1.3.2.3 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第三章 函数的概念与性质 第二节 函数的基本性质 第三课时 函数奇偶性的概念

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第1课时　函数奇偶性的概念
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教材考点
学习目标
核心素养
函数奇偶性的判断
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法
数学抽象、逻辑推理
奇、偶函数的图象
了解函数奇偶性与函数图象对称性之间的关系
直观想象
奇、偶函数的应用
会利用函数的奇偶性解决简单问题
数学运算
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"
问题导学
预习教材P82－P84，并思考以下问题：
1.奇函数与偶函数的定义是什么？
2.奇、偶函数的定义域有什么特点？
3.奇、偶函数的图象有什么特征？
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
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"../../../../../新知初探LLL.TIF"
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1.偶函数
(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
(2)图象特征：图象关于y轴对称.
2.奇函数
(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
(2)图象特征：图象关于原点对称.
■微思考
(1)奇、偶函数的定义域有什么特点？
提示：由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称.
(2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数吗？
提示：因为f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.
(3)若函数f(x)对定义域内的任意x，都有f(x)－f(－x)＝0，那么该函数是偶函数吗？
提示：因为f(x)－f(－x)＝0，则f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数.
(4)若函数y＝f(x)，x∈D为奇函数，且0∈D，则f(0)为何值？
提示：f(0)＝0.
(5)是否存在一个函数既是奇函数也是偶函数？
提示：既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合.
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
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"../../../../../自我检测LLL.TIF"
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1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称.(　　)
(2)函数f(x)＝x2的图象关于原点对称.(　　)
(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数.(　　)
(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.下列函数为奇函数的是(　　)
A.y＝|x|　　　　　　　　
B.y＝3－x
C.y＝
D.y＝－x2＋14
解析：选C.A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数，故选C.
3.若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)
A.－2
B.2
C.0
D.不能确定
解析：选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
4.(一题两空)下列图象表示的函数是奇函数的是　　　　，是偶函数的是　　　　Ｗ.(填序号)
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"../../../../../ABD14Y.TIF"
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解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数.
答案：②④　①③
5.(一题两空)若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝　　　　，f(0)＝　　　　.
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.
答案：－2　0
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　函数奇偶性的判断
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
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"../../../../../例1LLL.TIF"
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判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(2)f(x)＝＋
；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
【解】　(1)因为x∈R，
所以－x∈R，
又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)
＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
(2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，
关于原点对称，且f(x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1].
即有－1≤x≤1且x≠0，
则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又因为f(－x)＝
＝－＝－f(x).
所以f(x)为奇函数.
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数.
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
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"../../../../../M2.TIF"
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(2)图象法
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"../../../../../M3.TIF"
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[注意]　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式.　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.(多选)下列函数是奇函数的有(　　)
A.y＝x3＋　　　　　　　
B.y＝(x＞0)
C.y＝x3＋1
D.y＝
解析：选AD.选项A，函数的定义域为R，f(x)＝x3＋，f(－x)＝－(x3＋)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；选项B，函数的定义域关于原点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；选项C，函数的定义域为R，f(0)＝0＋1＝1≠0，则函数f(x)为非奇非偶函数；选项D，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数.
2.如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　)
A.y＝x＋f(x)
B.y＝xf(x)
C.y＝x2＋f(x)
D.y＝x2f(x)
解析：选B.因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x).
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数.
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，　
所以y＝xf(x)是偶函数.
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，　
所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数.
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)
＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数.
探究点2　奇、偶函数的图象
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
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"../../../../../例2LLL.TIF"
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已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
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"../../../../../ABD15.TIF"
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(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
【解】　(1)由题意作出函数图象如图.
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"../../../../../ABD16.TIF"
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(2)由图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2).
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../../互动探究LLL.TIF"
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1.(变问法)本例条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？
解：结合图象可知，满足条件的y的取值范围是(－1，0).2.(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解：(1)由题意作出函数图象如图所示：
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"../../../../../ABD17.TIF"
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(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1).
(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞).
巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象.
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象.
[注意]　作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0).
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)
A.4　　　　　　　　　　　
B.2
C.1
D.0
解析：选D.因为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.
探究点3　利用函数的奇偶性求参数
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
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"../../../../../例3LLL.TIF"
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(1)(一题两空)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝　　　　，b＝　　　　.
(2)若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式.
【解】　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，
易得b＝0.
故填和0.
(2)因为f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，
所以b＝0.
又因为f＝＝，
所以a＝1，所以f(x)＝.
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　)
A.±1　　　　　　　　　
B.－1
C.1
D.0
解析：选C.因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数，所以1－a2＝0.所以a＝±1.
当a＝1时，f(x)＝x2－1，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件；当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在(0，＋∞)上单调递减，不满足.
2.已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝　　　　.
解析：因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＋f(1)＝0，
即a－1＋(－1＋1)＝0，故a＝1.
答案：1
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1.下列函数是偶函数的是(　　)
A.y＝x
B.y＝2x2－3
C.y＝
D.y＝x2，x∈(－1，1]
解析：选B.对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数.
2.函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A.y轴对称
B.直线y＝－x对称
C.坐标原点对称
D.直线y＝x对称
解析：选C.函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
3.(2020·武汉高一检测)函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　)
A.－1　　　　　　　　　　
B.1
C.－
D.
解析：选C.由题得f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－，此时f(x)＝为奇函数.
4.已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝　　　　.
解析：当x＞0时，
f(x)＝x2＋，
所以f(1)＝1＋1＝2.
又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－2.
答案：－2
5.根据题中函数的奇偶性及所给的部分图象，作出函数在y轴另一侧的图象，并解决问题.
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"../../../../../ABD18.TIF"
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(1)如图①是奇函数y＝f(x)的部分图象，求f(－4)·f(－2)；
(2)如图②是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小.
解：(1)作出函数在y轴另一侧的图象，如图所示，
INCLUDEPICTURE
"../../../../../ABD19.TIF"
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观察图象可知f(－4)＝－f(4)＝－2，
f(－2)＝－f(2)＝－1，
所以f(－4)·f(－2)＝(－2)×(－1)＝2.
(2)作出函数在y轴另一侧的图象，如图所示.
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"../../../../../ABD20.TIF"
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观察图象可知f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，f(－1)INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1.下列函数为奇函数的是(　　)
A.y＝x2＋2　　　　　　　　
B.y＝x，x∈(0，1]
C.y＝x3＋x
D.y＝x3＋1
解析：选C.对于A，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝f(x)，即f(x)为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数；对于D，f(－x)＝－x3＋1≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.
2.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：选B.因为函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即
(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(－m＋2)x＋(m2－7m＋12)，
即m－2＝－m＋2，解得m＝2.
3.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A.F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，符合奇函数的定义.
4.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)
INCLUDEPICTURE
"../../../../../M7.TIF"
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MERGEFORMAT
A.－2
B.2
C.1
D.0
解析：选A.由题图知f(1)＝，f(2)＝，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A.
5.(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的是(　　)
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"../../../../../JN19.tif"
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A.这个函数有两个单调递增区间
B.这个函数有三个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值－7
解析：选BC.根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.故选BC.
INCLUDEPICTURE
"../../../../../JN20.tif"
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6.若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f(x)＋f(－x)＝0；
②f(x)－f(－x)＝2f(x)；
③f(x)·f(－x)＜0；
④＝－1.
其中一定正确的为　　　　.(填序号)
解析：因为f(x)在R上为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x).
所以f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确.
f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确.
当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确.
当x＝0时，分母为0，无意义，故④不正确.
答案：①②
7.如果函数y＝是奇函数，则f(x)＝　　　　.
解析：设x<0，则－x>0，
所以2×(－x)－3＝－2x－3.
又原函数为奇函数，
所以f(x)＝－(－2x－3)＝2x＋3.
答案：2x＋3
8.已知函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，满足f(－3)＝2，则f(3)的值为　　　　.
解析：因为f(x)＝ax3＋bx＋＋5，
所以f(－x)＝－ax3－bx－＋5，
即f(x)＋f(－x)＝10.
所以f(－3)＋f(3)＝10，
又f(－3)＝2，
所以f(3)＝8.
答案：8
9.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3，3]；
(3)f(x)＝
解：(1)因为f(－x)＝3＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数.
(2)因为x∈[－3，3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数.
(3)当x>0时，f(x)＝1－x2，
此时－x<0，
所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
所以f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－1，
此时－x>0，
f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
所以f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为R上的奇函数.
10.定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.
INCLUDEPICTURE
"../../../../../ABD21.TIF"
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MERGEFORMAT
(1)补全f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
解：(1)描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，则可得f(x)的图象如图所示.
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"../../../../../ABD22.TIF"
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(2)结合函数f(x)的图象，可知不等式xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2).
[B　能力提升]
11.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是奇函数
B.|f(x)|g(x)是偶函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选ABC.依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A正确；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函数，B正确；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)·|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.故选ABC.
12.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A.－3
B.－1
C.1
D.3
解析：选C.因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，
又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，　
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，
则f(1)＋g(1)＝1，故选C.
13.(一题两空)已知函数f(x)＝为奇函数.
(1)实数m＝　　　　；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　.
解析：(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝x2＋2x，
所以m＝2.
(2)由(1)知
f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示.
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"../../../../../S1-83.TIF"
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由图象可知，f(x)在[－1，1]上单调递增，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需
解得1答案：(1)2　(2)1[C　拓展探究]
14.已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论？
解：(1)因为g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，所以g(x)是偶函数，h(x)是奇函数.
(2)g(x)＋h(x)＝＋＝f(x).
(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
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