1.3.5.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第三章 函数的概念与性质 第五节 全章复习 第一课时 复习提升课

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主题1　函数的定义域和值域
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(1)函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.∪
(2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是(　　)
A.　　　　　　　　
B.[－1，4]
C.[－5，5]
D.[－3，7]
(3)求下列函数的值域.
①y＝；
②y＝x＋4；
③y＝－2x，x∈.
【解】　(1)选D.由题意得，
解得x<1且x≠.
(2)选A.设u＝x＋1，
由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，
所以y＝f(u)的定义域为[－1，4].
再由－1≤2x－1≤4，
解得0≤x≤，
即函数y＝f(2x－1)的定义域是.
(3)①y＝＝＝2＋，显然≠0，
所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
②设t＝≥0，则x＝1－t2，
所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，
所以y≤5，
所以原函数的值域为(－∞，5].
③因为y＝－2x在上为减函数，
所以ymin＝－2×＝－1.
ymax＝－2×(－2)＝.
所以函数的值域为.
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.
[注意]　(1)f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同.
(2)定义域所指永远是自变量的范围.　
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"../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.设函数f(x)的定义域为[1，5]，则函数f(2x－3)的定义域为(　　)
A.[2，4]
B.[3，11]
C.[3，7]
D.[1，5]
解析：选A.由题意得，1≤2x－3≤5，解得2≤x≤4，所以函数f(2x－3)的定义域是[2，4].
2.设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是　　　　Ｗ.
解析：由题意可得，函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，故当x＝1时，函数取得最大值为2.
因为函数的值域是[－6，2]，
令－2x2＋4x＝－6，可得x＝－1或x＝3.
所以－1≤m≤1，1≤n≤3，
所以0≤m＋n≤4.
即m＋n的取值范围为[0，4].
答案：[0，4]
主题2　函数的解析式
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"../../../例2LLL.TIF"
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(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝　　　　.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
①求出函数f(x)在R上的解析式；
②写出函数的单调区间(写出即可，不需要证明).
【解】　(1)令x＋1＝t，
则x＝t－1，
因为f(x＋1)＝x2－5x＋4，
所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10，
所以f(x)＝x2－7x＋10.
故填x2－7x＋10.
(2)①设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(0)＝0，
所以f(x)＝
②画出函数f(x)＝
的图象，
如图：
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由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为(－1，0)，(0，1).
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法.
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法.
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.　
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"../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1.已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为　　　　.
解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
解得故f(x)＝x2＋1.
答案：f(x)＝x2＋1
2.若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为　　　　.
解析：令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R，
原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)　①.
以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)
＝2(1－t)　②.
由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋，
故f(x)＝2x＋.
答案：f(x)＝2x＋
主题3　函数的单调性和奇偶性
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已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围.
【解】　(1)证明：?x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
所以f(x1)所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增.
(2)1f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为a>0，x2－x1>0，
所以要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.
综上所述，a的取值范围是(0，1].
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.　
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1.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤2
B.a≥－2
C.－2≤a≤2
D.a≤－2或a≥2
解析：选D.因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D.
2.已知函数f(x)＝是R上的增函数，求a的取值范围.
解：因为f(x)在R上是单调递增的函数，所以f(x)需满足在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上都是单调递增的，并且端点处(x＝1)的函数值－12－a－5≤，即a≥－3；f(x)＝－x2－ax－5的对称轴为直线x＝－，f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以－≥1，即a≤－2；f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，所以a<0.综上所述，a的取值范围是[－3，－2].
主题4　函数的图象及应用
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"../../../例4LLL.TIF"
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对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.
【解】　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数.
图象关于y轴对称.
(2)f(x)＝x2－2|x|
＝
画出图象如图所示，
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"../../../ABD29.TIF"
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根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1)，(0，1).
作函数图象的方法
(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线.
(2)变换法——熟知函数的图象的平移、对称、翻转.
①平移：y＝f(x)y＝f(x±h)；
y＝f(x)y＝f(x)±k.(其中h>0，k>0)
②对称：y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝－f(－x).　
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1.已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)
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解析：选D.因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，f(1)＝0，则可知开口向上，排除A、C，然后根据f(0)＝c<0，可知函数图象与y轴的交点在x轴下方.
2.已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x.求x∈[－3，5]时，f(x)＝的所有解的和.
解：当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，
所以f(－x)＝－x.
又因为f(x)为奇函数，
所以x∈[－1，0]时，f(x)＝－f(－x)＝x，即x∈[－1，1]时，f(x)＝x.
又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称.由此可得f(x)在[－3，5]上的图象如图，
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在同一坐标系内画出y＝的图象，
由图可知在[－3，5]上共有四个交点，
所以f(x)＝在[－3，5]上共有四个解，
从左到右记为x1，x2，x3，x4，
则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，
所以＝1，＝1，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝4.
主题5　函数的应用
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某工厂有214名工人，现要生产1
500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同.现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工.设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(k∈N
)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x).
(1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；
(2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？
【解】　(1)由已知A型零件需要生产4
500个，B型零件需要生产1
500个，加工B型零件的工人有(214－x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个.
所以g(x)＝＝，
h(x)＝＝.
则g(x)－h(x)＝－＝·.
因为0＜x＜214，且x∈N，k∈N
，所以当0＜x≤137时，g(x)＞h(x)，
当137＜x＜214时，g(x)＜h(x).
所以f(x)＝其中x∈N.
(2)因为当0＜x≤137时，f(x)为减函数，当137＜x＜214时，f(x)为增函数，且＝·＝＜1，所以当x＝137时f(x)的值最小，即安排137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少.
解应用题的基本步骤
(1)审题：读懂题意，分清条件与结论，理顺数量关系；
(2)建模：将已知条件转化为数学语言，应用数学知识建立相应的函数模型；
(3)解模：求解函数模型，得到数学结论；
(4)还原：将数学方面的结论还原到实际问题中去，解释实际意义.　
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某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台机器时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为F(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产的数量(单位：百台).
(1)将利润表示为产量的函数；
(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？
解：(1)设利润函数为G(x)，成本函数为R(x)，
则依题意，得G(x)＝F(x)－R(x)＝－(0.5＋0.25x)＝－0.5x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5).
(2)因为由(1)知利润函数G(x)＝－0.5x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)，
所以当x＝－＝4.75时，G(x)有最大值，
所以年产量为475台时，企业所得利润最大.
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