1.4.3.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第三节 对数 第二课时 对数的运算

中小学教育资源及组卷应用平台
教材考点
学习目标
核心素养
对数的运算性质
掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算
数学运算
换底公式
了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数
数学运算
对数运算的综合问题
能灵活运用对数的基本性质、对数的运算性质及换底公式解决对数运算问题
数学运算
问题导学
预习教材P123－P126，并思考以下问题：
1．对数具有哪三条运算性质？
2．换底公式是如何表述的？
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN．
(2)loga＝logaM－logaN．
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
■微思考1
对数运算性质的适用条件是什么？
提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
2．换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且
c≠1；b>0)．
■微思考2
(1)根据换底公式，你认为logac·logca与logab·logbc·logca各为何值？
提示：logac·logca＝1，logab·logbc·logca＝1.
(2)你能利用换底公式推导出logambn＝logab吗？
提示：logambn＝＝
＝·＝·logab.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　)
(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．已知a>0且a≠1，则loga2＋loga＝(　　)
A．0　　　　　　　　　　　
B.
C．1
D．2
答案：A
3．计算log510－log52等于(　　)
A．log58
B．lg
5
C．1
D．2
答案：C
4．(1)lg
＝__________；
(2)已知ln
a＝0.2，则ln＝__________．
答案：(1)　(2)0.8
5．log35·log56·log69＝________．
解析：log35·log56·log69＝··＝＝＝2.
答案：2
探究点1　对数运算性质的应用
　计算下列各式：
(1)log5；
(2)log2(32×42)；
(3)log535－2log5＋log57－log5；
(4)lg
25＋lg
8＋lg
5·lg
20＋(lg
2)2.
【解】　(1)原式＝log525＝log552＝.
(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
(4)原式＝2lg
5＋2lg
2＋(1－lg
2)(1＋lg
2)＋(lg
2)2＝2(lg
5＋lg
2)＋1－(lg
2)2＋(lg
2)2＝2＋1＝3.
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．　
　计算下列各式的值：
(1)lg；
(2)log345－log35；
(3)(lg
5)2＋2lg
2－(lg
2)2；
(4).
解：(1)原式＝lg
100＝lg
100＝×2＝.
(2)原式＝log3＝log39＝log332＝2.
(3)原式＝(lg
5＋lg
2)(lg
5－lg
2)＋2lg
2＝lg
10(lg
5－lg
2)＋2lg
2＝lg
5－lg
2＋2lg
2＝lg
5＋lg
2＝1.
(4)原式＝
＝＝.
探究点2　换底公式的应用
　计算：(1)log29·log34；(2).
【解】　(1)由换底公式可得，
log29·log34＝·＝·＝4.
(2)原式＝×＝log×log9
＝×＝×＝－.
利用换底公式求值的思想与注意点
　
1．log916·log881的值为(　　)
A．18　　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选C.原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.
2.＋＝________．
解析：＋＝＋＝＋＝＋＝＝log310.
答案：log310
3．计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
解：法一：原式
＝(log52＋＋)
＝(log52＋＋)
＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.
法二：原式
＝(＋＋)
＝(＋＋)
＝＝13.
探究点3　对数运算中的综合问题
　已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
【解】　因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝＝.
1．(变问法)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)?
解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.
2．(变条件)若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，又如何求解呢？
解：因为9b＝5，所以log95＝b.
所以log36
45＝＝
＝＝.
解对数综合应用问题的3种方法
(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．
(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．
(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．　
1．已知log142＝a，用a表示log7.
解：因为log142＝a，所以log214＝.所以1＋log27＝.所以log27＝－1.由对数换底公式，得log27＝eq
\f(log7,log2)＝eq
\f(log7,2).
所以log7＝2log27＝2＝.
2．已知2x＝3y＝a，若＋＝2，求a的值．
解：因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，
所以＋＝＋
＝loga2＋loga3＝loga6＝2，
所以a2＝6，解得a＝±.
又因为a>0，所以a＝.
1．log242＋log243＋log244＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　　
B．2
C．24
D.
解析：选A.log242＋log243＋log244
＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
2．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N
，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)＝logax；
(5)＝loga.
其中正确的有(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：选A.根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．
3．计算log2·log3·log5＝(　　)
A．8
B．6
C．－8
D．－6
解析：选C.log2·log3·log5＝log23－2·log35－2·log52－2＝－8log23·log35·log52＝－8.
4．已知a2＝(a>0)，则loga＝________．
解析：由a2＝(a>0)得a＝，
所以log＝log＝2.
答案：2
5．计算下列各式的值．
(1)3log72－log79＋2log7；
(2).
解：(1)原式＝log723－log79＋log7＝log7＋log7＝log7＝log71＝0.
(2)原式＝＝＝1.
[A　基础达标]
1．化简log612－2log6的结果为(　　)
A．6　　　　　　　　　
B．12
C．log6
D.
解析：选C.原式＝log6－log62
＝log6＝log6.
2．若lg
x－lg
y＝t，则lg－lg＝(　　)
A．3t
B.t
C．t
D.
解析：选A.lg－lg＝3lg
－3lg
＝3lg
＝3(lg
x－lg
y)＝3t.
3．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为(　　)
A.
B．9
C．18
D．27
解析：选B.由题意得··＝log416＝log442＝2，所以＝2，
即lg
m＝2lg
3＝lg
9.
所以m＝9，选B.
4．如果lg
x＝lg
a＋3lg
b－5lg
c，那么(　　)
A．x＝
B．x＝
C．x＝a＋3b－5c
D．x＝a＋b3－c3
解析：选A.因为lg
x＝lg
a＋3lg
b－5lg
c＝lg
a＋lg
b3－lg
c5＝lg，所以x＝.
5．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于(　　)
A．3
B．8
C．4
D．log48
解析：选A.因为2x＝3，所以x＝log23.
又log4＝y，
所以x＋2y＝log23＋2log4
＝log23＋2(log48－log43)
＝log23＋2
＝log23＋3－log23＝3.故选A.
6．log48－log3＝________．
解析：log48＝log2223＝，
log3＝－，
所以原式＝－＝2.
答案：2
7．已知m＞0，且10x＝lg(10m)＋lg，则x＝________．
解析：lg(10m)＋lg＝lg
10＋lg
m＋lg＝1，　
所以10x＝1＝100，所以x＝0.
答案：0
8．若lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，则＝__________．
解析：因为lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x＞0，y＞0且x－2y＞0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
答案：4
9．计算下列各式的值：
(1)log3(81)；(2)；
(3)log6－2log63＋log627.
解：(1)原式＝log381＋log3＝log334＋log33＝4＋＝.
(2)原式＝＝
＝＝2.
(3)法一：原式＝－log6(22×3)－2log63＋log633
＝－(log622＋log63)－2log63＋log63
＝－(2log62＋log63)－2log63＋log63
＝－2(log62＋log63)
＝－2log6(2×3)＝－2.
法二：原式＝log6－log632＋log627
＝log6＝log6＝log66－2＝－2.
10．计算下列各式的值：
(1)log535＋2log－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2
＝log5＋log2＝log553－1＝2.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64＝
÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.
[B　能力提升]
11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(　　)
(参考数据：lg
3≈0.48)
A．1033
B．1053
C．1073
D．1093
解析：选D.因为lg
3361＝361×lg
3≈361×0.48≈173，所以M≈10173，所以≈＝1093，故选D.
12．(多选)实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系不正确的有(　　)
A.＋＝1
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝
解析：选BCD.a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg
2＋lg
5＝1，故A正确．
＋＝＋＝lg
4＋lg
5＝lg
20≠2，故B不正确．
＋＝＋＝lg
2＋lg
25＝lg
50，故C，D不正确．故选BCD.
13．(一题两空)设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2.
(1)log2＋log2＝________．
(2)若log4＝1，log8(a＋b－c)＝，则＝________．
解析：(1)原式＝log2
＝log2
＝log2
＝log22
＝1.
(2)由log4＝1，得－3a＋b＋c＝0，①
由log8(a＋b－c)＝，得a＋b－c＝4，②
由题设知a2＋b2＝c2，③
由①②③及a，b，c为正数，可得a＝6，b＝8，c＝10.
所以＝＝3.
答案：(1)1　(2)3
14．若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0，
设t＝lg
x，则原方程可化为2t2－4t＋1＝0.
所以t1＋t2＝2，t1t2＝.由已知a，b是原方程的两个根，
则t1＝lg
a，t2＝lg
b，即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝，
所以lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)
＝
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12.
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
[C　拓展探究]
15．已知2y·logy4－2y－1＝0,
·log5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝？
解：由2y·logy4－2y－1＝0得
2y＝0，所以logy4＝，即y＝16.
由·log5x＝－1得＝－，则＝－logx5>0.
(logx5＋1)＝(－logx5)2，整理得2(logx5)2－logx5－1＝0，解得logx5＝－(logx5＝1舍去)，所以＝25.
所以P＝＝＝3，
即存在一个正数P＝3，使得P＝成立．
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)