1.4.4.3 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第四节 对数函数 第三课时 不同函数增长的差异

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教材考点
学习目标
核心素养
函数模型的增长差异
了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义
数学抽象、数学建模
函数模型的选取
能根据具体问题选择函数模型，构建函数模型求解问题
数学建模
问题导学
预习教材P136－P138，并思考以下问题：
1．函数y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？
2．函数y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)的增长速度有什么不同？
三种函数模型的性质
y＝kx(k＞0)
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
一条直线
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
增长速度
(1)y＝ax(a＞1)随着x的增大，y增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度(2)y＝logax(a>1)随着x的增大，y增长速度越来越慢，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax■微思考
在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax提示：不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　)
(2)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　)
(3)当a>1，k>0时，对?x∈(0，＋∞)，总有logax答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex　　　　　　　　　
B．y＝ln
x
C．y＝2x
D．y＝e－x
答案：A
3．已知y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3
B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2
D．y2>y3>y1
答案：A
4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)
A．y＝ax＋b
B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋b
D．y＝aln
x＋b
解析：选B.由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.
探究点1　函数模型的增长差异
　四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
【解析】　从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
【答案】　y2
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．　
　四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2　　　　　　　　
B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
解析：选D.由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.
探究点2　指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较
　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2
019)，g(2
019)的大小．
【解】　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1所以x1<6019>x2，
从图象可以看出，
当x1所以f(6)当x>x2时，
f(x)>g(x)，
所以f(2
019)>g(2
019)．
又因为g(2
019)>g(6)，
所以f(2
019)>g(2
019)>g(6)>f(6)．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．　
　函数f(x)＝lg
x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，
对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg
x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
探究点3　函数模型的选取
　某汽车制造商在2020年初公告：公司计划2020年的生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2017
2018
2019
产量(万)
8
18
30
如果我们分别将2017、2018、2019、2020定义为第一、二、三、四年．现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？
【解】　建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，
可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，
与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，将点坐标代入，
可得
解得a＝，b＝，c＝－42，
则g(x)＝×－42，
故g(4)＝×－42＝44.4，
与计划误差为1.4.
由(1)(2)可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系．
不同函数模型的选取标准
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．　
　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x　　　　　　　　
B．y＝log6x
C．y＝x6
D．y＝6x
解析：选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
解析：选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
3．(多选)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　)
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
解析：选ABD.结合指数函数y＝和对数函数y＝logx的图象易得C正确，A，B，D错误．
4．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；
②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8；
④y＝log2x.　
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
解析：画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.
答案：④
5．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
根据图象易得：
当0≤x＜4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；　
当x>4时，f(x)[A　基础达标]
1．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，正确的是(　　)
解析：选D.函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中01，显然y＝ax的图象不符，排除A，B，故选D.
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
解析：选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)
A．y＝2x－2　　　　　　　
B．y＝
C．y＝log2x
D．y＝(x2－1)
解析：选D.法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.
法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.
4．据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人)
关于月数x的函数关系式近似是(　　)
A．y＝0.2x
B．y＝(x2＋2x)
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
解析：选C.对于A，当x＝3时，y＝0.6，与0.76差距较大，故排除A；对于B，当x＝3时，y＝1.5，与0.76差距较大，故排除B；对于D，当x＝3时，y＝0.2＋log163≈0.6，与0.76差距较大，故排除D，故选C.
5．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：选B.由函数性质可知，在(4，＋∞)内，指数函数g(x)＝2x增长速度最快，对数函数h(x)＝log2x增长速度最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)．
6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
答案：甲
7．函数y＝x2与函数y＝xln
x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：当x变大时，x比ln
x增长要快，
所以x2要比xln
x增长得要快．
答案：y＝x2
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与①对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为C容器快，与③对应，D容器慢，与②对应．
答案：④　①　③　②
9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%.
哪个方案较好？
解：方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，因为15.386>15，所以方案二较好．
10．已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数．
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式：
①log2x<2x②log2x解：(1)因为函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，
所以f(x)＝2x.
(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4，24＝42＝16，下面借助图象解决问题．
①因为log2x<2x②因为log2x4，解集为(0，2)∪(4，＋∞)．
[B　能力提升]
11．一高为h0，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时，水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象可能是(　　)
解析：选B.水深h越大，水的体积V就越大，当水深为h0时，体积为V0，
所以排除A，C.
当h∈[0，h0]时，可将水“流出”设想成“流入”，每当h增加1个Δh时，根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故选B.
12．(多选)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80
km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息为(　　)
A．骑自行车者比骑摩托车者早出发3
h，晚到1
h
B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C．骑摩托车者在出发1.5
h后追上了骑自行车者
D．骑摩托车者在出发1.5
h后与骑自行车者速度一样
解析：选ABC.看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是线段，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线段，所以是变速运动，因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C正确，D错误．
13．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．
有以下说法：
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________．
解析：由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝.
当t＝4时，y＝<，故①正确；当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，t1＋t2＝t3，故③正确．
答案：①③
14．某国2013年至2016年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2013
2014
2015
2016
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y(万亿元)
8.206
7
8.944
2
9.593
3
10.239
8
(1)画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2030年该国的国内生产总值．
解：(1)画出函数图象，如图所示．
从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
把直线经过的两点(0，8.206
7)和(3，10.239
8)代入上式，解得k＝0.677
7，b＝8.206
7.
所以函数关系式为y＝0.677
7x＋8.206
7.　
(2)由得到的函数关系式计算出2014年和2015年的国内生产总值分别为
0．677
7×1＋8.206
7＝8.884
4(万亿元)，
0．677
7×2＋8.206
7＝9.562
1(万亿元)．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
(3)2030年，即x＝17时，由(1)得y＝0.677
7×17＋8.206
7＝19.727
6(万亿元)，
即预测2030年该国的国内生产总值约为19.727
6万亿元．
[C　拓展探究]
15．(2020·四川广元外国语学校高一段考)某企业生产的一种电器的固定成本
(即固定投资)为0.5万元，每生产一百台这种电器还需可变成本(即另增加投资)2
500元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系可用如图所示的抛物线表示．(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，结果精确到1台和0.01万元)
(1)写出销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．
解：(1)由图可知R＝a(t－5)2＋，由t＝0时，R＝0可得a＝－，则R＝－(t－5)2＋(0≤t≤5)．
(2)年纯收益y＝－t2＋5t－－t＝－t2＋t－，
当t＝＝4.75时，y取得的最大值约为10.78.
故年产量是475台时，纯收益最大约为10.78万元．
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