1.4.5.3 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第五节 函数的应用 第三课时 函数模型的应用

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教材考点
学习目标
核心素养
指数、对数函数模型在实际问题中的应用
会利用已知函数模型解决实际问题
数学建模
根据实际问题建立函数模型
能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题
数学建模
问题导学
预习教材P148－P154，并思考以下问题：
1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？
2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
几类常见的函数模型
名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝a＋
a≠0
指数函数模型
y＝b·ax＋c
a>0且a≠1，b≠0
对数函数模型
y＝mlogax＋n
a>0且a≠1，m≠0
幂函数模型
y＝axn＋b
a≠0
1．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)．若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到(　　)
A．300只　　　　　　　　　
B．400只
C．500只
D．600只
解析：选A.由题意可得a＝100.当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.　
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N
)，该产品的产量y满足(　　)
A．y＝a(1＋5%x)
B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1
D．y＝a(1＋5%)x
解析：选D.经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________．　
解析：由
得
所以y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为
y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75万件
探究点1　指数型函数模型的应用
　目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为x(0(1)设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍，请用a，n表示x.
(2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?
参考数据：lg
2＝0.301，lg
3＝0.477.
【解】　(1)依题意得(1－x)n＝a，
所以1－x＝，即x＝1－.
(2)设n年后年产能不超过2017年的25%，
则(1－10%)n≤25%，即≤，
即nlg≤lg
，即n(2lg
3－1)≤－2lg
2，
所以n≥，即n≥，
因为13<<14，且n∈N
，所以n的最小值为14，
所以至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
指数函数模型问题的求解策略
(1)对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．　
(2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数．
　某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了.
(1)求函数关系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg
2≈0.3)
解：(1)根据题意，得p0＝p0e－k，
所以e－k＝，所以p(t)＝p0.
(2)由p(t)＝p0≤p0，得≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg
2)≥3，所以t≥30.因此，至少还需过滤30个小时．
探究点2　对数型函数模型的应用
　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1
m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．
【解】　(1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，
v＝log3＝log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1
m/s.
(2)由v2－v1＝1，
即log3
－log3＝1，
得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
(变问法)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8
100
个单位时，它的游速是多少？
(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．
解：(1)将θ＝8
100代入函数解析式，
得v＝log381＝×4＝2
(m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8
100个单位时，它的游速是2
m/s.
(2)令v＝0，得log3＝0，即＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．
对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　
　在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2
000·ln.当燃料质量是火箭质量的____________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12
000米/秒时，
2
000·ln＝12
000，
所以ln＝6，所以＝e6－1.
答案：e6－1
探究点3　建立拟合函数模型解决实际问题
　某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.
(1)若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg
x＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg
2≈0.3，lg
5≈0.7)．
(2)若采用函数f(x)＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
【解】　(1)对于函数模型y＝lg
x＋kx＋5(k为常数)，
当x＝100时，y＝9，代入解得k＝，所以y＝lg
x＋＋5.
当x∈[50，500]时，y＝lg
x＋＋5是增函数，但x＝50时，y＝lg
50＋6>7.5，
即资金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求．
(2)对于函数模型f(x)＝＝15－，
a为正整数，函数在[50，500]上单调递增；
f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344；
要使f(x)≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，
即a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50，500]恒成立，
所以a≥315.综上所述，315≤a≤344，
所以满足条件的最小的正整数a的值为315.
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数．
(5)利用选取的拟合函数进行预测．
(6)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．　
　某企业常年生产一种出口产品，自2016年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2016年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
(1)画出2016～2019年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2020年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2020年的年产量为多少？
解：(1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
由已知得
解得
所以f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
所以一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2020年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2020年的年产量为7万件．
1．某市的房价(均价)经过6年时间从1
200元/m2增加到了4
800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(　　)
A．600元　　　　　　　　
B．50%
C.－1
D.＋1
解析：选C.设6年间平均年增长率为x，则有1
200(1＋x)6＝4
800，解得x＝－1.
2．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　　)
A．60安
B．240安
C．75安
D．135安
解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，所以I＝5r3.
故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.
3．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．　
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解：(1)由题意知，当0≤x≤8时，y＝0.15x；
当x>8时，
y＝8×0.15＋log5(2x－15)
＝1.2＋log5(2x－15)，所以
y＝
(2)由题意知1.2＋log5(2x－15)＝3.2，解得x＝20.所以，小江的销售利润是20万元．
[A　基础达标]
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)
A．310元　　　　　　　　　
B．300元
C．290元
D．280元
解析：选B.设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1，800)，(2，1
300)，
则
解得
所以y＝500x＋300，
当x＝0时，y＝300.
所以营销人员没有销售量时的收入是300元．
2．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg
I，若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n约等于(　　)
A．16　　　　B．20
C．32　　　　
D．90
解析：选C.因为r＝0.6lg
I，所以I＝10.
当r＝6.5时，I1＝10，
当r＝7.4时，I2＝10，
所以n＝＝10÷10＝10＝10×≈32.
3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是(　　)
解析：选A.从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t1]时间段内上升慢，在[t1，t2]时间段内上升快，于是下面大，上面小，故选A.
4．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)
A．略有亏损
B．略有盈利
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
解析：选A.由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970
299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．
5．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90
℃的物体，放在10
℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50
℃，那么t的值约等于(参考数据：ln
3≈1.099，ln
2≈0.693)(　　)
A．1.78
B．2.77
C．2.89
D．4.40
解析：选B.由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln
＝－ln
2＝－0.693，解得t≈2.77.
6．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.62
7.00
8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是________．
解析：若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，
解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，
与表格中的数据相差太大，不符合；
若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，
解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此时f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，
与表格中的数据相差太大，不符合；
若模型为①，则根据表中数据得
即
解得经检验是最适合的函数模型．
答案：①
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．
解析：由三角形相似，
得＝，得x＝×(24－y)，
所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，
故当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案：15，12
8．(一题两空)某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
解析：由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝ek，
所以k＝2ln
2，所以y＝e2tln
2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln
2＝210＝1
024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1
024.
答案：2ln
2　1
024
9．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v(单位：m/s)可以表示为v＝5log2，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)当燕子静止时，它的速度v＝0
m/s，代入题中给出的函数关系式，可得0＝5log2，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将Q＝80代入题中给出的函数关系式，得v＝5log2＝5log28＝15，
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15
m/s.
10．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分)
x(单位：克)
0
1
2
9
…
y
0
3
…
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．
解：(1)当0≤x<6时，由题意，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由表格数据可得
解得
所以，当0≤x<6时，
f(x)＝－x2＋2x，
当x≥6时，f(x)＝.由表格数据可得f(9)＝＝，
解得t＝7.
所以当x≥6时，f(x)＝，
综上，f(x)＝
(2)当0≤x<6时，
f(x)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4，
所以当x＝4时，函数f(x)的最大值为4；
当x≥6时，f(x)＝单调递减，
所以f(x)的最大值为f(6)＝＝3.
因为4>3，
所以函数f(x)的最大值为4.
[B　能力提升]
11．(多选)下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是(　　)
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是2016年
C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2017年
D．虽然2018年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善
解析：选ABD.由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2016～2017年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2017～2018年比较平缓，故C错；2018年“生活价格指数”呈下降趋势，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故D正确．
12．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)
A．125
B．100
C．75
D．50
解析：选C.由已知得a＝a·e－50k，
即e－50k＝＝.
所以a＝·a＝(e－50k)·a＝e－75k·a，
所以t＝75.
13．(一题两空)放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．　
解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2－
(t≥0)．
答案：4　320·2－
(t≥0)
14．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x在什么范围内．
解：(1)依题意知y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，
由题意得
所以a＝2，
所以y＝
(2)易知x≥8.
当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，
则4≤log2x≤10，所以16≤x≤1
024，所以16≤x≤64.
当x＞64时，要使y∈[4，10]，
则x∈[4，10]，即40≤x≤100，
所以64＜x≤100.
综上，当年销售额x在[16，100](万元)内时，年奖金y∈[4，10](万元)．
[C　拓展探究]
15．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响，经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5
h过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1
h，参考数据：ln
0.2≈－1.61，ln
0.3≈－1.20，ln
0.4≈－0.92，ln
0.5≈－0.69，ln
0.9≈－0.11)
解：(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k，
解得k＝－ln
0.9(或k≈0.022)．
(2)由(1)，知P＝P0et，
当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0et，
解得t＝≈＝≈42.
故污染物减少到40%至少需要42小时．
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