1.3.5.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第三章 函数的概念与性质 第五节 全章复习 第二课时 综合检测

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综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(1，＋∞)　　　　　　　　
B.[1，＋∞)
C.[1，2)
D.[1，2)∪(2，＋∞)
解析：选D.根据题意有
解得x≥1且x≠2.
2.函数y＝的值域是(　　)
A.[0，＋∞)
B.[1，＋∞)
C.(0，＋∞)
D.(1，＋∞)
解析：选B.由题意知，函数y＝的定义域为x∈R，则x2＋1≥1，所以y≥1.
3.已知f＝2x＋3，则f(6)的值为(　　)
A.15
B.7
C.31
D.17
解析：选C.令－1＝t，则x＝2t＋2.
将x＝2t＋2代入f＝2x＋3，
得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.
所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31.
4.若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为(　　)
A.5
B.4
C.3
D.2
解析：选A.因为函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，所以－1－a＋2a＝0，所以a＝1，所以函数的定义域为[－2，2].因为函数图象的对称轴为x＝0，所以b＝0，所以f(x)＝x2＋1，所以x＝±2时函数取得最大值，最大值为5.
5.已知函数f(x)＝则f的值为(　　)
A.
B.－
C.
D.18
解析：选C.由题意得f(3)＝32－3－3＝3，那么＝，所以f＝f＝1－＝.
6.函数f(x)＝的图象不可能是(　　)
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"../../../EA11.TIF"
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解析：选D.函数表达式中含有参数a，要对参数进行分类讨论.若a＝0，则f(x)＝＝，选项C符合；若a＞0，则函数定义域为R，选项B符合；若a＜0，则x≠±，选项A符合，所以不可能是选项D.
7.函数f(x)＝|x－1|与g(x)＝x(x－2)的单调递增区间分别为(　　)
A.[1，＋∞)，[1，＋∞)
B.(－∞，1]，(1，＋∞)
C.(1，＋∞)，(－∞，1]
D.(－∞，＋∞)，[1，＋∞)
解析：选A.f(x)＝|x－1|＝故f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
故g(x)在[1，＋∞)上单调递增.
8.已知f(x)＝2x＋3，g(x)＝4x－5，则使得f(h(x))＝g(x)成立的h(x)＝(　　)
A.2x＋3
B.2x－11
C.2x－4
D.4x－5
解析：选C.由f(x)＝2x＋3，
得f(h(x))＝2h(x)＋3，
则f(h(x))＝g(x)可化为2h(x)＋3＝4x－5，解得h(x)＝2x－4.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.若函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为(　　)
A.
B.1
C.2
D.3
解析：选BD.当α＝时，幂函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，A不符合题意；当α＝1时，幂函数y＝x的定义域为R且为奇函数，B符合题意；当α＝2时，幂函数y＝x2的定义域为R且为偶函数，C不符合题意；当α＝3时，幂函数y＝x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意.故选BD.
10.下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的值域是[－2，2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3，1]
B.既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
C.若A∪B＝B，则A∩B＝A
D.函数f(x)的定义域是[－2，2]，则函数f(x＋1)的定义域为[－3，1]
解析：选BCD.由f(x)与f(x＋1)的值域相同知，A错误；设f(x)＝0，且x∈D，D是关于原点对称的区间，则f(x)既是奇函数又是偶函数，由于D有无数个，故f(x)有无数个，B正确；由A∪B＝B得，A?B，从而A∩B＝A，C正确；由－2≤x＋1≤2得－3≤x≤1，D正确.故选BCD.
11.对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]?D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b].那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是(　　)
A.函数y＝x2＋1是闭函数
B.函数y＝－x3是闭函数
C.函数f(x)＝是闭函数
D.k＝－2时，函数y＝k＋是闭函数
解析：选BD.因为y＝x2＋1在定义域R上不是单调函数，所以函数y＝x2＋1不是闭函数，A错误；y＝－x3在定义域上是减函数，由题意设[a，b]?D，则解得因此存在区间[－1，1]，使y＝－x3在[－1，1]上的值域为[－1，1]，B正确；f(x)＝＝1－，在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；若y＝k＋是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数f(x)的值域为[a，b]，即所以a，b为方程x＝k＋的两个实数根，即方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0(x≥－2，x≥k)有两个不等的实根.当k≤－2时，有解得－＜k≤－2；当k＞－2时，有此不等式组无解.综上所述，k∈，因此D正确.故选BD.
12.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是(　　)
A.出租车行驶4
km，乘客需付费9.6元
B.出租车行驶10
km，乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5
km两次的费用超过他乘出租车行驶10
km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9
km
解析：选BCD.在A中，出租车行驶4
km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10
km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出租车行驶5
km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6＞25.45，C正确；在D中，设出租车行驶x
km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75＜22.6知x＞8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确.故选BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝　　　　.
解析：根据已知条件，得g(－2)＝f(－2)＋9，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，则3＝－f(2)＋9，解得f(2)＝6.
答案：6
14.已知函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围是　　　　.
解析：当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；
当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解.
所以a的取值范围是(－∞，－3).
答案：(－∞，－3)
15.(一题两空)已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.
(1)若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为　　　　；
(2)若函数f(x)在[－1，1]上存在零点，则实数a的取值范围为　　　　.
解析：(1)因为f(x)的图象与x轴无交点，
所以Δ＝16－4(a＋3)＜0，所以a＞1，即实数a的取值范围为(1，＋∞).
(2)因为函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝2，且开口向上，
所以f(x)在[－1，1]上单调递减，
所以要使f(x)在[－1，1]上存在零点，
需满足，即，
所以－8≤a≤0，
即实数a的取值范围为[－8，0].
答案：(1)(1，＋∞)　(2)[－8，0]
16.具有性质f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝中满足“倒负”变换的函数是　　　　.(填序号)
解析：对于①：f＝－x
＝－＝－f(x)，
所以①满足；
对于②：f＝＋x≠－f(x)，
所以②不满足；
对于③：当01，
则f＝－x＝－f(x)，
当x＝1时，显然满足，
当x>1时，0<<1，
则f＝＝－f(x)，所以③满足.
答案：①③
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2x－，且f＝3.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明.
解：(1)因为f(x)＝2x－，
且f＝3，
所以f＝1－2a＝3，解得a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝2x＋，f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
证明如下：
设x1＞x2＞1，
则f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－＝(x1－x2).
因为x1＞x2＞1，
所以x1－x2＞0，2x1x2－1＞0，x1x2＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
18.(本小题满分12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
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"../../../JN35.tif"
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(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式；
(2)若f(x)＝，求实数x的值.
解：(1)根据图象可知f(4)＝0，则f(f(4))＝f(0)＝1.
设直线段对应的方程为y＝kx＋b.
将点(0，1)和点(－1，0)代入可得b＝1，k＝1，即y＝x＋1.
当x＞0时，设y＝ax2＋bx＋c.
因为图象过点(4，0)，(2，－1)，且对称轴＝2，代入可得y＝x2－x.
所以f(x)＝
(2)当x＋1＝时，x＝－，符合题意；
当x2－x＝时，解得x＝2＋或x＝2－(舍去).
故x的值为－或2＋.
19.(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间.
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.
又因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1.
当x＝0时，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0，
所以f(x)＝
(2)作出函数图象，如图所示.
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由函数图象易得函数f(x)的单调递增区间为
，.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a≠1).
(1)若a＞0，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围.
解：(1)当a＞0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，
即函数f(x)的定义域是.
(2)当a－1＞0，即a＞1时，
要使f(x)在(0，1]上是减函数，
则需3－a×1≥0，此时1＜a≤3.
当a－1＜0，即a＜1时，要使f(x)在(0，1]上是减函数，则需－a＞0，且3－a×1≥0，此时a＜0.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，3].
21.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1图象的上方，试确定实数m的取值范围.
解：(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，
将点(0，3)的坐标代入得a＝2，
所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由(1)知f(x)的对称轴方程为直线x＝1，
所以2a<1所以0(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，
由题意得2x2－6x－2m＋2>0对于任意x∈[－1，1]恒成立，
所以x2－3x＋1>m对于任意x∈[－1，1]恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1，1]，
则g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m<－1.
22.(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润.
解：(1)由题意可知，
2≥30.
所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，
所以x≤－或x≥3.
又1≤x≤10，
所以3≤x≤10.
(2)易知获得的利润
y＝
＝120，x∈[1，10]，
令t＝∈，则y＝120(－3t2＋t＋5).
当t＝，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元.
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