1.5.1.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第一节 任意角和弧度制 第一课时 任意角

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教材考点
学习目标
核心素养
任意角的概念
理解任意角的概念，能区分各类角
数学抽象
终边相同的角
掌握终边相同的角的含义及其表示方法
数学抽象、逻辑推理
象限角与区域角的表示
掌握象限角的概念并能用集合表示各类象限角及区域角
数学抽象、直观想象
问题导学
预习教材P168－P171，并思考以下问题：
1．角的概念推广后，分类的标准是什么？
2．如何判断角所在的象限？
3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
1．任意角
(1)角的表示
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
(2)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
名称
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
■微思考1
(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？
提示：角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．
(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？
提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转．
2．象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
■微思考2
把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？
提示：象限角是指在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
■微思考3
终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示：当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不一定相等．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)第一象限的角一定是正角．(　　)
(2)终边相同的角一定相等．(　　)
(3)锐角都是第一象限角．(　　)
(4)第二象限角是钝角．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．－110°是(　　)
A．第一象限角　　　　　　　
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：C
3．与30°角终边相同的角的集合是(　　)
A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析：选A.由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
4．如图，角α的终边为OB，则α＝____________．
答案：{α|α＝125°＋k·360°，k∈Z}
5．(一题两空)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．
答案：－25°　395°
探究点1　任意角的概念
下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③钝角比第三象限角小；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的结论为________(填序号)．
【解析】　①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确；
④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．
【答案】　②
理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．　
　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)
A．60°，720°　　　　　　　　
B．－60°，－720°
C．－30°，－360°
D．－60°，720°
解析：选B.钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
探究点2　终边相同的角
在与角10
030°终边相同的角中，求满足下列条件的角β.
(1)最大的负角；
(2)[360°，720°)内的角．
【解】　与10
030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10
030°(k∈Z)．
(1)由－360°030°<0°，得－10
390°030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由360°≤k·360°＋10
030°<720°，得－9
670°≤k·360°<－9
310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
(变问法)在本例条件下，求最小的正角．
解：由0°030°<360°，得－10
030°670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．　
(2)终边相同的角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；
②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
1．下面各组角中，终边相同的是(　　)
A．390°，690°
B．－330°，750°
C．480°，－420°
D．3
000°，－840°
解析：选B.因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
所以－330°角与750°角的终边相同．
2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝(　　)
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
解析：选B.角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.
3．终边在直线y＝－x上的角β的集合S＝________．
解析：由题意可知，终边在直线y＝－x上的角有两种情况：①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}；②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}．
综合①②可得，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
探究点3　象限角与区域角的表示
　(1)如图，终边落在阴影部分的角的集合是(　　)
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
(2)已知角α是第三象限角，则角是(　　)
A．第一或第二象限角　　　　
B．第二或第三象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
【解析】　(1)阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，
再加上360°的整数倍，
即k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.
(2)因为α是第三象限角，
所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，
所以k·180°＋90°＜＜k·180°＋135°(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，
n·360°＋90°＜＜n·360°＋135°(n∈Z)，
所以是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
n·360°＋270°＜＜n·360°＋315°(n∈Z)，
所以是第四象限角．
【答案】　(1)C　(2)D
(1)象限角的判定方法
①根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系；
②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°
范围内没有两个角终边是相同的．
(2)表示区域角的三个步骤
①借助图形，在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界；
②按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β；
③分别将起始边界，终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即可求得区域角．　
1．给出下列各角：
－300°，－240°，－145°，－45°，30°，124°，210°，300°.
则第一象限角有____________________；第二象限角有____________________；第三象限角有____________________；第四象限角有____________________．
答案：－300°，30°　－240°，124°　－145°，210°
－45°，300°
2.如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.
(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；
(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角的集合．
解：(1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|k·360°－45°<γ(2){θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°}．
1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是(　　)
A．45°　　　　　　　　　　　
B．90°
C．180°
D．270°
解析：选B.根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．
2．下列各角中与330°角终边相同的角是(　　)
A．510°
B．150°
C．－150°
D．－390°
解析：选D.－390°＝330°－720°，所以与330°角终边相同的角是－390°.
3．(一题两空)与2
019°角终边相同的最小正角是________角；与2
019°角终边相同的最大负角是________．
解析：因为与2
019°角终边相同的角是2
019°＋k·360°(k∈Z)，所以当k＝－5时，与2
019°角终边相同的最小正角是219°角．
当k＝－6时，与2
019°角终边相同的最大负角是－141°.
答案：219°　－141°
4．若角α的终边与75°角的终边关于x轴对称，且－360°<α<360°，则角α的值为____________．
解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于x轴对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°<α<360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°.
答案：－75°或285°
5．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°.
解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，
所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，
所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
[A　基础达标]
1．下列角的终边位于第二象限的是(　　)
A．420°　　　　　　　　　　
B．860°
C．1
060°
D．1
260°
解析：选B.420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；
860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；
1
060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；
1
260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B.
2．与1
303°终边相同的角是(　　)
A．763°
B．493°
C．－137°
D．－47°
解析：选C.因为1
303°＝4×360°－137°，
所以与1
303°终边相同的角是－137°.
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝(　　)
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
解析：选C.令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.
4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是(　　)
解析：选C.当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C.
5．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在(　　)
A．x轴的非负半轴上
B．x轴的非正半轴上
C．x轴上
D．y轴的非负半轴上
解析：选A.因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．
6．在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是________．
解析：与－120°终边相同的角为α＝－120°＋k·360°(k∈Z)，由0°≤－120°＋k·360°＜360°，k∈Z，得≤k＜，
又k∈Z，
所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.
答案：240°
7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1
080°，又50°＋(－1
080°)＝－1
030°，故所得的角为－1
030°.
答案：－1
030°
8．终边在第一或第三象限的角的集合是________．
解析：因为终边在第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}．
答案：{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}
9．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M有几类终边不相同的角？
(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．
解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．
(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，k∈Z，
则－所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，
所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.
(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.
10．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解：(1)由题可知，角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．　
(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，
取k＝－2，得β＝－300°，
取k＝－1，得β＝－120°，
取k＝0，得β＝60°，
取k＝1，得β＝240°，
取k＝2，得β＝420°，
取k＝3，得β＝600°.
所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.
[B　能力提升]
11．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：选AC.因为角2α的终边在x轴的上方，
所以k·360°<2α故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α12．下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　)
A．－37°　　　　　　　　　　
B．143°
C．379°
D．－143°
解析：选D.与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D.
13．角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________．
解析：因为5α与α的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝k·360°，α＝k·90°.
又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.
答案：270°
14．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，　
因为α，β都是锐角，所以0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
因为α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.因为α，β都是锐角，
所以－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
[C　拓展探究]
15．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z.
由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，
进而知2α，2β都是钝角，
即90°<2α<2β<180°，
即45°<α<β<90°，
所以45°<α＝·180°<90°，45°<β＝·180°<90°，
所以因为α<β，
所以m所以m＝2，n＝3，
所以α＝°，
β＝°.
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