1.4.1.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第一节 指数 第一课时 指数

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教材考点
学习目标
核心素养
根式的化简与求值
理解n次方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算
数学抽象
根式与分数指数幂的互化
理解整数指数幂和分数指数幂的意义，并能熟练掌握根式与分数指数幂之间的相互转化
数学运算
利用指数幂的性质化简求值
理解指数幂的含义及其运算性质
数学运算
条件求值问题
会根据已知条件，利用指数幂的运算性质、根式的性质进行相关求值运算
数学运算
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"
问题导学
预习教材P104－P109，并思考以下问题：
1．n次方根是怎样定义的？
2．根式的定义是什么？有哪些性质？
3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
4．有理指数幂有哪些运算性质？
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
1．n次方根
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N
性质
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0
x在实数范围内不存在
■微思考1
(1)正数a的n次方根一定有两个吗？
提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．
(2)若实数a的任何次方根都等于它自身，a为何值？
提示：a＝0或1.
2．根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质(n＞1，且n∈N
)：
①()n＝a．
②当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
■微思考2
与()n有什么区别？
提示：(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定，其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.
3．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：a＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)
负分数指数幂
规定：a－＝＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
■微思考3
a能否改为个a相乘？
提示：不能．
4．指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
■微思考4
同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？
提示：(1)ar÷as＝ar－s；
(2)＝.
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../自我检测LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当n∈N
时，()n有意义．(　　)
(2)
＝4－π.(　　)
(3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　)
(4)0的任何指数幂都等于0.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．81的4次方根是(　　)
A．2　　　　　　　　　　
B．±2
C．3
D．±3
答案：D
3.的值是(　　)
A.
B.
C.
D．－
答案：B
4．根式化为分数指数幂为________．
答案：m
5．计算(π－3)0＋3－1×的结果为________．
解析：原式＝1＋×＝1＋＝.
答案：
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
探究点1　根式的化简与求值
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../例1LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
　求下列各式的值．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
＋.
【解】　(1)
＝－2.
(2)
＝＝.
(3)
＝|3－π|＝π－3.
(4)原式＝
＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
所以原式＝
根式的化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．　
(2)注意点：
①正确区分()n与两式；
②运算时注意变式、整体代换以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论．
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．下列各式正确的是(　　)
A.＝－5　　　　　
B.＝a
C.＝7
D.＝π
解析：选C.由于＝5，＝|a|，＝－π，故A，B，D项错误，故选C.
2．化简()2＋＋＝________．
解析：由()2知a－1≥0，a≥1.
故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1.
答案：a－1
3．若＝，则实数a的取值范围为________．　
解析：＝|2a－1|，＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a，
故2a－1≤0，所以a≤.
答案：
探究点2　根式与分数指数幂的互化
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../例2LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
　把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：
(1)(a－b)(a＞b)；(2)
；
(3)
；(4)；(5)(a－b).
【解】　(1)(a－b)＝.
(2)
＝(ab).
(3)
＝(x－1).
(4)
＝a.
(5)(a－b)＝.
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数
INCLUDEPICTURE
"../../../../+1.TIF"
\
MERGEFORMAT
分数指数的分母，
被开方数(式)的指数
INCLUDEPICTURE
"../../../../+1.TIF"
\
MERGEFORMAT
分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[注意]　如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是________(只填序号)．
①－＝(－x)(x＞0)；
②＝y(y＜0)；
③x＝(x＞0)；
④x＝－(x≠0)．
解析：对于①，－＝－x，故①错误；对于②，当y＜0时，＞0，y＜0，故②错误；对于③，x＝＝
(x＞0)，故③正确；对于④，x＝，故④错误．综上，故填③.
答案：③
2．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)．
(1)a2；(2)·；(3)()2·；(4).
解：(1)原式＝a2a＝a2＋＝a.
(2)原式＝a·a＝a＋＝a.
(3)原式＝(a)2·(ab3)＝aab＝a＋b＝ab.
(4)原式＝a2·a＝a2＝a.
探究点3　利用指数幂的性质化简求值
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../例3LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
　计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)＋2－2×－(0.01)0.5；
(2)＋0.1－2＋－3π0＋；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(4)2÷4·3.
【解】　(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－ac－1
＝－.
(4)原式＝2a÷4·
＝a－·b·
＝ab.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
　计算：
(1)(－1.8)0＋·－＋；
(2)·(a＞0，b＞0)．
解：(1)原式＝1＋·－10＋9＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.
(2)原式＝4·0.12·eq
\f(23·a\s\up6(\f(3,2))·b,a\s\up6(\f(3,2))·b)
＝2××8＝.
探究点4　条件求值问题
　已知x＋x＝3，求的值．
【解】　因为x＋x－＝3，
所以(x＋x)2＝9，
所以(x)2＋2x·x＋(x)2＝9，
所以x＋2＋x－1＝9，
所以x＋x－1＝7，
所以原式＝＝.
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../互动探究LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．(变条件)若将条件“x＋x＝3”改为“x－x＝1”，如何求值？
解：将x－x＝1两边平方，得x＋x－1－2＝1，
所以x＋x－1＝3，所以＝＝.
2．(变问法)在本例条件下，如何求x2＋x－2的值？
解：将x＋x＝3两边平方可得x＋x－1＋2＝9，则x＋x－1＝7，两边再平方，得x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.
条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"　已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求的值．
解：＝
＝.①
因为x＋y＝12，xy＝9，②
所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
因为x＜y，
所以x－y＝－6.③
将②③式代入①式，
得
＝＝－.
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．将5写成根式的形式，正确的是(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C．
D.
答案：D
2．计算的结果是(　　)
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
解析：选A.＝|－5|＝5.
3．若a<，则化简的结果是(　　)
A．4a－1
B．1－4a
C．－
D．－
解析：选B.因为a<，所以4a－1<0，
所以＝|4a－1|＝1－4a.
4．计算下列各式的值．
(1)
＋－π0；
(2)eq
\f(a\s\up6(\f(2,3))\r(b),a·\r(3,b))÷.
解：(1)原式＝＋－1
＝＋－1
＝＋－1＝2.
(2)原式＝eq
\f(a\s\up6(\f(2,3))·b\s\up6(\f(1,2)),a·b\s\up6(\f(1,3)))÷eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1b,b·a\s\up6(\f(1,2)))))eq
\s\up12(－\f(2,3))
＝eq
\f(a\s\up6(\f(2,3))·b\s\up6(\f(1,2)),a·b\s\up6(\f(1,3)))÷(a－1b－1)
＝a＋b－÷(ab)
＝ab÷(ab)＝a－1b－1
＝ab.
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
\
MERGEFORMAT
[A　基础达标]
1．下列说法正确的个数是(　　)
①49的平方根为7；
②＝a(a≥0)；
③＝a5b；
④　＝(－3).
A．1　　　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：选A.49的平方根是±7，①错；②显然正确；＝a5b－5，③错；＝3，④错．故选A.
2．化简的结果是(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A.由题意知x＜0，则＝－＝－.
3．计算：(－27)×9－＝(　　)
A．－3
B．－
C．3
D.
解析：选D.(－27)×9＝[(－3)3]×(32)
＝(－3)2×3－3＝9×＝.故选D.
4．计算(2a－3b)·(－3a－1b)÷(4a－4b)得(　　)
A．－b2
B.b2
C．－b
D.b
解析：选A.原式＝eq
\f(－6a－4b\s\up6(\f(1,3)),4a－4b)＝－b2.
5．将化成分数指数幂为(　　)
A．x
B．x
C．x
D．x
解析：选B.原式＝(x·x×)＝(x)＝x×()＝x.
6．[(－5)4]－150的值是________．
解析：[(－5)4]－150＝(54)－150＝5－1＝4.
答案：4
7．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则＝________．
解析：由根与系数的关系得α＋β＝－，
所以＝＝(2－2)
＝23＝8.
答案：8
8．当有意义时，化简
－的结果为________．
解析：由有意义得x≤2，
所以－
＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.
答案：－1
9．计算与化简：
(1)－0.752＋6－2×；
(2)　·eq
\r(（a－5）·（a）13).
解：(1)－0.752＋6－2×
＝－＋×
＝－＋×
＝－＋×
＝1.
(2)原式＝(a·a)·[(a－5)
·(a)13]＝(a0)·(a·a)＝(a－4)＝a－2.
10．已知＋＝－a－b，求＋的值．
解：因为＋＝－a－b.
所以＝－a，＝－b，
所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，
所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
[B　能力提升]
11．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A.＝y(y＜0)
B．x－＝(x＞0)
C．x－＝－(x≠0)
D．[]＝x(x＞0)
解析：选BD.A错，＝－y(y＜0)；B正确，x＝＝＝(x＞0)；C错；x＝(x≠0)；D正确，[]＝x2××＝x(x＞0)．故选BD.
12．(2020·南昌高一检测)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1(a≠0)的图象如图所示，则的值为(　　)
INCLUDEPICTURE
"../../../../JN36.tif"
\
MERGEFORMAT
A．a＋b
B．－(a＋b)
C．a－b
D．b－a
解析：选D.由题图知f(－1)＝a－b＋0.1＜0，所以a－b＜0，所以＝b－a.
13．化简2×(×)6＋()－4×－×80.25＋(－2
017)0＝________．
解析：原式＝2×(2×3)6＋(2×2)－4×－2×2＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.
答案：214
14．已知a＝3，求＋＋＋的值．
解：＋＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.
[C　拓展探究]
15．已知f(x)＝，a是大于0的常数．
(1)求f；
(2)探求f(x)＋f(1－x)的值；
(3)利用(2)的结论求f＋f＋…＋f的值．　
解：(1)f＝＝.
(2)由f(x)＝，得f(1－x)＝＝eq
\f(a,a＋ax＋)＝，所以f(x)＋f(1－x)＝1.
(3)由(2)知，f＋f＋…＋f＝＋＋…＋＝1×50＝50.
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