1.4.2.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第二节 指数函数 第一课时 指数函数的概念、图象及性质

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INCLUDEPICTURE"导学聚焦LLL.TIF"
教材考点
学习目标
核心素养
指数函数的概念
理解指数函数的概念及意义
数学抽象
指数函数的图象
能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质
直观想象
指数函数的定义域、值域问题
掌握指数函数的定义域、值域的求法
数学运算
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
问题导学
预习教材P111－P118，并思考以下问题：
1．指数函数的概念是什么？
2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数y＝ax(a>1)和y＝ax(0INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
■微思考1
(1)为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1?
提示：①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a＜0，例如y＝(－4)x，对于当x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1.
(2)指数函数的解析式有什么特征？
提示：①a＞0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.
2．指数函数的图象和性质
a的范围
a>1
0图象
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"../../../../BD1.TIF"
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"../../../../BD2.TIF"
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性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0，1)
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
■微思考2
(1)在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．
(2)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象的升降与底数a有什么关系？
提示：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
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"../../../../自我检测LLL.TIF"
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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　)
(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　)
(3)函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．函数y＝(－1)x在R上是(　　)
A．增函数　　　　　　　　　
B．奇函数
C．偶函数
D．减函数
答案：D
3．y＝的图象可能是(　　)
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"../../../../BD3YA.TIF"
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答案：C
4．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象过点，则f(x)＝________．
答案：
5．(一题两空)函数f(x)＝2x＋3的定义域为________，值域为________．
答案：R　(3，＋∞)
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　指数函数的概念
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
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"../../../../例1LLL.TIF"
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　下列函数中，哪些是指数函数？
(1)y＝(－8)x；(2)y＝2x2－1；(3)y＝ax；
(4)y＝(2a－1)x；(5)y＝2×3x.
【解】　(1)中底数－8<0，
所以不是指数函数；
(2)中指数不是自变量x，而是关于x的函数，
所以不是指数函数；
(3)中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
(4)因为a＞且a≠1，所以2a－1＞0且2a－1≠1，
所以y＝(2a－1)x为指数函数．
(5)中3x前的系数是2，而不是1，
所以不是指数函数．
(1)判断一个函数是指数函数的方法：
①看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征；
②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．　
(2)已知某函数是指数函数求参数值的方法：
①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程；
②求参数值：解不等式与方程求出参数的值．
[提醒]　解决指数函数问题时，要特别注意底数大于零且不等于1这一条件．
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或2　　　　　　　　　
B．a＝1
C．a＝2
D．a＞0且a≠1
解析：选C.由指数函数的定义得
解得a＝2.
2．如果指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)·f(2)等于________．
解析：设y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
所以a－2＝，
所以a＝2，
所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.
答案：64
探究点2　指数函数的图象
　根据函数f(x)＝eq
\s\up12(x)的图象，画出函数g(x)＝的图象，并借助图象，写出这个函数的一些重要性质．
【解】　g(x)＝＝其图象如图．
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"../../../../JTA1.TIF"
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由图象可知，函数g(x)的定义域为R，值域是(0，1]，
图象关于y轴对称，单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是(0，＋∞)．
求解指数函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(　　)
A．(0，1)
B．(1，1)
C．(2，0)
D．(2，2)
解析：选D.因为当x＝2时，y＝ax－2＋1＝2恒成立，所以函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(2，2)．
2.函数f(x)＝y＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0解析：选D.从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.
探究点3　指数型函数的定义域、值域问题
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
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"../../../../例3LLL.TIF"
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　求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；(2)y＝.
【解】　(1)定义域为R.因为|x|≥0，
所以y＝＝≥＝1.
所以y＝的值域为[1，＋∞)．
(2)因为1－2x≥0，所以2x≤1.
所以2x≤20.所以x≤0.
又因为0<2x≤1，所以－1≤－2x<0，
所以0≤1－2x<1.
所以函数的定义域为(－∞，0]，值域为[0，1)．
函数y＝af(x)的定义域与值域的求法
(1)形如y＝af(x)的定义域就是f(x)的定义域．
(2)形如y＝af(x)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论．
(3)形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．函数y＝的定义域为________．
解析：由题意有3x2－2－9≥0，即3x2－2≥32，
所以x2－2≥2，即x2≥4，
所以x≥2或x≤－2.
故所求函数的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解：①当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，
所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
②当a＞1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝，
解得a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或a＝.
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1．下列函数是指数函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　　
B．y＝(－9)x
C．y＝2x－1
D．y＝2×5x
解析：选A.指数函数形如y＝ax(a>0且a≠1)，所以选A.
2．(多选)若函数f(x)＝·ax(a＞0且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　)
A．a＝8
B．f(0)＝－3
C．f＝2
D．a＝4
解析：选AC.因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，f＝8＝2，故B、D错误，A、C正确．
3．函数f(x)＝2x－3(1A．(0，＋∞)
B．(0，4)
C.
D.
解析：选C.因为14．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
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"../../../../JTA3.TIF"
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解析：选C.函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，故可排除选项A，B，D.
5．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝.
解：(1)要使函数有意义，则x－4≠0，解得x≠4.
所以函数y＝2的定义域为{x|x≠4}．
因为≠0，所以2≠1，即函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)要使函数有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.
所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所以＝＝1，即函数y＝的值域为{y|y＝1}．
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．[0，＋∞)　　　　　　　
B．(－∞，0]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析：选B.因为1－3x≥0，即3x≤1，所以x≤0，即x∈(－∞，0]．
2．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是(　　)
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"../../../../JTA4.TIF"
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解析：选B.对于函数f(x)＝ax，当x＝0时，f(0)＝a0＝1，当x＝2时，f(2)＝a2.
由于指数函数是单调函数，则有a2>1，即a>1.
则函数f(x)的图象是上升的，且在x轴上方，结合选项可知B正确．
3．函数y＝－1的值域为(　　)
A．[1，＋∞)
B．(－1，1)
C．(－1，＋∞)
D．[－1，1)
解析：选D.因为4－2x≥0，所以2x≤4，即x≤2，即函数的定义域是(－∞，2]．因为0<2x≤4，所以－4≤－2x<0，所以0≤4－2x<4.
令t＝4－2x，则t∈[0，4)，所以∈[0，2)，
所以y∈[－1，1)，即函数y的值域是[－1，1)，故选D.
4．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　)
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f＝f(x)－f(y)
D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
解析：选ABD.f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确．
5．(多选)已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　)
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"../../../../20RJ-2.TIF"
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A．a＞1
B．0＜a＜1
C．b＞1
D．0＜b＜1
解析：选BD.根据图象，函数f(x)＝ax－b是单调递减的，
所以指数函数y＝ax的底数a∈(0，1)，
根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，
解得b∈(0，1)，
即a∈(0，1)，b∈(0，1)，
故选BD.
6．函数f(x)＝2x在[－1，3]上的最小值是________．
解析：因为f(x)＝2x在[－1，3]上单调递增，所以最小值为f(－1)＝2－1＝.
答案：
7．已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m＝________．
解析：由得m＝2.
答案：2
8．已知函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围是________．
解析：由ax－1≥0，得ax≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0答案：(0，1)
9．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝.
解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2>0且2≠1，故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0<≤9，所以函数y＝的值域为(0，9]．
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．
解：(1)因为函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，所以a2－1＝a＝.
(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)，函数为减函数，当x＝0时，函数取最大值2，故f(x)的值域是(0，2]，
所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)的值域是(1，3]．
[B　能力提升]
11．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)
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"../../../../JTA7.TIF"
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解析：选C.由于012．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)
A．f(－2)＞f(－1)
B．f(－1)＞f(－2)
C．f(－2)＞f(2)
D．f(－4)＞f(3)
解析：选AD.由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)＞f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)＞f(3)，所以AD正确．
13．(一题两空)设函数f(x)＝，a是不为零的常数．
(1)若f(3)＝，则使f(x)≥4成立的x的取值范围为________；
(2)当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值是16，则a的值为________．
解析：(1)由f(3)＝得a＝3，
所以不等式f(x)≥4可化为23x－10≥22，
由此可得3x－10≥2，所以x≥4，
所以x的取值范围是[4，＋∞)．
(2)当a＞0时，f(x)＝＝2ax－10是增函数，则当x∈[－1，2]时，f(x)max＝f(2)＝22a－10＝16，所以a＝7；
当a＜0时，f(x)＝＝2ax－10是减函数，则当x∈[－1，2]时，f(x)max＝f(－1)＝2－a－10＝16，所以a＝－14.
综上，a＝－14或a＝7.
答案：(1)[4，＋∞)　(2)7或－14
14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．
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"../../../../PA4.TIF"
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解：(1)因为f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，
所以解得a＝，b＝－3.
(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0，1)，
因为f(0)＝1＋b<0，即b<－1，所以b的取值范围为(－∞，－1)．　
(3)由题图①可知y＝|f(x)|的图象如图所示．由图可知使|f(x)|＝m有且仅有一个实数解的m的取值范围为m＝0或m≥3.
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"../../../../PA5.TIF"
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[C　拓展探究]
15．设f(x)＝3x，g(x)＝.
(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
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"../../../../JTA6.TIF"
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(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
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