1.4.2.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第二节 指数函数 第二课时 指数函数及其性质的应用

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INCLUDEPICTURE"导学聚焦LLL.TIF"
教材考点
学习目标
核心素养
比较大小
能利用指数函数的单调性比较与指数有关的大小问题
逻辑推理、数据分析
指数方程与指数不等式
能借助指数函数的单调性求解指数方程与指数不等式问题
逻辑推理、数学运算
指数型函数的单调性
会求与指数函数有关的复合型函数的单调性
逻辑推理
指数函数的实际应用
会解决与指数函数有关的实际问题
数学建模
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
探究点1　利用指数函数的单调性比较大小
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"../../../../例1LLL.TIF"
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　比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.70.2和0.92.1.
【解】　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5＞1，
所以函数y＝1.5x在R上是增函数，
因为2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2.
(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为0＜0.6＜1，
所以函数y＝0.6x在R上是减函数，
因为－1.2＞－1.5，所以0.6－1.2＜0.6－1.5.
(3)由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1，
所以1.70.2＞0.92.1.
比较幂值大小的三种类型及处理方法
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"../../../../BD11.TIF"
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INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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　比较下列几组值的大小：
(1)和(0.4)
；
(2)(－2.5)和(－2.5).
解：(1)由于(0.4)
＝.
因为0<<1，－>－，
所以<(0.4)
.
(2)由于(－2.5)＝2.5，(－2.5)＝2.5.
因为2.5>1，>，所以2.5>2.5，
即(－2.5)>(－2.5).
探究点2　解简单的指数方程与指数不等式
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"../../../../例2LLL.TIF"
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　求满足下列条件的x的取值范围．
(1)3x－1>9x；
(2)a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)．
【解】　(1)因为3x－1>9x，所以3x－1>32x，
又y＝3x在定义域R上是增函数，
所以x－1>2x，所以x<－1.即x的取值范围是(－∞，－1)．
(2)当a>1时，因为a－5x>ax＋7，所以－5x>x＋7，解得x<－；
当0ax＋7，所以－5x－.
综上所述，当a>1时，x的取值范围是；当0(1)指数方程的类型可分为：
①形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程化为f(x)＝g(x)求解；　　
②形如a2x＋b·ax＋c＝0(a>0，且a≠1)的方程，用换元法求解．
(2)指数不等式的类型为af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)．
①当a>1时，f(x)>g(x)；
②当0含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围．
解：因为a2＋a＋2＝＋＞1，
所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数．
所以x＞1－x，
解得x＞.
所以x的取值范围是.
2．解方程4x＋2x－6＝0.
解：设t＝2x(t＞0)，
则原方程可化为t2＋t－6＝0.
即(t＋3)(t－2)＝0.
解得t＝－3或t＝2.
又因为t＝2x＞0，所以t＝2，
即2x＝2＝21，
解得x＝1.
所以方程4x＋2x－6＝0的解为x＝1.
探究点3　指数型函数的单调性
　判断f(x)＝eq
\s\up12(x2－2x)的单调性，并求其值域．
【解】　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又因为y＝在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以f(x)＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以y＝，u∈[－1，＋∞)，
所以0<≤＝3，
所以原函数的值域为(0，3]．
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../互动探究LLL.TIF"
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1．(变条件)本例中函数f(x)变为“f(x)＝”，试讨论f(x)的单调性．
解：函数f(x)的定义域为R.
令t＝－x2＋2x，
则y＝.
因为y＝在(－∞，＋∞)上是减函数，而t＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，
所以f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
2．(变条件)本例中“x∈R”变为“x∈[－1，2]”，判断f(x)的单调性，并求其值域．
解：由本例解析知，又x∈[－1，2]，所以f(x)＝(x∈[－1，2])在[－1，1]上是增函数，在(1，2]上是减函数．
因为u＝x2－2x(x∈[－1，2])的最小值、最大值分别为umin＝－1，umax＝3，所以f(x)的最大值、最小值分别为f(1)＝＝3，f(－1)＝＝.
所以函数f(x)的值域为.
函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．函数y＝2的单调增区间为________．
解析：由x－1≥0，得函数的定义域为[1，＋∞)．
令u＝x－1(x≥1)，
则函数u＝x－1(x≥1)为增函数，
故函数y＝2的单调增区间为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
2．(一题两空)函数y＝的单调递减区间是________；单调递增区间是________．
解析：y＝＝
所以它的单调递减区间为[1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
答案：[1，＋∞)　(－∞，1)
探究点4　指数函数的实际应用
INCLUDEPICTURE"例4LLL.TIF"
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"../../../../例4LLL.TIF"
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　某林区某年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的解析式，并写出此函数的定义域．
【解】　现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)万立方米；
经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2万立方米；
…
经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．
故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N
.
解决指数函数应用题的步骤
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的解析式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为b，2018年该市生活垃圾量为a吨，由此可以预测2028年生活垃圾量为(　　)
A．a(1＋10b)吨　　　　　　　
B．a(1＋9b)吨
C．a(1＋b)10吨
D．a(1＋b)9吨
解析：选C.由2018年到2028年共经历了10年，故可以预测2028年生活垃圾量为a(1＋b)10吨．
2．(一题两空)为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
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"../../../../PA6.TIF"
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(1)从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)的函数解析式为________；
(2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
解析：(1)从图中可以看出：当t＝0.1时，y＝1，即可求得方程＝1中的a＝0.1，所以y＝.
(2)由题设y≤0.25，则≤0.25，即≤，故2t≥1.2，所以t≥0.6，
因此从药物释放开始至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
答案：(1)y＝　(2)0.6
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1．下列判断正确的是(　　)
A．2.52.5>2.53　　　　　　
B．0.82<0.83
C．π2<π
D．0.90.3>0.90.5
解析：选D.因为y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3，所以0.90.3>0.90.5.
2．若函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1)　　　　　　　　　
B．(1，＋∞)
C.
D．(－∞，1)
解析：选C.由已知，得0<2a－1<1，得3．(多选)若f(x)＝3x＋1，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在[－1，1]上单调递增
B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象过点(0，1)
D．f(x)的值域为[1，＋∞)
解析：选AB.f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选AB.
4．函数y＝的单调递增区间为________．
解析：由已知得，f(x)的定义域为R.设u＝1－x，
则y＝.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数．
答案：(－∞，＋∞)
5．已知集合M＝，则当x∈M时，求函数y＝2x的值域．
解：由3x＋1≤，
得3x＋1≤34－2x.
因为函数y＝3x在定义域R上是增函数，
所以x＋1≤4－2x，解得x≤1.
因为函数y＝2x是增函数，
所以当x≤1时，2x≤21＝2，
即y＝2x≤2.
又因为指数函数y＝2x>0，
所以0所以函数y＝2x的值域是(0，2]．
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1．不等式52x>5x－1的解集是(　　)
A．(－1，＋∞)　　　　　　
B.
C．(－∞，－1)
D．(－∞，－2)
解析：选A.由52x>5x－1得2x>x－1，
解得x>－1.故选A.
2．指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上是减函数，则函数g(x)＝(a－2)x3在R上的单调性为(　　)
A．单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增
C．单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减
解析：选C.因为指数函数f(x)＝ax在R上是减函数，所以03．已知a＝，b＝π0，c＝30.9，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cB．cC．bD．b解析：选D.b＝π0＝1.又30<30.9<31，则13，即有a>c>b，即b4．函数f(x)＝是(　　)
A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数
解析：选B.因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，
又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，
故f(x)＝为增函数．故选B.
5．函数y＝的值域是(　　)
A．(－2，－1)
B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－2，－1]
解析：选D.当x≤1时，y＝3x－1－2单调递增，值域为(－2，－1]；当x>1时，y＝31－x－2＝－2单调递减，值域为(－2，－1)．综上函数y值域为(－2，－1]．
6．已知指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝________．
解析：由指数函数定义知，b＝1.故a＋a2＝6.
又因为a>0，所以a＝2.
答案：2
7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
答案：19
8．已知函数f(x)＝2|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：由函数f(x)＝2|x－a|＝可得，当x≥a时，函数f(x)为增函数，而已知函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
9．已知－1≤x≤1，求函数y＝4·3x－2·9x的最大值．
解：因为y＝4·3x－2·9x＝4·3x－2·(3x)2，
令t＝3x，则y＝4t－2t2＝－2(t－1)2＋2，
因为－1≤x≤1，
所以≤3x≤3，即t∈.
又因为对称轴t＝1∈，
所以当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.
10．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
将点代入得＝a2.
解得a＝.
故f(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝，显然f(x)在R上是减函数，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1即x的取值范围为(－1，1)．
[B　能力提升]
11．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(0，1)
解析：选D.因为f(x)＝a－x＝在R上为单调函数，又f(－2)>f(－3)，所以f(x)为增函数，故有>1，所以012．(多选)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　)
A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)
B．f(－2)＜f(3)
C．f(x)－g(x)＝π－x
D．f(2x)＝2f(x)g(x)
解析：选ABD.A正确，f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，
所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；
B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)＜f(3)；
C不正确，f(x)－g(x)＝－＝＝－π－x；
D正确，f(2x)＝＝2··＝2f(x)g(x)．
13．若－1解析：因为－11，0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b答案：b14．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64
ppm(ppm为浓度单位，1
ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32
ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数)．　
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5
ppm为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？
解：(1)由题意可得
解得
故c，m的值分别为128，.
(2)由(1)知y＝128×，令128×≤，即≤，解得t≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．
[C　拓展探究]
15．定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．
若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
解：法一：f(x)＝2x＋m，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0，
因为f(x)的定义域为[－1，1]，
所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1，1]内有解，
令t＝2x，则t∈，故－2m＝t＋，
设g(t)＝t＋，则在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t∈时，g(t)∈，即－2m∈，
所以m∈.
法二：当f(x)＝2x＋m时，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0，
令t＝2x，则t∈，故关于t的二次方程t2＋2mt＋1＝0在上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”，设f(t)＝t2＋2mt＋1.
①当方程t2＋2mt＋1＝0在上只有一个解或有两个相同的解时，
需满足或f·f(2)≤0，　
解得m＝－1或m＝－，
当m＝－时，方程在区间上有两个解，不符合，故m＝－1.
②当方程t2＋2mt＋1＝0在上有两个不相等实根时，需满足?
故－≤m＜－1，
综上，m∈.
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