1.5.2.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第二节 三角函数的概念 第二课时 同角三角函数的基本关系

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教材考点
学习目标
核心素养
同角三角函数基本关系
理解同角三角函数基本关系式
数学运算
同角三角函数基本关系的应用
能正确运用同角三角函数的基本关系进行求值、化简和证明
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P182－P184，并思考以下问题：
1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？
2．同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？
同角三角函数的基本关系
关系式
文字表述
平方关系
sin2α＋cos2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1　
商数关系
＝tan__α
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
■微思考
(1)平方关系和商数关系成立的条件分别是什么？
提示：平方关系对于α∈R都成立；商数关系中公式成立的条件必须为：α≠kπ＋，k∈Z.
(2)对任意的角α，sin2
2α＋cos2
2α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的是同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin24α＋cos24α＝1都成立．(　　)
(2)对任意角α，＝tan
都成立．(　　)
(3)存在角α，β有sin2α＋cos2β＝1.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√
2．已知α∈，sin
α＝，则cos
α等于(　　)
A.　　　　　　　　　　　
B．－
C．－
D.
答案：B
3．化简：(1＋tan2
α)·cos2
α等于(　　)
A．－1　　　　B．0
C．1　　　　D．2
答案：C
4．已知3sin
α＋cos
α＝0，则tan
α＝________．
答案：－
探究点1　利用同角基本关系式求值
　(1)已知α是第二象限角，且cos
α＝－，则tan
α的值是(　　)
A.　　　　　　　　　　　
B．－
C.
D．－
(2)已知＝2，则＝________．
【解析】　(1)因为α为第二象限角，
所以sin
α＝＝
＝，
所以tan
α＝＝＝－.
(2)由＝2，化简得sin
α＝3cos
α，
所以tan
α＝3.
原式＝＝.
【答案】　(1)D　(2)
(变问法)本例(2)条件不变，计算2sin2α－3sin
αcos
α的值．
解：因为tan
α＝3，
所以原式＝
＝
＝
＝＝.
(1)求三角函数值的方法
①已知sin
θ(或cos
θ)求tan
θ常用以下方法求解
　
②已知tan
θ求
sin
θ(或cos
θ)常用以下方法求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
(2)已知角α的正切求关于sin
α，cos
α的齐次式的方法
①关于sin
α，cos
α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin
α，cos
α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos
α的n次幂，其式子可化为关于tan
α的式子，再代入求值；
②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan
α的式子，再代入求值．
1．(2020·贺州高二检测)如果tan
θ＝2，那么1＋sin
θcos
θ的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B.1＋sin
θcos
θ＝＝＝＝.
2．已知α是第二象限角，且tan
α＝－，则cos
α＝________.
解析：因为α是第二象限角，故sin
α＞0，cos
α＜0，
又tan
α＝－，
所以＝－，
又sin2α＋cos2α＝1，解得cos
α＝－.
答案：－
探究点2　sin
θ±cos
θ型求值问题
　已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，
求：(1)tan
θ；(2)sin
θ－cos
θ.
【解】　(1)由sin
θ＋cos
θ＝，
得cos
θ＝－sin
θ.
又sin2
θ＋cos2
θ＝1，
代入得sin2
θ＋(－sin
θ)2＝1，
整理得sin2
θ－sin
θ－＝0，
即(sin
θ＋)(sin
θ－)＝0，
解得sin
θ＝－或sin
θ＝.
又θ∈(0，π)，所以sin
θ>0，故sin
θ＝.
所以cos
θ＝－sin
θ＝－
＝－，
故tan
θ＝＝－.
(2)法一：由(1)可知，
sin
θ－cos
θ＝－＝.
法二：因为θ∈(0，π)，所以sin
θ>0，
又sin
θ＋cos
θ＝，两边平方，
整理得sin
θcos
θ＝－<0，
所以cos
θ<0.
又(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ
＝1＋＝，
所以sin
θ－cos
θ＝.
已知sin
θ±cos
θ，sin
θcos
θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
(1)(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ；
(2)(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ；
(3)(sin
θ＋cos
θ)2＋(sin
θ－cos
θ)2＝2；
(4)(sin
θ－cos
θ)2＝(sin
θ＋cos
θ)2－4sin
θcos
θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin
θ＋cos
θ，sin
θ－cos
θ，sin
θcos
θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．　
　已知sin
α＋cos
α＝，α∈(0，π)，则tan
α＝________．
解析：因为sin
α＋cos
α＝，
所以(sin
α＋cos
α)2＝，
即2sin
αcos
α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin
α>0，cos
α<0，所以α∈，
故sin
α－cos
α＝＝，
可得sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－.
答案：－
探究点3　利用同角三角函数关系化简
　化简下列各式：
(1)－；
(2).
【解】　(1)－
＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)
＝
＝＝1.
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．　
1．化简：sin2αtan
α＋＋2sin
αcos
α.
解：原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin
αcos
α＝
＝
＝.
2．若<α<π，化简＋.
解：因为<α<π，
所以cos
α＝－，
sin
α＝，
所以原式＝＋
＝－
＝－＝0.
探究点4　利用同角三角函数关系证明
　求证：＝.
【证明】　法一：因为右边
＝
＝
＝
＝
＝
＝左边，
所以原等式成立．
法二：因为左边＝
＝，
右边＝
＝
＝
＝
＝，
所以左边＝右边，原等式成立．
证明简单三角恒等式的思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．　
　求证：＝.
证明：左边＝
＝
＝＝＝右边．
所以原式成立．
1．已知sin
α＝，tan
α＝，则cos
α＝(　　)
A.　　　　　　　　　　
B.
C.　　　　
D.
解析：选B.因为tan
α＝，所以cos
α＝＝＝.
2．(2020·周口高二检测)已知＝2，则sin
θcos
θ的值是(　　)
A.
B．±
C.
D．－
解析：选C.由条件得sin
θ＋cos
θ＝2sin
θ－2cos
θ，即3cos
θ
＝sin
θ，
所以tan
θ＝3，
所以sin
θcos
θ＝＝＝＝.
3．化简(1－cos
α)的结果是(　　)
A．sin
α
B．cos
α
C．1＋sin
α
D．1＋cos
α
解析：选A.(1－cos
α)＝
(1－cos
α)＝＝＝sin
α.
4．若sin
θ＝－，tan
θ>0，则cos
θ＝____________．
解析：由已知条件可得角θ的终边在第三象限，所以cos
θ＝－＝
－＝－.
答案：－
5．已知cos
α＝－，求sin
α，tan
α的值．
解：因为cos
α＝－<0，所以α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin
α>0，tan
α<0，
所以sin
α＝＝＝，tan
α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin
α<0，tan
α>0，
所以sin
α＝－＝－＝－，tan
α＝＝.
[A　基础达标]
1．已知sin
α＝－，且α∈，则tan
α＝(　　)
A．－　　　　　　　　
B.
C.
D．－
解析：选C.由α∈，
得cos
α<0，又sin
α＝－，所以cos
α＝－＝－，所以tan
α＝＝.
2．若α是第四象限角，tan
α＝－，则sin
α＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选D.因为tan
α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，
所以sin
α＝±.因为α是第四象限角，所以sin
α＝－.
3．已知sin
α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－
B．－
C.
D.
解析：选A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin
θcos
θ的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选A.由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，所以sin2θcos2θ＝.因为θ是第三象限角，所以sin
θ<0，cos
θ<0，所以sin
θcos
θ＝.
5.＝，则sin2
α－sin
αcos
α－3cos2
α＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.由＝可知，cos
α≠0，
所以＝＝，
所以tan
α＝－3，
所以sin2
α－sin
αcos
α－3cos2
α
＝
＝＝＝.
6．(一题两空)已知sin
α－cos
α＝(0<α<π)，则sin
α＝________；tan
α＝________．
解析：由题意可得
解得sin
α＝，cos
α＝－，则tan
α＝＝－1.
答案：　－1
7．若tan
α＋＝3，则sin
αcos
α＝________．
解析：因为tan
α＋＝3，
所以＋＝3，
即＝3，
所以sin
αcos
α＝.
答案：
8．已知＝－5，那么tan
α＝________．
解析：易知cos
α≠0，由＝－5，得＝－5，解得tan
α＝－.
答案：－
9．化简下列各式：
(1)；
(2)tan
α(其中α是第二象限角)．
解：(1)＝＝＝＝1.
(2)因为α是第二象限角，所以sin
α>0，cos
α<0.　
故tan
α＝tan
α
＝tan
α＝·
＝·＝－1.
10．求证：sin
α(1＋tan
α)＋cos
α·＝＋.
证明：左边＝sin
α＋
cos
α　
＝sin
α＋＋cos
α＋
＝＋
＝＋＝右边．
即原等式成立．
[B　能力提升]
11．若△ABC的内角A满足sin
Acos
A＝，则sin
A＋cos
A的值为(　　)
A.　　　　　　　　　
B．－
C.
D．－
解析：选A.因为A为△ABC的内角，且sin
Acos
A＝＞0，所以A为锐角，所以sin
A＋cos
A＞0.又1＋2sin
Acos
A＝1＋，即(sin
A＋cos
A)2＝，
所以sin
A＋cos
A＝.
12．(多选)下列计算或化简结果正确的是(　　)
A.＝2
B．若sin
θ·cos
θ＝，则tan
θ＋＝2
C．若tan
x＝，则＝1
D．若α为第一象限角，则＋＝2
解析：选ABD.A正确，＝·＝2；
B正确；tan
θ＋＝＋＝＝2；
C不正确，＝＝＝2；
D正确，因为α为第一象限角，所以原式＝＋＝2.
综上，A，B，D正确，故选ABD.
13．(一题两空)已知sin
θ＋cos
θ＝，且0<θ<π，则：
(1)tan
θ的值为________；
(2)的值为________．
解析：(1)因为sin
θ＋cos
θ＝，①
所以(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝，
所以2sin
θcos
θ＝－<0，
因为θ∈(0，π)，所以sin
θ>0，cos
θ<0，
所以sin
θ－cos
θ>0，
所以(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θ－cos
θ＝，②
由①②得，sin
θ＝，cos
θ＝－，
所以tan
θ＝＝－.
(2)法一：由(1)知sin
θ＝，
cos
θ＝－，
所以
＝
＝.
法二：由(1)得tan
θ＝－，
所以原式＝＝＝.
答案：(1)－　(2)
14．已知sin
α＝，求的值．
解：
＝
＝
＝
＝＝，
当角α是第一象限角时，cos
α＝，
tan
α＝＝，所以原式＝＝；
当角α是第二象限角时，cos
α＝－，tan
α＝＝－，所以原式＝＝.
[C　拓展探究]
15．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin
α，cos
α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
因为sin
α<0，cos
α<0，所以sin
α＋cos
α＝－m<0②，
sin
αcos
α＝>0③.
又sin2α＋cos2α＝1，所以(sin
α＋cos
α)2－2sin
αcos
α＝1.
把②③代入上式得－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.
因为m1＝2不满足条件①，舍去；因为m2＝－不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．
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