1.4.4.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第四节 对数函数 第一课时 对数函数的概念、图象及性质

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教材考点
学习目标
核心素养
对数函数的概念
理解对数函数的概念，会判断对数函数
数学抽象
对数函数的图象
初步掌握对数函数的图象和性质
直观想象
对数函数的定义域问题
能利用对数函数的性质解决与之有关的定义域问题
数学运算
问题导学
预习教材P130－P135，并思考以下问题：
1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
2．对数函数的图象是什么形状？你能画出y＝log2x与y＝logx的图象吗？
3．通过对数函数的图象，你能观察到函数的哪些性质？
1．对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x
是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象及性质
a的范围
0＜a＜1
a＞1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数　
在(0，＋∞)上是增函数　
■微思考1
(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与y＝logx(a>0且a≠1)有什么关系？
提示：在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图象与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．
(2)对数函数y＝loga
x图象的“升降”与底数a有什么关系？
提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当03．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．　
■微思考2
函数y＝logax与y＝ax的图象有什么关系？
提示：函数y＝logax与y＝ax的图象关于直线y＝x对称．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝log2x2与y＝logx3都是对数函数．(　　)
(2)对数函数的定义域、值域都是R.(　　)
(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　)
(4)函数y＝log2x与y＝互为反函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝ln
x　　　　　　　　
B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe
D．y＝logxx
答案：A
3．函数f(x)＝lg(3x)－的定义域是(　　)
A．(0，2)
B．[0，2]
C．[0，2)
D．(0，2]
答案：D
4．对数函数f(x)＝logax的图象过点(3，1)，则f(9)的值为________．
答案：2
5．若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．
答案：(－∞，0)
探究点1　对数函数的概念
　(1)已知对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)·logmx，则m＝________．
(2)已知对数函数f(x)的图象过点.
①求f(x)的解析式；
②解方程f(x)＝2.
【解】　(1)由对数函数的定义可得m2－3m＋3＝1，
即m2－3m＋2＝0，也就是(m－1)(m－2)＝0，解得m＝1或m＝2.
又因为m>0，且m≠1，所以m＝2.
(2)①由题意设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由函数图象过点可得f(4)＝，
即loga4＝，
所以4＝a，解得a＝16，
故f(x)＝log16x.
②方程f(x)＝2，即log16x＝2，
所以x＝162＝256.
判断一个函数是对数函数的方法
[注意]　对数函数解析式中只有一个参数a，用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出．　
1．若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________．
解析：由题意可知解得a＝4.
答案：4
2．点A(8，－3)和B(n，2)在同一个对数函数图象上，则n＝________．
解析：设对数函数为f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．
则由题意可得f(8)＝－3，即loga8＝－3，
所以a－3＝8，即a＝8－＝.
所以f(x)＝logx，故由B(n，2)在函数图象上可得f(n)＝logn＝2，
所以n＝＝.
答案：
探究点2　与对数函数有关的定义域问题
　求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝log2(16－4x)；
(3)y＝log(x－1)(3－x)．
【解】　(1)要使函数式有意义，需解得x>1，且x≠2.
所以函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}．
(2)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.
所以函数y＝log2(16－4x)的定义域是{x|x<2}．
(3)要使函数式有意义，需解得1所以函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则
①分母不能为0；
②根指数为偶数时，被开方数非负；
③对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
(2)求函数定义域的步骤
①列出使函数有意义的不等式(组)；
②化简并解出自变量的取值范围；
③确定函数的定义域．　
　求下列函数的定义域：
(1)y＝lg(x＋1)＋；
(2)y＝logx－2(5－x)．
解：(1)要使函数式有意义，需所以
所以－1(2)要使函数式有意义，需所以
所以2所以该函数的定义域为(2，3)∪(3，5)．
探究点3　对数型函数的图象
角度一　对数型函数图象的辨析
　已知a＞0，且a≠1，则函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是(　　)
【解析】　当a＞1时，函数y＝logax为增函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标大于1；当0＜a＜1时，函数y＝logax为减函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选C.
【答案】　C
角度二　作对数型函数的图象
　画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调性：
(1)y＝log3(x－2)；
(2)y＝|logx|.
【解】　(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．
(2)y＝|logx|＝其图象如图②.
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
角度三　对数型函数图象的数据分析
　如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0＜a＜b＜1　　　　　
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
【解析】　作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
【答案】　B
有关对数型函数图象问题的应用技巧
(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．　
1．在同一坐标系中，函数y＝2－x与y＝log2x的图象是(　　)
解析：选A.函数y＝2－x＝过定点(0，1)，单调递减，函数y＝log2x过定点(1，0)，单调递增，故选A.
2．已知函数y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)的图象如图所示．
(1)求实数a与b的值；
(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图象有何关系？
解：(1)由图象可知，函数的图象过点(－3，0)与点(0，2)，所以可得0＝loga(－3＋b)与2＝logab，解得a＝2，b＝4.
(2)函数y＝loga(x＋4)的图象可以由y＝logax的图象向左平移4个单位得到．
1．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是(　　)
A．(0，5)　　　B．(1，4)　　　C．(2，4)　　　D．(2，5)
解析：选C.令x－1＝1，即x＝2.则f(x)＝4.即函数图象恒过定点Q(2，4)．故选C.
2．函数y＝log2|x|的图象大致是(　　)
解析：选A.函数y＝log2|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，结合图象可知A正确．
3．点(2，4)在函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象上，则f＝________．
解析：因为点(2，4)在函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)的反函数的图象上，所以点(4，2)在函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)的图象上，因此loga4＝2，即4＝a2，又a>0，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，故f＝log2＝－1.
答案：－1
4．若函数y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将点(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，所以函数的定义域为{x|x>－2}．
[A　基础达标]
1．下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　　　
B．y＝()2
C．y＝log22x
D．y＝2log2x
解析：选C.y＝＝|x|，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，y＝log22x＝x(x∈R)，y＝2log2x＝x(x>0)，故与函数y＝x是同一个函数的是y＝log22x.故选C.
2．y＝3x与y＝log3x的图象关于(　　)
A．x轴对称
B．直线y＝x对称
C．原点对称
D．y轴对称
解析：选B.函数y＝3x与y＝log3x互为反函数，故其图象关于直线y＝x对称．
3．函数f(x)＝ln＋的定义域为(　　)
A.
B．(－2，＋∞)
C.∪
D.
解析：选C.对于函数f(x)＝ln＋，有
解得x>－2且x≠.
故定义域为∪.
4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)
解析：选C.由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg
x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
5．函数y＝loga(－x)(a>0且a≠1)与函数y＝ax(a>0且a≠1)在同一直角坐标系内的图象可能是(　　)
解析：选A.当01时，y＝ax和y＝logax均为增函数，而y＝loga(－x)的图象和y＝logax的图象关于y轴对称，结合选项可得A正确．
6．函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．　
解析：依题意，当x＝0时，y＝loga(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．
答案：(0，－2)
7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，
则即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则
无解．
综上，a的取值范围是(1，2)．
答案：(1，2)
8．已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________．
解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)＝f，故结合图象可知02.
答案：∪(2，＋∞)
9．已知函数f(x)＝log3x.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)由图象观察当x>1时，函数的值域．
解：(1)函数f(x)的图象如图：
(2)当x>1时，f(x)>0.故当x>1时，函数的值域为(0，＋∞)．　
10．已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1)．　
(1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明．
解：(1)要使函数y＝f(x)－g(x)有意义，
必须有解得－＜x＜.
所以函数y＝f(x)－g(x)的定义域是
.
(2)由(1)知函数y＝f(x)－g(x)的定义域关于原点对称，
所以，f(－x)－g(－x)
＝loga(3－2x)－loga(3＋2x)
＝－[loga(3＋2x)－loga(3－2x)]
＝－[f(x)－g(x)]．
所以函数y＝f(x)－g(x)是奇函数．
[B　能力提升]
11．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为(　　)
A．0
B．10
C．1
D.
解析：选C.由已知，得a－lg
x≥0的解集为(0，10]，由a－lg
x≥0，得lg
x≤a，又当0x≤1，所以a＝1，故选C.
12．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　　)
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
解析：选AD.由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．
设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确．
由上述分析知f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；
又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，
所以C错误，故选AD.
13．(一题两空)求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值为________，最小值为________．
解析：因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，即－1≥logx≥－2.
设t＝logx，
则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
答案：10　
14．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出f(x)的大致图象．
解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝lg(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－lg(1－x)，
所以f(x)的解析式为
f(x)＝
所以f(x)的大致图象如图所示：
[C　拓展探究]
15．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，g(x)＝(f(x))2＋f(x2)．　
(1)求g(x)的定义域；
(2)求g(x)的最大值以及g(x)取得最大值时x的值．
解：(1)因为f(x)的定义域为[1，9]，
所以要使函数g(x)＝(f(x))2＋f(x2)有意义，必须满足所以1≤x≤3，所以g(x)的定义域为[1，3]．
(2)因为f(x)＝2＋log3x，
所以g(x)＝(f(x))2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
因为g(x)的定义域为[1，3]，
所以0≤log3x≤1.
所以当log3x＝1，即x＝3时，函数g(x)取得最大值．
所以g(x)max＝g(3)＝13.
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