1.4.3.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第三节 对数 第一课时 对数的概念

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教材考点
学习目标
核心素养
对数
了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化
数学抽象、数学运算
对数的基本性质
理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值
数学运算
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问题导学
预习教材P122－P123，并思考以下问题：
1．对数的概念是什么？
2．对数式中底数和真数分别有什么限制？
3．什么是常用对数和自然对数？
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
■微思考
(1)式子logaN中，底数a的范围是什么？
提示：a＞0且a≠1.
(2)对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
2．对数式与指数式的关系
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"../../../../BD13.TIF"
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MERGEFORMAT
3．常用对数与自然对数
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"../../../../BD14.TIF"
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4．对数的基本性质
(1)负数和0没有对数．
(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)．
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
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"../../../../自我检测LLL.TIF"
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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数log39和log93的意义一样．(　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a　　　　　　　
B．logaM＝2
C．loga2＝M　
D．log2a＝M
答案：B
3．把对数式loga49＝2写成指数式为(　　)
A．a49＝2
B．2a＝49
C．492＝a
D．a2＝49
答案：D
4．log3＝0，则x＝________．
答案：3
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
探究点1　指数式与对数式的互化
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
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"../../../../例1LLL.TIF"
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　将下列指数式与对数式互化：
(1)ea＝16;
(2)64－＝；
(3)log39＝2;
(4)logxy＝z(x＞0且x≠1，y＞0)．
【解】　(1)loge16＝a，即ln
16＝a.
(2)log64＝－.
(3)32＝9.
(4)xz＝y.
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"../../../../CK6.TIF"
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MERGEFORMAT
　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
　将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4;
(2)log27＝－3；
(3)43＝64;
(4)＝16.
解：(1)由log216＝4可得24＝16.
(2)由log27＝－3可得＝27.
(3)由43＝64可得log464＝3.
(4)由＝16可得log16＝－2.
探究点2　利用对数式与指数式的关系求值
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
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"../../../../例2LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
　求下列各式中x的值：
(1)log27x＝－；
(2)logx16＝－4；
(3)lg
＝x;
(4)－ln
e－3＝x.
【解】　(1)因为log27x＝－，
所以x＝27＝(33)
＝3－2＝.
(2)因为logx16＝－4，
所以x－4＝16，
即x－4＝24.
所以＝24，
所以＝2，即x＝.
(3)因为lg
＝x，
所以10x＝10－3，
所以x＝－3.
(4)因为－ln
e－3＝x，
所以－x＝ln
e－3，
即e－x＝e－3，
所以x＝3.
求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN＝m.
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N.
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
　求下列各式的值：
(1)log525；(2)log2.
解：(1)设x＝log525，则5x＝25＝52，
所以x＝2，即log525＝2.
(2)设x＝log2，则2x＝＝2－4，所以x＝－4，
即log2＝－4.
探究点3　利用对数的性质求值
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
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"../../../../例3LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
　求下列各式中x的值：
(1)log3(lg
x)＝1；
(2)log3[log4(log5x)]＝0.
【解】　(1)因为log3(lg
x)＝1，
所以lg
x＝31＝3，
所以x＝103＝1
000.
(2)由log3[log4(log5x)]＝0可得
log4(log5x)＝1，
故log5x＝4，所以x＝54＝625.
利用对数的性质求值的方法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
　求下列各式中的x的值：
(1)log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；
(2)log2[log3(log4x)]＝0.
解：(1)由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1得
解得x＝－2.
(2)由log2[log3(log4x)]＝0，
可得log3(log4x)＝1，
故log4x＝3，
所以x＝43＝64.
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫做常用对数
D．以e为底的对数叫做自然对数
解析：选ACD.B不正确，只有a＞0且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．若loga2b＝c则(　　)
A．a2b＝c　　　　　　　　　
B．a2c＝b
C．bc＝2a
D．c2a＝b
解析：选B.loga2b＝c?(a2)c＝b?a2c＝b.
3．在b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)∪(5，＋∞)
B．(2，5)
C．(2，3)∪(3，5)
D．(3，4)
解析：选C.由对数的定义知解得2＜a＜3或3＜a＜5.
4．求下列各式中x的值：
(1)x＝log4；
(2)x＝log9.
解：(1)由已知得＝4，
所以2－＝22，－＝2，
解得x＝－4.
(2)由已知得9x＝，即32x＝3.
所以2x＝，x＝.
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
[A　基础达标]
1．2－3＝化为对数式为(　　)
A．log2＝－3　　　　　　
B．log(－3)＝2
C．log2＝－3
D．log2(－3)＝
答案：C
2．log3等于(　　)
A．4
B．－4
C.
D．－
解析：选B.因为3－4＝，所以log3＝－4.
3．对数式M＝log(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，5)
B．(3，5)
C．(3，＋∞)
D．(3，4)∪(4，5)
解析：选D.由题意得
解得3所以a的取值范围是(3，4)∪(4，5)．
4．已知log2x＝3，则x等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D.因为log2x＝3，
所以x＝23＝8.
所以x＝8＝＝.
故选D.
5．已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n等于(　　)
A．3
B.
C．9
D.
解析：选D.由已知得am＝，an＝3.
所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝.故选D.
6．若log2＝1，则x＝________．
解析：因为log2＝1，所以＝2.
即2x－5＝6.
解得x＝.
答案：
7．已知f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为________．
解析：由题意得①或②
解①得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去，
解②得x＝3，
符合x＞1.
所以x＝3.
答案：3
8．(2020·淮安高一检测)已知4a＝2，lg
x＝a，则x＝________．
解析：因为4a＝2，所以a＝.因为lg
x＝a，所以x＝10a＝.
答案：
9．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
(1)log2x＝－；
(2)logx3＝－.
解：(1)因为log2x＝－，所以x＝2＝＝.
(2)因为logx3＝－，所以x＝3，
即x＝3－3＝.
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解：因为logx＝m，所以＝x，x2＝.
因为logy＝m＋2，所以＝y，y＝.
所以＝
＝＝＝16.
[B　能力提升]
11．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有(　　)
A．e0＝1与ln
1＝0
B．log39＝2与9＝3
C．8＝与log8＝－
D．log77＝1与71＝7
解析：选ACD.log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误，A，C，D正确．
12．若m>0，m＝，则logm等于(　　)
A．2
B．3
C．4
D．6
解析：选B.因为m＝，m>0，所以m＝＝，
logm＝log＝3.
13．(一题两空)已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.则x＋y＝________，·y＝________．
解析：因为log2(log3(log4x))＝0，
所以log3(log4x)＝1，
所以log4x＝3，所以x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，
所以y＝24＝16.
所以x＋y＝64＋16＝80，
·y＝×16＝8×8＝64.
答案：80　64
14．已知logab＝logba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝.
证明：设logab＝logba＝k，
则b＝ak，a＝bk，所以b＝(bk)k＝bk2，
因为b>0，且b≠1，所以k2＝1，
即k＝±1.当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.所以a＝b或a＝，命题得证．
[C　拓展探究]
15．(1)计算23＋log23＋32－log39＝________．
(2)已知logx27＝31＋log32，则x＝________．
解析：(1)23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋＝8×3＋＝25.
(2)logx27＝31＋log32＝3×3log32＝3×2＝6.
所以x6＝27，所以x6＝33，又x>0，所以x＝.
答案：(1)25　(2)
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