1.5.2.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第二节 三角函数的概念 第一课时 三角函数的概念

中小学教育资源及组卷应用平台
教材考点
学习目标
核心素养
三角函数的概念
理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值
数学抽象、数学运算
三角函数值的符号判断
掌握各象限角的三角函数值的符号规律
逻辑推理
诱导公式一及应用
掌握三角函数诱导公式一的简单应用
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P177－P181，并思考以下问题：
1．任意角的三角函数的定义是什么？
2．如何判断三角函数值在各象限内的符号？
3．诱导公式一是什么？
1．任意角的三角函数的定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin
α，即sin
α＝y
余弦
横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos
α，即cos
α＝x
正切
比值叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
■微思考1
(1)初中学习的锐角三角函数的定义是什么？
提示：如图，在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则：
sin
B＝＝，
cos
B＝＝，
tan
B＝＝.
(2)对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？
提示：根据相似三角形的知识，只要点P不与原点重合，三角函数值不会随P点在终边上的位置的改变而改变．
2．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
■微思考2
三角函数值在各象限的符号由什么决定？
提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．
3．公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：
sin(α＋k·2π)＝sin__α，
cos(α＋k·2π)＝cos__α，
tan(α＋k·2π)＝tan__α，
其中k∈Z.
■微思考3
根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？
提示：不一定，如sin
α＝，则α＝＋2kπ或α＝＋2kπ(k∈Z)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知α是三角形的内角，则必有sin
α>0，cos
α≥0.(　　)
(2)若sin
α·cos
α>0，则角α为第一象限角．(　　)
(3)对于任意角α，三角函数sin
α、cos
α、tan
α都有意义．(　　)
(4)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．　(　　)
(5)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2．已知sin
α＝，cos
α＝－，则角α所在的象限是(　　)
A．第一象限　　　　　　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：B
3．已知角α的终边经过P(－b，4)，且cos
α＝－，则b的值为(　　)
A．3
B．－3
C．±3
D．5
解析：选A.由x＝－b，y＝4，得r＝，所以cos
α＝＝－，解得b＝3(b＝－3舍去)．
4．sin
780°＝________，cos＝________．
答案：　
探究点1　求任意角的三角函数值
　(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P(y<0)，求tan
α的值．
(2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin
α，cos
α的值．
【解】　(1)因为点P(y<0)在单位圆上，
则＋y2＝1，所以y＝－，
所以tan
α＝－.
(2)设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，
则解得
即P，
所以sin
α＝y＝，cos
α＝x＝.
1．(变条件，变问法)本例(2)中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”变为“角α的终边为射线y＝－x(x≥0)”，求角α的正弦、余弦和正切值．
解：由得x2＋x2＝1，即25x2＝16，
即x＝或x＝－.
因为x≥0，所以x＝，从而y＝－.
所以角α的终边与单位圆的交点坐标为(，－)．
所以sin
α＝y＝－，cos
α＝x＝，tan
α＝＝－.
2．(变条件)本例(2)中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”变为“α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？
解：(1)若α终边在第一象限内，解答过程同本例(2)．
(2)若α终边在第三象限内，设点P(x，2x)(x＜0)是其终边上任意一点，
因为r＝|OP|＝＝－x(x＜0)，
所以sin
α＝＝＝－，
cos
α＝＝＝－.
综上可知，sin
α＝±，cos
α＝±.
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)，则sin
α＝，cos
α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．　
　如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则tan
α＝________．　
解析：设点A的横坐标为x，则由＝1，解得x＝±，因为角α为第二象限角，所以x＝－，cos
α＝－，所以tan
α＝＝－.
答案：－
探究点2　三角函数值符号的判定
　
判断下列各式的符号：
(1)tan
120°sin
269°；
(2)cos
4tan.
【解】　(1)因为120°角是第二象限角，
所以tan
120°<0.
因为269°角是第三象限角，
所以sin
269°<0.
所以tan
120°sin
269°>0.
(2)因为π<4<，
所以4弧度角是第三象限角，
所以cos
4<0，因为－＝－6π＋，
所以－是第一象限角，
所以tan>0，
所以cos
4tan<0.
正弦、余弦函数值的正负规律
　
1．若－＜α＜0，则点(tan
α，cos
α)位于(　　)
A．第一象限　　　　　　　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选B.由－＜α＜0知α为第四象限角，
则tan
α＜0，cos
α＞0，点在第二象限．
2．已知sin
θcos
θ<0，且|cos
θ|＝cos
θ，则角θ是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：选D.由|cos
θ|＝cos
θ，可知cos
θ≥0，结合sin
θcos
θ<0，得sin
θ<0，cos
θ>0，所以角θ是第四象限角，故选D.
探究点3　公式一的简单应用
　求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin
810°＋tan
1
125°＋cos
420°.
【解】　(1)原式＝cos＋tan
＝cos
＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)
＝sin
90°＋tan
45°＋cos
60°
＝1＋1＋＝.
利用公式一求解任意角的三角函数的步骤
　
1．sin
585°的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A.sin
585°＝sin(360°＋225°)＝sin
225°.
由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为，所以sin
225°＝－.
2．tan的值为(　　)
A.
B.
C.
D．1
解析：选B.tan＝
tan＝tan＝.
3．sin＋cos
·tan
4π＝________．
解析：原式＝sin＋
cos·tan(4π＋0)＝sin
＋cos
×0＝.
答案：
1．若角α是第三象限角，则点P(2，sin
α)所在象限为(　　)
A．第一象限　　　　　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D.由α是第三象限角知，sin
α<0，因此P(2，sin
α)在第四象限，故选D.
2．若cos
α＝－，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是(　　)
A．2
B．±2
C．－2
D．－2
解析：选D.r＝，由题意得＝－，
所以x＝－2.故选D.
3．给出下列函数值：①sin(－1
000°)；②cos；③tan
2，
其中符号为负的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B.因为－1
000°＝－3×360°＋80°，所以－1
000°是第一象限角，
则sin(－1
000°)>0；因为－是第四象限角，所以cos>0；因为2
rad≈2×57°18′＝114°36′是第二象限角，所以tan
2<0.故符号为负的个数为1.
4．cos
1
470°＝____________．
解析：cos
1
470°＝cos(4×360°＋30°)＝cos
30°＝.
答案：
5．求下列三角函数值：
(1)sin
π＋cos
π；
(2)sin2
＋tan2tan
.
解：(1)sin
π＋cos
π
＝sin＋cos
＝sin
＋cos
＝＋＝1.
(2)原式＝sin2＋tan2·tan
＝sin2＋tan2
·tan
＝＋×1＝＋＝.
[A　基础达标]
1．(2020·保定高一检测)若45°角的终边上有一点(4－a，a＋1)，则a＝(　　)
A．3　　　　　
　　　　　
B．－
C．1
D.
解析：选D.当a＝4时，该点为(0，5)，不在45°角的终边上，舍去；
当a≠4时，
因为tan
45°＝＝1，
所以a＝.
2．如果α的终边过点(2sin
30°，－2cos
30°)，那么sin
α＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选D.依题意可知点(2sin
30°，－2cos
30°)，即(1，－)，则r＝＝2，因此sin
α＝＝－.
3．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cos
α＝－，则m＝(　　)
A．8
B．－8
C．4
D．－4
解析：选B.由题意得r＝|OP|＝＝，故cos
α＝＝－，解得m＝－8.
4．sin
3·cos
5·tan
4的值是(　　)
A．正数
B．负数
C．0
D．不存在
解析：选A.因为<3<π，π<4<，<5<2π，
所以sin
3>0，cos
5>0，tan
4>0，
所以sin
3·cos
5·tan
4>0.故选A.
5．“点P(tan
α，cos
α)在第三象限”是“角α为第二象限角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.因为P(tan
α，cos
α)在第三象限，
所以tan
α<0，cos
α<0，
所以α为第二象限角，反之也成立，故选C.
6．计算sin(－1
410°)＝________．
解析：sin(－1
410°)＝sin(－4×360°＋30°)＝sin
30°＝.
答案：
7．若sin
α·cos
α＜0，则α在第________象限．
解析：由sin
α·cos
α＜0，知sin
α＞0且cos
α＜0或sin
α＜0且cos
α＞0.
若sin
α＞0且cos
α＜0，则α在第二象限，若sin
α＜0且cos
α＞0，则α在第四象限．
答案：二或四
8．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为____________．
解析：因为sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，
所以sin
α＝－.又角α的终边过点P(3，－4t)，故sin
α＝＝－，解得t＝.
答案：
9．计算：
(1)sin
390°＋cos(－660°)＋3tan
405°－cos
540°；
(2)sin＋tan
π－2cos
0＋tan
－sin
.
解：(1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)
＝sin
30°＋cos
60°＋3tan
45°－cos
180°
＝＋＋3×1－(－1)＝5.
(2)原式＝sin＋tan
π－2cos
0＋tan－sin＝sin
＋tan
π－2cos
0＋tan
－sin
＝1＋0－2＋1－＝－.
10．已知角α的终边上一点P(m，)，且cos
α＝，求sin
α，tan
α的值．
解：由题意得x＝m，y＝，
所以r＝|OP|＝，
所以cos
α＝＝＝，
解得m＝(负值舍去)，则r＝2，
所以sin
α＝＝＝，tan
α＝＝＝.
[B　能力提升]
11．(多选)函数y＝＋＋的值可能为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．3
解析：选AD.当x是第一象限角时，y＝3；
当x是第二象限角时，y＝－1；
当x是第三象限角时，y＝－1；
当x是第四象限角时，y＝－1.
故函数y＝＋＋的值域是{－1，3}．
12．“θ是第二象限角”是“tan>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为θ是第二象限角，
所以2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ＋<所以是第一或第三象限角，
所以tan>0.
反之，当tan>0时，kπ<所以2kπ<θ<2kπ＋π，k∈Z，
所以θ是第一象限角或第二象限角，故选A.
13．(一题两空)已知角α的终边经过点P(3，4)，则
(1)tan(－6π＋α)的值为________；
(2)·sin(α－2π)·cos(2π＋α)的值为________．
解析：设x＝3，y＝4则r＝＝5，
所以sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝＝，
(1)tan(－6π＋α)＝tan
α＝.
(2)原式＝·sin
α·cos
α＝sin2
α＝＝.
答案：(1)　(2)
14．已知＝－，且lg(cos
α)有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin
α的值．
解：(1)由＝－，可知sin
α＜0，
由lg(cos
α)有意义可知cos
α＞0，
综上可知角α的终边在第四象限内．
(2)因为点M在单位圆上，
所以＋m2＝1，解得m＝±.
又由(1)知α是第四象限角，所以m＜0，所以m＝－.
由正弦函数的定义可知sin
α＝－.
[C　拓展探究]
15．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
解：由题意可知P(a，－b)，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝－；
由题意可知Q(b，a)，则sin
β＝，cos
β＝，tan
β＝，
所以＋＋＝－1－＋＝0.
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)