1.4.5.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第五节 函数的应用 第一课时 函数的零点与方程的解

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教材考点
学习目标
核心素养
函数零点的概念及求法
理解函数零点的定义，会求函数的零点
数学抽象、数学运算
函数零点的判断
掌握函数零点的判断方法，会判断函数零点的个数及其所在区间
逻辑推理、直观想象
函数零点的应用
会根据函数零点的情况求参数
数学运算、直观想象
问题导学
预习教材P142－P144，并思考以下问题：
1．函数零点的概念是什么？
2．如何判断函数的零点？
3．方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？
1．函数的零点
(1)概念：对于一般函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系
■微思考1
(1)函数的零点是点吗？
提示：函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？
提示：相等．
(3)结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由．
提示：不一定．因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点．
如：指数函数，其图象都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点．
2．函数零点的判断
条件
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线．(2)f(a)·f(b)＜0
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根
■微思考2
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)·f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
提示：不能．
(2)在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？
提示：f(x)在(a，b)内为单调函数．
(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0?
提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)·f(1)＝1×1＝1>0.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x－1的零点是.(　　)
(2)函数f(x)＝x2＋x＋1有零点．(　　)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上满足f(a)·f(b)>0，则在区间(a，b)上一定没有零点．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．函数f(x)＝log2(2x－1)的零点是(　　)
A．1　　　　　　　　　　
B．2
C．(1，0)
D．(2，1)
答案：A
3．函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是(　　)
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
解析：选D.因为f(2)＝8－6－3＝－1<0，f(3)＝27－9－3＝15>0，所以f(2)·f(3)<0，所以D正确．
4．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为________．　
解析：f(x)＝－2x＋m的零点为4，所以－2×4＋m＝0，m＝8.
答案：8
5．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．
答案：(1.25，1.5)
探究点1　求函数的零点
　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；　　　　　　
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3;
(4)f(x)＝1－log3x.
【解】　(1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，
由于Δ＝22－4×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，
解得x＝log23，
所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.
(4)令1－log3x＝0，
解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
函数零点的求法
求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．　
1．函数f(x)＝的所有零点构成的集合为(　　)
A．{1}　　　　　　　　　
B．{－1}
C．{－1，1}　　　
D．{－1，0，1}
解析：选C.当x≤0时，f(x)＝x＋1＝0?x＝－1；当x>0时，f(x)＝log2x＝0?x＝1，所以函数f(x)的所有零点构成的集合为{－1，1}．
2．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和
B．1和－
C.和
D．－和－
解析：选B.由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，所以a＝5，b＝6，所以g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.
探究点2　判断函数零点所在的区间或个数
　(1)函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(3，4)
D．(e，＋∞)
(2)判断函数f(x)＝ln
x＋x2－3的零点的个数．
【解】　(1)选B.因为f(1)＝－2<0，f(2)＝ln
2－1<0，
所以在(1，2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln
3－>0，
所以f(2)·f(3)<0，
所以f(x)在(2，3)内有零点．
(2)法一：函数对应的方程为ln
x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln
x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln
x的图象只有一个交点．从而ln
x＋x2－3＝0有一个根，
即函数f(x)＝ln
x＋x2－3有一个零点．
法二：因为f(1)＝－2，f(2)＝ln
2＋1＞0.
所以f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝ln
x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，
所以f(x)在(1，2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以零点只有一个．
(1)判断函数零点所在区间的3个步骤
①代入：将区间端点值代入函数解析式求出相应的函数值．
②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
(2)判断函数存在零点的2种方法
①方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
②图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．　
1．根据表格中的数据，可以判定方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间是(　　)
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
2x＋5
5
7
9
11
13
A.(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
解析：选C.设f(x)＝ex－2x－5，此函数的图象是连续不断的，
由表可知f(0)＝1－5＝－4<0，
f(1)＝2.72－7＝－4.28<0，
f(2)＝7.39－9＝－1.61<0，
f(3)＝20.09－11＝9.09＞0，
f(4)＝54.60－13＝41.60>0，所以f(2)·f(3)<0，
所以函数f(x)的一个零点，即方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间为(2，3)．
2．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：选B.当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln
x＝0得x＝e2.
所以函数的零点个数为2.
探究点3　根据函数的零点求参数的值
　已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】　函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点．
分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象，如图所示．
由图易知，当a>1时，两函数的图象有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
【答案】　(1，＋∞)
根据函数零点个数求参数值(范围)的方法
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．　
　函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间内有零点，则实数a的取值范围为________．
解析：f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－＋＝－＋1.
若f(x)在内有零点，则f(x)＝0在区间内有解，当－≤x<0或0答案：(－∞，0]
1．(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有(　　)
解析：选CD.有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故选CD.
2．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1　　　　　　　　　
B.，1
C.，－1
D．－，1
解析：选B.方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
3．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)
A．2
B．－2
C．±2
D．3
解析：选C.因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，2)
解析：选C.易知f(x)＝ex＋x－2在R内单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(x)的零点所在区间为(0，1)．
5．函数f(x)＝2x＋x－2有________个零点．
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝－x＋2的图象，由图可知函数f(x)有1个零点．
答案：1
[A　基础达标]
1．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f(x)
3.4
2.6
－3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是(　　)
A．(－∞，1)　　　　　　　　
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，＋∞)
解析：选C.若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上一定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2，3)上一定存在零点．
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为　(　　)
A.，0
B．－2，0
C.
D．0
解析：选D.当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0.
3．若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有唯一零点需满足的条件是(　　)
A．f(3)<0
B．函数f(x)在定义域内是增函数
C．f(3)>0
D．函数f(x)在定义域内是减函数
解析：选D.因为f(1)>0，f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上一定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内必须是减函数．
4．函数f(x)＝x3－的零点个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析：选B.作出y＝x3与y＝的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．故选B.
5．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2
B．0
C．1
D．3
解析：选A.f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.
6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
所以由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
答案：3
7．已知函数f(x)＝a＋log2x，且f(a)＝1，则函数f(x)的零点为________．
解析：依题意有a＋log2a＝1，
即log2a＝1－a，
易知a＝1，
所以f(x)＝1＋log2x，令f(x)＝0，得x＝.
答案：
8．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是________．
解析：当a＝0时，f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，解得x＝2，
所以函数只有一个零点2，符合题意；
当a≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝.
综上a＝或a＝0.
答案：
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x4－x2；
(2)f(x)＝4x＋5；
(3)f(x)＝log3(x＋1)．
解：(1)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
所以x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(2)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(3)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
10．已知函数f(x)＝(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．
(1)求c的值；
(2)证明函数f(x)在[0，2]上是单调增函数；
(3)已知函数g(x)＝f(ex)－，求函数g(x)的零点．
解：(1)因为1为函数f(x)的零点，
所以f(1)＝0，即c＝1.
(2)证明：设0≤x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝，
因为0≤x1所以x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，
所以f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是单调增函数．
(3)令g(x)＝f(ex)－＝－＝0，
所以ex＝2，即x＝ln
2，
所以函数g(x)的零点是ln
2.
[B　能力提升]
11．(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的有(　　)
A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
解析：选ABD.由题知f(0)·f(1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，
又f(1)·f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点．
12．(一题两空)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
答案：3　0
13．(一题两空)已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为________．
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为________．
解析：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
答案：(1)1和3　(2)(4，＋∞)
14．已知函数f(x)＝logax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1(a>1)．
(1)求a的值；
(2)判断函数g(x)＝f(x)－3在[1，2]上的零点个数，并说明理由．
解：(1)易知，函数f(x)＝logax＋ax在x∈[1，2]上单调递增，
因为函数f(x)＝logax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1，
所以f(1)＋f(2)＝0＋a＋loga2＋a2＝a2＋a＋1，解得a＝2.
(2)由(1)可得函数f(x)＝log2x＋2x，
f(x)在(1，2]内单调递增，
所以g(x)＝f(x)－3在[1，2]内单调递增．
因为g(1)＝f(1)－3＝2－3＝－1<0，g(2)＝f(2)－3＝log22＋22－3＝2>0，
所以函数f(x)在[1，2]内有且仅有一个零点．
[C　拓展探究]
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求f(x)的解析式，并画出f(x)的图象．
(2)设g(x)＝f(x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)有①一个零点；②两个零点；③三个零点？
解：(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
设x<0，则－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.
因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝画出函数f(x)的图象如图所示．
(2)由g(x)＝f(x)－k＝0可得f(x)＝k，
结合(1)中函数的图象可知：
①当k<－1或k>1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有一个交点，即函数g(x)＝f(x)－k有一个零点；
②当k＝－1或k＝1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，即函数g(x)＝f(x)－k有两个零点；
③当－1HYPERLINK
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