1.5.1.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第一节 任意角和弧度制 第二课时 弧度制

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教材考点
学习目标
核心素养
弧度制、角度制与弧度制的换算
了解弧度制的概念能进行角度与弧度之间的互化
数学抽象、数学运算
用弧度制表示终边相同的角
能用弧度制表示终边相同的角
数学运算
扇形的弧长与面积公式
理解弧度制下扇形的弧长与面积公式
数学运算
问题导学
预习教材P172－P175，并思考以下问题：
1．1弧度的角是如何定义的？
2．如何进行弧度与角度的换算？
3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
1．度量角的两种制度
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1
rad(rad可省略不写)
■微思考1
在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．
2．弧度数的计算与互化
(1)弧度数的计算
(2)弧度与角度的互化
■微思考2
(1)角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间是如何换算的？
提示：换算公式为π＝180°.
(2)你认为式子|α|＝中，比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的．
3．弧度制下扇形的弧长与面积公式(r是扇形所在圆的半径，n为扇形的圆心角)
　　　　公式　度量制　　　　
弧长公式
扇形面积公式
角度制
l＝
S＝
弧度制
l＝|α|·r(0＜|α|＜2π)
S＝lr＝|α|r2(0＜|α|＜2π)
■微思考3
在应用扇形的面积公式S＝|α|r2时，α的单位能是角度吗？
提示：不能，α的单位必须是弧度．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1
rad的角比1°的角要大．(　　)
(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　)
(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　　)
(4)1°的角是周角的，1
rad的角是周角的.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.弧度化为角度是(　　)
A．278°　　　　　　　　　　
B．280°
C．288°
D．318°
答案：C
3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是(　　)
A.
B．π
C.
D.
答案：C
4．(1)18°＝________rad；(2)π＝________．
答案：(1)　(2)54°
探究点1　角度制与弧度制的互化
将下列角度与弧度进行互化：
(1)37°30′；(2)－216°；(3)；(4)－.
【解】　(1)37°30′＝37.5°＝°＝×＝.
(2)－216°＝－216×＝－.
(3)＝°＝°＝105°.
(4)－π＝°＝－396°.
角度制与弧度制的互化原则
(1)原则：牢记180°＝π
rad，充分利用1°＝
rad和1
rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α
rad＝°；n°＝n·rad.　
1．把下列角度化为弧度．
(1)－1
500°＝________．
(2)67°30′＝________．
解析：(1)－1
500°＝－1
500×＝－π.　
(2)67°30′＝67.5°＝67.5×＝.
答案：(1)－　(2)
2．把下列弧度化为角度．
(1)＝________．
(2)－＝________．
解析：(1)＝°＝690°.
(2)－＝－°＝－390°.
答案：(1)690°　(2)－390°
探究点2　用弧度制表示终边相同的角
把－1
480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
【解】　－1
480°＝－1
480×＝－＝－10π＋，其中0≤<2π，因为是第四象限角，
所以－1
480°是第四象限角．
(变问法)若本例的条件不变，在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合．
解：与α终边相同的角为2kπ＋π(k∈Z)．
由－4π≤2kπ＋π<4π知
k＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合为
.
用弧度制表示终边相同角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．
(2)注意角度制与弧度制不能混用．　
1．若角θ的终边与角的终边相同，则在[0，2π]内终边与角的终边相同的角是____________．
解析：因为θ＝＋2kπ，k∈Z，所以＝＋，k∈Z.当k＝0，1，2，3时，＝，，，且∈[0，2π]．
答案：，，，
2．如图所示：
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)终边在OA上的角的集合为
.
终边在OB上的角的集合为
.
(2).
探究点3　扇形的弧长与面积的计算
(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为
cm，则此扇形的面积为________
cm2.
(2)已知扇形的周长为10
cm，面积为4
cm2，求扇形圆心角的弧度数．
【解】　(1)设扇形的弧长为l，
因为120°＝120×
rad＝(rad)，
所以l＝αR＝×＝(cm)．
所以S＝lR＝××＝π(cm2)．故填π.
(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，
半径为R，依题意有
①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8
rad＞2π
rad舍去．
当R＝4时，l＝2(cm)，此时，
θ＝＝
(rad)．
综上可知，扇形圆心角的弧度数为
rad.
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．　
1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20
cm，则该扇形的周长为________cm.
解析：因为1°＝rad，所以54°＝×54＝，则扇形的弧长l＝×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm.
答案：(40＋6π)
2．已知一扇形的周长为40
cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，
所以l＝40－2r，
所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.
所以当半径r＝10
cm时，扇形的面积最大，最大值为100
cm2，这时θ＝＝＝2
rad.
1．与60°终边相同的角可表示为(　　)
A．k·360°＋(k∈Z)
B．2kπ＋60°(k∈Z)
C．2k·360°＋60°(k∈Z)
D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选D.选项A，B中角度的表示混合用到了角度制和弧度制，不符合要求；选项C错误，故选D.
2．(多选)下列转化结果正确的是(　　)
A．240°化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－
D.化成角度是15°
解析：选ABD.对于A，240°＝240×＝，正确；
对于B，－＝－×°＝－600°，正确；
对于C，－150°＝－150×＝－，错误；
对于D，＝×°＝15°，正确．
3.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.(k∈Z)
解析：选D.阴影部分的两条边界分别是和角的终边，
所以α的取值范围是(k∈Z)．
4．在半径为8
cm的圆中，的圆心角所对的弧长为________cm.
解析：根据弧长公式，得l＝×8＝
(cm)．
答案：
5．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1
725°；(2).
解：(1)因为－1
725°＝－5×360°＋75°，
所以－1
725°＝－10π＋.
所以－1
725°角与角的终边相同．
又因为是第一象限角，所以－1
725°是第一象限角．
(2)因为＝20π＋，所以角与角的终边相同．
又因为是第三象限角，所以是第三象限角．
[A　基础达标]
1.对应的角度为(　　)
A．75°　　　　　　　　　　　
B．125°
C．135°
D．155°
解析：选C.由于1
rad＝°，
所以＝π×°＝135°，故选C.
2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D.150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为.
3．角的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选A.因为＝2π＋，角是第一象限角，所以角的终边所在的象限是第一象限．
4．钟表的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　)
A.
π
B．－π
C.
π
D．－π
解析：选B.分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
5.如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S2，则＝(　　)
A.
B.
C.
D．1
解析：选B.因为正八边形的内角和为α1＝(8－2)×180°＝6×180°＝1
080°＝6π，
正八边形外侧八个扇形(阴影部分)的内角和为α2＝360°×8－1
080°＝2
880°－1
080°＝1
800°＝10π，
所以＝＝＝.
6．用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．
解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ＜α＜2kπ＋π(k∈Z)．　
答案：{α|2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z}
7．(一题两空)在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角α是________弧度，扇形面积S是________．
解析：|α|＝＝＝rad，
S＝lr＝×12×8＝48.
答案：　48
8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的____________．
解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α(0<α<2π)，则现在的圆的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β(0<β<2π)，于是l＝αr＝β·3r，所以β＝α.
答案：
9．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈.
解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°，280°＝，
所以α＝＋(－3)×2π.
因为角α与终边相同，所以角α是第四象限角．
(2)因为与角α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α终边相同，所以γ＝2kπ＋，k∈Z.
又γ∈，所以－<2kπ＋<，k∈Z，
解得k＝－1.所以γ＝－2π＋＝－.
10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
解：如题图(1)，330°角的终边与－30°角的终边相同，
将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
.
如题图(2)，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，
因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，
又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，　
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
.
[B　能力提升]
11．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　)
A．第一象限
B．第四象限
C．x轴上
D．y轴上
解析：选D.因为＝2kπ＋(k∈Z)，因为α＝6kπ＋π(k∈Z)，所以＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上，故选D.
12．(多选)扇形周长为6
cm，面积为2
cm2，则其圆心角的弧度数可能是(　　)
A．1
B．2
C．4
D．5
解析：选AC.设扇形的半径为r
cm，圆心角为α(0<α<2π)，则
解得或故选AC.
13．(一题两空)已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为________；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为________．
解析：设圆的半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为2r，
所以|θ|＝＝2；
又圆内接正方形的边长为r，圆弧长为4r，
所以|θ|＝＝4.
答案：2　4
14．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0m，设圆心角为θ弧度．
(1)求θ关于x的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
解：(1)根据题意，可算得弧BC＝xθ(m)，弧AD＝10θ(m)．
因为BA＋CD＋l＋l＝30，
所以(10－x)＋(10－x)＋xθ＋10θ＝30，
所以θ＝(0(2)根据题意，可知y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝θ×102－θx2，
化简得y＝－x2＋5x＋50＝－＋.
所以当x＝(满足条件0综上所述，当x＝m时铭牌的面积最大，
且最大面积为m2.
[C　拓展探究]
15．如图，一长为
dm，宽为1
dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)
解：在扇形ABA1中，圆心角恰为，弧长l1＝·AB＝·＝π，面积S1＝··AB2＝··4＝π.在扇形A1CA2中，圆心角也为，弧长l2＝·A1C＝·1＝，面积S2＝··A1C2＝··12＝.在扇形A2DA3中，圆心角为π－－＝，弧长l3＝·A2D＝·＝π，面积S3＝··A2D2＝··()2＝，所以点A走过的路程长l＝l1＋l2＋l3＝π＋＋＝，点A走过的弧所在的扇形的总面积S＝S1＋S2＋S3＝π＋＋＝.
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