1.5.3.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第三节 诱导公式 第二课时 诱导公式应用提升

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[A　基础达标]
1．化简：sin＝(　　)
A．sin
x　　　　　　　　　　
B．cos
x
C．－sin
x
D．－cos
x
解析：选B.sin＝sin
＝sin＝cos
x.
2．已知sin
θ＝，则cos(450°＋θ)的值是(　　)
A.
B．－
C．－
D.
解析：选B.cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin
θ＝－.
3．已知sin＝，则cos的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A.cos
＝sin＝sin＝－sin＝－.
4．已知α∈，cos＝，则tan(2
020π－α)＝(　　)
A.
B．－
C.或－
D.或－
解析：选B.由cos＝得sin
α＝－，
又0<α<，所以π<α<，所以cos
α＝－＝－，tan
α＝.因为tan(2
020π－α)＝tan(－α)＝－tan
α＝－，故选B.
5．已知f(sin
x)＝cos
3x，则f(cos
10°)的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A.f(cos
10°)＝f(sin
80°)＝cos
240°＝cos(180°＋60°)＝－cos
60°＝－.
6．已知sin(π＋α)＝－，则cos＝________．
解析：因为sin(π＋α)＝－sin
α＝－，
所以sin
α＝，cos
＝cos＝－sin
α＝－.
答案：－
7．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝________．
解析：原式＝－sin
α·sin
α－cos
α·cos
α＝－1.
答案：－1
8．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
解析：因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，
所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋＝.
答案：
9．化简：(1)·sincos；
(2).
解：(1)原式＝·sin(－sin
α)
＝·(－sin
α)
＝·(－cos
α)(－sin
α)＝－cos2
α.
(2)原式＝
＝＝1.
10．已知sin
θ，cos
θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．
(1)求cos＋sin的值；
(2)求tan(π－θ)－的值．
解：由已知得原方程判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，解得a≥4或a≤0.
根据根与系数的关系，得
由(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ，得a2－2a－1＝0，
解得a＝1－或a＝1＋(舍去)．
所以sin
θ＋cos
θ＝sin
θcos
θ＝1－.
(1)cos＋sin
＝sin
θ＋cos
θ＝1－.
(2)tan(π－θ)－＝－tan
θ－
＝－
＝－
＝－＝－＝＋1.
[B　能力提升]
11．已知α，β∈(0，)，且α，β的终边关于直线y＝x对称，若sin
α＝，则sin
β＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B.由α，β∈(0，)，且α，β的终边关于直线y＝x对称知α＋β＝，因此β＝－α，
所以sin
β＝sin(－α)＝cos
α＝＝，故选B.
12．(多选)已知f(x)＝sin
x，下列式子中成立的是(　　)
A．f(x＋π)＝sin
x
B．f(2π－x)＝sin
x
C．f＝－cos
x
D．f(π－x)＝f(x)
解析：选CD.f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin
x，
f(2π－x)＝sin(2π－x)＝－sin
x，
f＝sin＝－sin＝－cos
x，
f(π－x)＝sin(π－x)＝sin
x＝f(x)．故A、B不成立，C、D成立．
13．(一题两空)已知角α的终边经过点P(m，2)，sin
α＝且α为第二象限角，则：
(1)m＝________；
(2)若tan
β＝，则的值为________．
解析：(1)由三角函数定义可知sin
α＝＝，
解得m＝±1.
因为α为第二象限角，所以m＝－1.
(2)由(1)知tan
α＝－2，又tan
β＝，
所以
＝－
＝－
＝－＝.
答案：(1)－1　(2)
14．已知函数f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值；
(3)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos
α.　
(2)f＝－cos＝sin
α，因为f(α)·f＝－，所以cos
α·sin
α＝，可得(sin
α－cos
α)2＝，由≤α≤，得cos
α>sin
α，所以f(α)＋f＝sin
α－cos
α＝－.
(3)由(2)得f＝2f(α)即为sin
α＝－2cos
α，联立sin2
α＋cos2
α＝1，解得cos2
α＝，所以f(α)·f＝－sin
αcos
α＝2cos2
α＝.
[C　拓展探究]
15．是否存在角α，β，α∈(－，)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
所以sin2α＝.
又α∈(－，)，所以α＝或α＝－.
将α＝代入②，得cos
β＝.
又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知符合．
将α＝－代入②得cos
β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知不符合．
综上可知，存在α＝，β＝满足条件．
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