1.4.5.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第五节 函数的应用 第二课时 用二分法求方程的近似解

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教材考点
学习目标
核心素养
二分法的概念
通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法
数学抽象
求方程的近似解
会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值，从而求得方程的近似解
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P144－P146，并思考以下问题：
1．二分法的概念是什么？
2．用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？
1．二分法
条件
(1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断．(2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)<0
方法
不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
■微思考
是否所有函数的零点都可以用二分法求解？用二分法求函数近似零点时，函数应满足什么条件？
提示：并不是所有函数的零点都可以用二分法求解．只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　)
(2)精确度ε就是近似值．(　　)
(3)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)
答案：A
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以选取的初始区间是　(　　)
A．[－2，1]　　　　　　　　　
B．[－1，0]
C．[0，1]
D．[1，2]
答案：A
4．(一题两空)用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln的零点时，第一次经计算f(0)<0，f>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：　f
探究点1　二分法的概念
　(1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
A．f(x)＝3x－1　　　　　　　　
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln
x
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
【解析】　(1)对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0.所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点．
(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2)．
【答案】　(1)C　(2)(1，2)
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可以用二分法求函数零点．
1．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是(　　)
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
解析：选D.由二分法求解函数零点的过程可知，
选项D正确．
2．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A．x1　　　　　　　　　　　
B．x2
C．x3
D．x4
解析：选C.由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a，b]，使得f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈[a，b]时均有f(a)·f(b)≥0，故不可以用二分法求该零点．
探究点2　求方程的近似解
　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．
【解】　令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，
f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，
又f(1)＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，
得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0，1)
0.5
f(0)＜0
f(1)＞0
f(0.5)＜0
(0.5，1)
0.75
f(0.5)＜0
f(1)＞0
f(0.75)＞0
(0.5，0.75)
0.625
f(0.5)＜0
f(0.75)＞0
f(0.625)＜0
(0.625，0.75)
0.687
5
f(0.625)＜0
f(0.75)＞0
f(0.687
5)＜0
由于|0.687
5－0.75|＝0.062
5＜0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解可取为0.687
5.
(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”，结论又如何？
解：在本例的基础上，取区间(0.687
5，0.75)的中点x＝0.718
75，因为f(0.718
75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718
75－0.75|＝0.031
25＜0.05，所以0.718
75可作为方程的一个近似解．
利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．　
　求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)．
解：由于f(－2)＝－1＜0，f(－3)＝4＞0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.062
5
(－2.25，－2)
－2.125
－0.484
4
(－2.25，－2.125)
－2.187
5
－0.214
8
(－2.25，－2.187
5)
－2.218
75
－0.077
1
由于|－2.25－(－2.187
5)|＝0.062
5＜0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.
1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
解析：选B.由二分法的概念及求解过程可知ε越大，零点的精确度越低，ε越小，零点的精确度越高．
2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)
A．(－1，0)　　　　　　　　
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
解析：选C.f(－1)＝－<0，f(0)＝－2<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，f(3)＝5>0，则f(1)·f(2)<0，即初始区间可选(1，2)．
3．在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1，4]　　　　　　　　　
B．[－2，1]
C.
D.
解析：选D.因为第一次所取的区间是[－2，4]，
所以第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，
所以第三次所取的区间可能为，，，.　
4．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0，则(　　)
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
解析：选B.由f(a)f(b)<0，
f(a)f>0可知ff(b)<0，根据零点存在性定理可知f(x)在上有零点．
5．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A．0.6
B．0.75
C．0.7
D．0.8
解析：选C.已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]．
又0.68＝，且f(0.68)＜0，
所以零点在区间[0.68，0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04＜0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C.
[A　基础达标]
1．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是(　　)
A．(2，4)　　　　　　　　　
B．(2，3)
C．(3，4)
D．无法确定
解析：选B.因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，　
所以f(3)·f(4)>0，所以x0∈(2，3)．
2．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是(　　)
A．(1，1.25)
B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)
D．(1.75，2)
解析：选B.由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，易知函数f(x)的图象是连续不断的，根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选B.
3．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：
f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.437
5)≈0.162，f(1.406
25)≈－0.054，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为(　　)
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.437
5
解析：选D.由参考数据知，f(1.406
25)≈－0.054，f(1.437
5)≈0.162，则f(1.406
25)·f(1.437
5)<0，且|1.437
5－1.406
25|＝0.031
25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437
5，故选D.
4．(多选)某同学求函数f(x)＝ln
x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f(2)≈－1.307
f(3)≈1.099
f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512
f(2.625)≈0.215
f(2.562
5)≈0.066
则方程ln
x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为(　　)
A．2.52
B．2.56
C．2.66
D．2.75
解析：选AB.由表格可知方程ln
x＋2x－6＝0的近似根在(2.5，2.562
5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选AB.
5．函数y＝与函数y＝lg
x的图象的交点的横坐标(精确度为0.1)约是(　　)
A．1.5
B．1.6
C．1.7
D．1.8
解析：选D.设f(x)＝lg
x－，经计算f(1)＝－<0，f(2)＝lg
2－>0，
所以方程lg
x－＝0在[1，2]内有解．
f＝lg
－<0，
f＝lg－<0，
所以方程lg
x－＝0的解在区间内．
故选项D符合要求．
6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，
所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.
答案：a2＝4b
7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
解析：因为|0.75－0.625|＝0.125>0.1，|0.75－0.687
5|＝0.062
5<0.1，方程的近似解可以是0.75.
答案：0.75
8．某同学在借助计算器求“方程lg
x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg
x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，
第四次得区间(1.75，1.812
5)．
答案：1.5，1.75，1.875，1.812
5
9．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10
km长的线路，每隔50
m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
解：如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100
m之间，即可迅速找到故障所在．
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，　
所以f(0)·f(2)<0，
由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．
(2)取x1＝(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，
由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1，2)．
再取x2＝(1＋2)＝，得f＝－<0，
所以f(1)·f<0，下一个有解区间为.
再取x3＝＝，
得f＝>0，所以f·f<0，下一个有解区间为.
综上所述，得所求的实数解x0在区间内．
[B　能力提升]
11．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：选C.开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以<0.01，
又n∈N
，所以n≥7，且n∈N
，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.
12．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过(　　)
A.
B.
C．ε
D．2ε
解析：选B.真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＜，因此误差最大不超过.
13．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
－1.6
－1.4
－1.2
－1
－0.8
－0.6
－0.4
－0.2
0
…
y＝2x
0.329
9
0.378
9
0.435
3
0.5
0.574
3
0.659
8
0.757
9
0.870
6
1
…
y＝x2
2.56
1.96
1.44
1
0.64
0.36
0.16
0.04
0
…
若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)，则a的值为________．
解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0，f(－0.8)<0，f(－0.4)>0，
所以根在区间(－0.8，－0.6)内，
所以a＝－1或a＝－0.8.
答案：－1或－0.8
14．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．
解：由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又函数f(x)在[1，2]内是增函数，所以函数f(x)在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1，2]．下面用二分法求解．
(a，b)
(a，b)的中点
f(a)
f(b)
f
(1，2)
1.5
f(1)＜0
f(2)＞0
f(1.5)＞0
(1，1.5)
1.25
f(1)＜0
f(1.5)＞0
f(1.25)＞0
(1，1.25)
1.125
f(1)＜0
f(1.25)＞0
f(1.125)＜0
(1.125，1.25)
1.187
5
f(1.125)＜0
f(1.25)＞0
f(1.187
5)＜0
因为|1.187
5－1.25|＝0.062
5＜0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
[C　拓展探究]
15．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且f(1)＝－.
(1)求证：函数f(x)有两个零点；
(2)设x1，x2是函数的两个零点，求|x1－x2|的取值范围．
解：(1)证明：由函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)且f(1)＝－，
得a＋b＋c＝－，则c＝－－b.
对于方程ax2＋bx＋c＝0，因为a>0，所以Δ＝b2－4ac＝b2＋6a2＋4ab＝(b＋2a)2＋2a2>0，所以函数f(x)有两个零点．
(2)显然x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根，则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝
＝＝
＝
＝
＝≥.
所以|x1－x2|的取值范围是[，＋∞)．
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