
解析：选ABC.分别构造函数y＝x－1，y＝x，y＝x2，y＝x，其中函数y＝x－1，y＝x2在(－∞，0)上为减函数，而y＝x，y＝x为(－∞，0)上的增函数，故D不成立.
13.(一题两空)已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数.
(1)f的值为　　　　；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，则实数a的值为　　　　.
解析：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或3.
当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，所以不满足题意，所以m＝2舍去；
当m＝3时，f(x)＝x－4是偶函数，满足题意，
所以f(x)＝x－4，
所以f＝＝16.
(2)由f(x)＝x－4为偶函数及f(2a＋1)＝f(a)可得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，所以a＝－1或a＝－.
答案：(1)16　(2)－1或－
14.已知幂函数f(x)＝x(m－2)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)＝a－的奇偶性.
解：由f(x)＝x(m－2)(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)＜0，所以m＜2.
因为m∈N，所以m＝0，1.
因为f(x)是偶函数，所以只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝x－.于是g(x)＝－，g(－x)＝＋，且g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当a≠0且b≠0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；
当a＝0且b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数.
[C　拓展探究]
15.已知幂函数f(x)＝xp2＋p＋(p∈N)在(0，＋∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数.
(1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1，问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在区间(－4，0)上是增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由幂函数的图象和性质知－p2＋p＋＞0，
解得－1＜p＜3.
因为p∈N，所以p＝2，1，0.
当p＝0或2时，f(x)＝x，不是偶函数；
当p＝1时，f(x)＝x2，是偶函数.故p＝1，f(x)＝x2.
(2)g(x)＝－qx4＋(2q－1)x2＋1，令t＝x2，则h(t)＝－qt2＋(2q－1)t＋1(t≥0).因为t＝x2在(－∞，0)上是减函数，所以当x∈(－∞，－4]时，t∈[16，＋∞)；当x∈(－4，0)时，t∈(0，16).当h(t)在[16，＋∞)上是增函数，在(0，16)上是减函数时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，在(－4，0)上是增函数，此时二次函数h(t)的对称轴方程是t＝16，即t＝＝1－＝16，所以q＝－.故存在实数q＝－，使得g(x)在(－∞，－4]上是减函数，且在(－4，0)上是增函数.
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