1.4.6.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第四章 指数函数与对数函数 第六节 全章复习 第二课时 综合检测

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综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若a<，则化简的结果是(　　)
A.　　　　　　　　
B．－
C.
D．－
解析：选C.因为a<，所以2a－1<0.
所以原式＝＝.
2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.由函数的解析式得
即
所以1≤x<.
3．计算log2
25·log52＝(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选A.log225·log52＝·＝3，故选A.
4．设f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　)
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选D.因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
因为x>0，所以f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，故选D.
5．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aB．bC．cD．c解析：选C.由f(x)是奇函数，可得a＝－f＝f(log25)，因为log25>log24.1>log24＝2>20.8，且函数f(x)在R上是增函数，所以c6．函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析：选D.因为f(x)＝＝2x＋＝2x＋2－x，
所以f(－x)＝2－x＋2x＝2x＋2－x＝f(x)，　
所以f(x)为偶函数．
所以f(x)的图象关于y轴对称．
7．若函数f(x)＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则f(x)的定义域为(　　)
A．(－1，1)∪[2，4]
B．(0，1)∪[2，4]
C．[2，4]
D．(－∞，0]∪[1，2]
解析：选D.设t＝2x，则t>0，且y＝t2－3t＋3＝＋.因为函数f(x)＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，
所以函数y＝t2－3t＋3的值域为[1，7]．
由y＝1得t＝1或t＝2，由y＝7得t＝4或t＝－1(舍去)，则0所以f(x)的定义域是(－∞，0]∪[1，2]，故选D.
8．如图，点O为坐标原点，点A(1，1)．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)及y＝logbx(b>0，且b≠1)的图象与线段OA分别交于M，N，且M，N恰好是OA的两个三等分点，则a，b满足(　　)
A．aB．bC．b>a>1
D．a>b>1
解析：选A.因为M，N是OA的两个三等分点，则M，N，所以得a＝，即a＝，logb＝，即b＝，b＝＝>＝a，且b＝<＝1，即a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是(　　)
A．y＝x3＋x
B．y＝log2x
C．y＝2x2－3
D．y＝x|x|
解析：选AD.A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；
B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；
C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；
D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符．
10．设函数y＝ln(x2－x＋1)，则下列命题中正确的是(　　)
A．函数的定义域为R
B．函数是增函数
C．函数的值域为R
D．函数的图象关于直线x＝对称
解析：选AD.A正确，因为x2－x＋1＝＋>0恒成立，
所以函数的定义域为R；
B错误，函数y＝ln(x2－x＋1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；
C错误，由x2－x＋1＝＋≥可得y＝ln(x2－x＋1)≥ln，
所以函数的值域为；
D正确，函数的图象关于直线x＝对称．
11．给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　)
A．函数y＝的最小值为
B．已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在(0，1)上是减函数，则a的取值范围是(1，2)
C．在同一平面直角坐标系中，函数y＝log2x与y＝logx的图象关于y轴对称
D．在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称
解析：选AD.A正确，令t＝－x2＋1，则t的最大值为1，所以y＝的最小值为；
B错，因为函数y＝loga(2－ax)在(0，1)上是减函数，
所以解得1C错，在同一平面直角坐标系中，函数y＝log2x与y＝logx的图象关于x轴对称；
D正确，在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.
已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(　　)
A．g(x)是偶函数
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在R上是增函数
D．g(x)的值域是{－1，0，1}
解析：选BC.根据题意知，f(x)＝－，
因为g(1)＝[f(1)]＝＝0，
g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1，
所以g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，
所以函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
因为f(－x)＝－＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，B正确；
由复合函数的单调性知f(x)＝－＝－
在R上是增函数，所以C正确；
因为ex>0，
所以1＋ex>1，
所以－所以g(x)＝[f(x)]＝{－1，0}，D错误，故选BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的值是________．
解析：若m≠0，则Δ＝4－12m＝0，m＝，　
又m＝0也符合要求，所以m＝0或.
答案：0或
14．已知log2m＝2.016，log2n＝1.016，则＝________．
解析：因为log2m＝2.016，log2n＝1.016，
所以m＝22.016，n＝21.016，所以＝＝.
答案：
15．已知函数f(x)＝则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．
解析：当x≤0时，3x＋1>1?x＋1>0，
所以－1当x>0时，log2x>1?x>2，所以x>2.
综上所述，x的取值范围为－12.
答案：(－1，0]∪(2，＋∞)
16．(一题两空)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>1，且a为常数)在区间[－1，1]上的最大值为14，则a＝________；若f(x)＝7，则x＝________．
解析：令t＝ax>0，
因为x∈[－1，1]，a>1，所以ax∈，
f(x)＝y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，
故当t＝a时，函数y取得最大值为a2＋2a－1＝14，
解得a＝3(舍负)，
所以f(x)＝32x＋2×3x－1.
由f(x)＝7，可得32x＋2×3x－1＝7，
即(3x＋4)(3x－2)＝0，
解得3x＝2，所以x＝log32.
答案：3　log32
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)计算：(1)－＋＋；
(2)lg
500＋lg
－lg
64＋50×(lg
2＋lg
5)2.
解：(1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
(2)原式＝lg
5＋lg
102＋lg
23－lg
5－lg
26＋50×(lg
10)2＝lg
5＋2＋3lg
2－lg
5－3lg
2＋50＝52.
18．(本小题满分12分)已知函数g(x)＝(a＋1)x－2＋1(a>0)的图象恒过定点A，且点A也在函数f(x)＝log(x＋a)的图象上．
(1)求实数a的值；
(2)解不等式f(x)解：(1)由题意，知点A的坐标为(2，2)．
又点A在函数f(x)的图象上，则f(2)＝log(2＋a)＝2，
得2＋a＝3，所以a＝1.
(2)由f(x)则0所以原不等式的解集为(－1，0)．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．
(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围；
(2)若f(x)在[0，1]上的最小值大于1，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝23－2x<4＝22，所以3－2x<2，得x>.
(2)y＝3－ax在定义域内单调递减，
当a>1时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得1当01，不成立．
综上，120．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解：(1)由题意知y
＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
2log5(x－9)＝4，log5(x－9)＝2，
所以x－9＝52，
解得x＝34.
即老江的销售利润是34万元．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－.
(1)用定义证明函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(2)若x∈[1，2]，求函数f(x)的值域；
(3)若g(x)＝＋f(x)，且当x∈[1，2]时，g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R，设x1，x2∈R且x1＝.
因为x1所以2x2－2x1>0.
又2x1＋1>0，2x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以当x
∈[1，2]时，f(x)min＝f(2)＝－，f(x)max＝f(1)＝－.
所以当x∈[1，2]时，f(x)的值域为.
(3)由(2)得，当∈[1，2]时，f(x)∈，因为g(x)＝＋f(x)，
所以当x∈[1，2]时，g(x)∈.
因为g(x)≥0在x∈[1，2]上恒成立，
所以－≥0，所以a≥.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log9(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝x＋b有实数根，求b的取值范围．
解：(1)因为f(x)为偶函数，所以?x∈R，有f(－x)＝f(x)，所以log9(9－x＋1)－kx＝log9(9x＋1)＋kx对x∈R恒成立．
所以2kx＝log9(9－x＋1)－log9(9x＋1)＝log9－log9(9x＋1)＝－x对x∈R恒成立，所以(2k＋1)x＝0对x∈R恒成立，所以k＝－.
(2)由题意知，log9(9x＋1)－x＝x＋b有实数根，即log9(9x＋1)－x＝b有解．
令g(x)＝log9(9x＋1)－x，则函数y＝g(x)的图象与直线y＝b有交点．
g(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9＝log9，因为1＋>1，所以g(x)＝log9>0，所以b的取值范围是(0，＋∞)．
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