1.4.4.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第四节 对数函数 第二课时 对数函数及其性质的应用

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教材考点
学习目标
核心素养
比较对数值的大小
利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小
逻辑推理
解对数不等式
会利用对数函数的单调性求解不等式
逻辑推理、数学运算
对数型函数的单调性
会求与对数函数有关的复合型函数的单调性
逻辑推理、数学运算
与对数函数有关的值域与最值问题
会利用对数函数的单调性及换元法求解与对数函数有关的值域或最值问题
数学运算
探究点1　比较对数值的大小
　比较下列各组中两个值的大小．
(1)ln
0.3，ln
2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
【解】　(1)因为函数y＝ln
x是增函数，且0.3＜2，
所以ln
0.3＜ln
2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1＜5.2，
所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数．
又3.1＜5.2，
所以loga3.1＞loga5.2.
(3)因为0＞log0.23＞log0.24，
所以＜，
即log30.2＜log40.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1，同理，1＝logππ＞logπ3，即log3π＞logπ3.
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
[注意]　比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．　
1．下列式子中成立的是(　　)
A．log0.44B．1.013.4>1.013.5
C．3.50.3<3.40.3
D．log76解析：选D.因为log0.4x为减函数，故log0.44>log0.46，故A错；因为1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错；由指数函数图象特点知，3.50.3>3.40.3，故C错．
2．已知a＝30.5，b＝log3，c＝log32，则(　　)
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>a>c
解析：选A.因为a＝30.5>1，b＝log3<0，0c>b.
探究点2　解对数不等式
　解下列不等式：
(1)logx＞log(4－x)；
(2)logx＞1；
(3)loga(2x－5)＞loga(x－1)．
【解】　(1)由题意可得
解得0＜x＜2.
所以原不等式的解集为(0，2)．
(2)当x＞1时，logx＞1＝logxx，
解得x＜，此时不等式无解．
当0＜x＜1时，logx＞1＝logxx，
解得x＞，所以＜x＜1.
综上所述，原不等式的解集为.
(3)当a＞1时，原不等式等价于
解得x＞4.
当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得＜x＜4.
综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞4}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为.
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如logaf(x)①当0ab；
②当a>1时，可转化为0[注意]　解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．
1．已知log0.22x解析：因为函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，所以由log0.22x1，即x的取值范围为(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
2．已知loga(3a－1)＞0恒成立，求a的取值范围．
解：由题意知loga(3a－1)>0＝loga1.
当a>1时，y＝logax是增函数，
所以解得a>，
所以a>1；
当0所以解得所以综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
探究点3　对数型函数的单调性
　已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
【解】　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0x2－1，
因此log4(4
x1－1)x2－1)，
即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)在区间上单调递增，又f＝0，f(2)＝log415，
所以f(x)在区间上的值域为[0，log415]．
求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤
(1)求出函数的定义域．
(2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性．
(3)判断出函数的增减性求出单调区间．
[注意]　要注意对底数进行分类讨论．　
　求函数f(x)＝log2(1－2x)的单调区间．
解：因为1－2x＞0，所以x＜.
又设u＝1－2x，
则y＝f(u)是(0，＋∞)上的增函数．
又u＝1－2x，则x∈时，u(x)是减函数，
所以函数f(x)＝log2(1－2x)的单调递减区间是，无单调递增区间．
探究点4　与对数函数有关的值域与最值问题
　已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．
【解】　(1)由题意得解得－1所以f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)
＝loga[－(x－1)2＋4]，－1若0所以loga4＝－2，即a－2＝4，又0若a>1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．
综上可知，a＝.
求对数型函数值域(最值)的方法
对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数．
(2)求f(x)的定义域．
(3)求u的取值范围．
(4)利用y＝logau的单调性求解．
　设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1，3]时，求f(x)的最大值．
解：(1)由
得
所以即
所以a＝4，b＝2.
(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，设t＝2x，因为x∈[1，3]，所以t∈[2，8]．
令u＝4x－2x＝t2－t＝－，所以当t＝8，即x＝3时，u最大，umax＝56，
故f(x)的最大值为log256.
1．函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域为(　　)
A．(3，＋∞)　　　　　　　　
B．(－∞，3)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
解析：选C.因为x≥2，所以log2x≥1，所以y≥3.
2．函数y＝lg|x|是(　　)
A．偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增
B．偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减
C．奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增
D．奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减
解析：选B.易知函数y＝lg|x|是偶函数．当x>0时，y＝lg|x|＝lg
x，所以在区间(0，＋∞)上单调递增．由偶函数的性质知，函数在区间(－∞，0)上单调递减．
3．已知函数f(x)＝logax(0解析：由题意知，f(x)＝logax(0答案：
4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)
的单调增区间是.
答案：
5．已知对数函数f(x)的图象过点(4，2)，试解不等式f(2x－3)>f(x)．
解：设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)>f(x)?log2(2x－3)>log2x??x>3，
所以原不等式的解集为(3，＋∞)．
[A　基础达标]
1．下列各式中错误的是(　　)
A．30.8>30.7　　　　　　　
B．log0.50.4>log0.50.6
C．0.75－0.1<0.750.1
D．lg
1.6>lg
1.4
解析：选C.由指数函数的性质可知，函数y＝0.75x为单调递减函数，又因为－0.1<0.1，所以0.75－0.1>0.750.1.
2．关于函数f(x)＝log的单调性的说法正确的是(　　)
A．在R上是增函数
B．在R上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数
解析：选D.由函数f(x)的解析式知定义域为，设t＝2x－(t>0)，t在上是增函数，y＝logt在(0，＋∞)上是减函数，由复合函数的单调性可知f(x)在上是减函数，故选D.
3．若y＝loga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围为(　　)
A.
B.
C．(1，＋∞)
D.∪(1，＋∞)
解析：选D.因为y＝loga(3a－1)恒为正值，
所以或
解得或a>1.
故选D.
4．若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y＝loga(x2＋2)的最大值为－1，则实数a的值为(　　)
A．2
B.
C．3
D.
解析：选B.因为ax≥1＝a0的解集为{x|x≤0}，所以0又因为函数y＝loga(x2＋2)的最大值为－1，则a＝.
5．(2020·石家庄高一检测)若函数f(x)＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则b－a的最小值为(　　)
A.
B．3
C．2
D.
解析：选A.根据题意，画出函数f(x)的图象，令|log2x|＝2可得x＝或x＝4.
由图象可知，当值域为[0，2]时，定义域的最小区间是，则b－a的最小值为1－＝，故选A.
6．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3>1，解得a>2.
答案：(2，＋∞)
7．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集为________．
解析：由
解得即＜x＜3，故不等式的解集为{x|＜x＜3}．
答案：{x|＜x＜3}
8．已知对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则不等式f(x－1)－f(x＋1)>3的解集为________．
解析：设对数函数f(x)的解析式为f(x)＝logax(a>0，a≠1)，
由对数函数的图象过点(4，－2)可得－2＝loga4，
即a－2＝4，则a＝或a＝－(舍)．
由f(x－1)－f(x＋1)>3可得f(x－1)>3＋f(x＋1)，
即log(x－1)>log＋log
(x＋1)＝log，
所以原不等式等价于
解得1答案：
9．比较下列各组数的大小．
(1)log3.10.5与log3.10.2；
(2)log8与log4；
(3)log56与log65.
解：(1)因为y＝log3.1x在(0，＋∞)上是增函数，所以log3.10.5>log3.10.2.
(2)法一：因为y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，所以log8法二：log8＝－3，log4＝－2，
由－3<－2知log8(3)因为log56>log55＝1，log65log65.
10．求函数y＝log(1－x2)的单调区间，并求函数的最小值．
解：要使y＝log(1－x2)有意义，则1－x2＞0，
所以x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1，1)．
令t＝1－x2，x∈(－1，1)．
当x∈(－1，0]时，x增大，t增大，y＝logt减小，
所以当x∈(－1，0]时，y＝log(1－x2)是减函数；
同理当x∈[0，1)时，y＝log(1－x2)是增函数．
故函数y＝log(1－x2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值ymin＝log(1－02)＝0.
[B　能力提升]
11．已知logmA．nB．mC．1D．1解析：选D.因为0<<1，logmn>1，故选D.
12．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
解析：选ABC.A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；
B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，
解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；
C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，
所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；
D错误，f(x)没有最大值．
13．(一题两空)已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2)．
(1)则函数f(x)的解析式为__________________；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，则x的取值范围为______________．
解析：(1)因为g(9)＝loga9＝2，解得a＝3，所以g(x)＝log3x.
因为函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，所以f(x)＝logx.
(2)因为f(3x－1)>f(－x＋5)，所以log(3x－1)>log(－x＋5)，
则
解得即x的取值范围为.
答案：(1)f(x)＝logx　(2)
14．设a>0且a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
解：设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
当x∈R时，t有最小值2.
所以lg(x2－2x＋3)的最小值为lg
2.
又因为y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，所以0由f(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为.
设u(x)＝3－2x，x∈，
则f(x)＝logau(x)．
因为u(x)＝3－2x在上是减函数，
所以f(x)＝logau(x)在上是增函数．
所以f(x)＝loga(3－2x)的单调增区间为.
[C　拓展探究]
15．已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由题设，3－ax>0对x∈[0，2]恒成立，且a>0，a≠1.设g(x)＝3－ax，
则g(x)在[0，2]上为减函数，
所以g(x)min＝g(2)＝3－2a>0，
所以a<.
所以实数a的取值范围是(0，1)∪.
(2)假设存在这样的实数a，则由题设知f(1)＝1，　
即loga(3－a)＝1，所以a＝.
此时f(x)＝log.
但x＝2时，f(x)＝log0无意义．故这样的实数a不存在．
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