1.5.3.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第三节 诱导公式 第一课时 诱导公式二、三、四

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教材考点
学习目标
核心素养
诱导公式二、三、四
理解诱导公式的推导方法
逻辑推理
诱导公式二、三、四的应用
能运用公式进行三角函数式的求值、化简以及证明
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P188－P190，并思考以下问题：
1．π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
2．诱导公式二、三、四的内容是什么？
1．公式二
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α
2.公式三
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan
α
3.公式四
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式
sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α
■微思考
这几组公式有什么统一的记忆方法吗？
提示：(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．
“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin
α.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．(　　)
(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．(　　)
(3)由诱导公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．(　　)
(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．下列式子中正确的是(　　)
A．sin(π－α)＝－sin
α　　　
B．cos(π＋α)＝cos
α
C．cos
α＝sin
α
D．sin(2π＋α)＝sin
α
答案：D
3．已知tan
α＝6，则tan(π－α)＝________．
答案：－6
4．cos
120°＝________，sin＝________．
答案：－　－
探究点1　给角求值问题
利用公式求下列三角函数值：
(1)cos
π；(2)tan(－855°)；
(3)sin(－945°)＋cos(－π)；
(4)tan
π＋sin
π.
【解】　(1)cos
π＝cos(π＋6π)＝cosπ＝cos(2π－)＝cos＝.
(2)tan(－855°)＝－tan
855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan
135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan
45°＝1.
(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos
＝sin(－225°)＋cos
＝－sin(180°＋45°)＋cos
＝sin
45°－cos＝－＝.
(4)原式＝tan(π－)＋sin(2π－)
＝－tan
－sin
＝－1－
＝－.
利用诱导公式解决给角求值的步骤
　
1．tan＝(　　)
A．－　　　　　　　　　　
B.
C．－
D.
解析：选A.tan＝tan(2π－)＝
－tan＝－，故选A.
2．求下列各三角函数值：
(1)cos；
(2)tan(－765°)；
(3)sin
·cos
·tan
.
解：(1)cos＝cos
＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(2)tan(－765°)＝－tan
765°＝－tan(45°＋2×360°)
＝－tan
45°＝－1.
(3)sin
·cos
·tan
＝sincos·
tan
＝－sin
cos
tan
＝－××1＝－.
探究点2　化简求值问题
化简下列各式．
(1)；
(2).
【解】　(1)原式＝
＝
＝－＝－tan
α.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan
.　
1．化简：＝________.
解析：＝
＝＝＝1.
答案：1
2．化简＝________.
解析：原式＝
＝＝1.
答案：1
探究点3　给值(式)求值问题
(1)若cos(2π－α)＝且α∈，则sin(π－α)＝(　　)
A．－
B．－
C．－
D．±
(2)已知cos＝，则cos＝________．
【解析】　(1)因为cos(2π－α)＝cos
α＝，
且α∈，所以sin
α＝－＝－，
所以sin(π－α)＝sin
α＝－.
(2)cos＝cos
＝－cos＝－.
【答案】　(1)B　(2)－
1．(变问法)若本例(2)中的条件不变，求cos.
解：cos＝cos＝cos
＝cos＝.
2．(变问法)若本例(2)中的条件不变，求cos－sin2的值．
解：因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．　
1．若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(π－α)等于(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：选D.因为sin(π＋α)＝－sin
α，
根据条件得sin
α＝－，又α∈，
所以cos
α＝－＝－.
所以tan
α＝＝＝.
所以tan(π－α)＝－tan
α＝－.
2．已知tan(π＋α)＝3，求的值．
解：因为tan(π＋α)＝3，
所以tan
α＝3.
故
＝
＝＝＝7.
1．计算cos(－600°)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　
B．－
C.
D．－
解析：选D.cos(－600°)＝cos
600°＝cos(360°＋240°)＝cos
240°＝cos(180°＋60°)＝－cos
60°＝－.
2．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于(　　)
A．－
B.
C．±
D.
解析：选A.由cos(α－π)＝－，得cos
α＝.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sin
α＝－＝－.
3．计算tan
690°＝________.
解析：tan
690°＝tan(2×360°－30°)＝tan(－30°)
＝－tan
30°＝－.
答案：－
4.可化简为________．
解析：
＝＝
＝|1－sin
θ|＝1－sin
θ.
答案：1－sin
θ
5．化简：.
解：原式＝
＝
＝＝－cos2α.
[A　基础达标]
1．cos的值为(　　)
A．－　　　　　　　　　
B．－
C.
D.
解析：选C.cos＝cos(2π－)＝cos(－)＝cos＝.
2．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　)
A．sin
α＝sin
β
B．sin(α－2π)＝sin
β
C．cos
α＝cos
β
D．cos(2π－α)＝－cos
β
解析：选C.由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos
α＝cos
β.
3．sin
600°＋tan(－300°)的值是(　　)
A．－
B.
C．－＋
D.＋
解析：选B.原式＝sin(360°＋180°＋60°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin
60°＋tan
60°＝.
4．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于(　　)
A．－m
B．－m
C.m
D.m
解析：选B.因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sin
α＝－m，
所以sin
α＝，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α＝－m.故选B.
5．设f(α)＝，则f的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选D.f(α)＝
＝＝－.
所以f＝－＝－＝－.
6．sin＝________．
解析：sin＝－sin
＝－sin＝sin
＝sin＝－sin
＝－.
答案：－
7．化简：·tan(2π－α)＝________．
解析：原式＝·tan(－α)
＝·＝－1.
答案：－1
8．当θ＝时，(k∈Z)的值等于________．
解析：原式＝＝－.
当θ＝时，原式＝－＝2.
答案：2
9．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：
＝－.
证明：因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，
所以－sin
α＝2cos
α，所以sin
α＝－2cos
α.
所以左边＝
＝＝＝－＝右边，
所以原式得证．
10．求值：sin(－1
200°)×cos
1
290°＋cos(－1
020°)×sin(－1
050°)＋tan
855°.
解：原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)
＝－sin
120°×cos
210°－cos
300°×sin
330°＋tan
135°
＝－sin
(180°－60°)×cos
(180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°)　
＝sin
60°×cos
30°＋cos
60°×sin
30°－tan
45°
＝×＋×－1
＝0.
[B　能力提升]
11．已知tan＝，则tan＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选B.因为tan＝tan＝－tan，
所以tan＝－.
12．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sin
β＝
B．cos(π＋β)＝
C．tan
β＝
D．cos(2π－β)＝
解析：选ACD.因为sin(π＋α)＝－sin
α＝－，
所以sin
α＝，
若α＋β＝，则β＝－α.
A中sin
β＝sin＝cos
α＝±，故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin
α＝－，故B不符合条件；
C中，tan
β＝，即sin
β＝cos
β，
又sin2β＋cos2
β＝1，故sin
β＝±，即C符合条件；
D中，cos(2π－β)＝cos
β＝，
所以sin
β＝±，故D符合条件．故选ACD.
13．(一题两空)已知sin(α＋π)＝，且sin
αcos
α<0,
则
(1)tan
α＝________；
(2)＝________．
解析：(1)因为sin(α＋π)＝，
所以sin
α＝－，
又因为sin
αcos
α<0，
所以cos
α>0，cos
α＝＝，
所以tan
α＝－.
(2)原式＝
＝＝－.
答案：(1)－　(2)－
14．已知f(n)＝sin(n∈Z)，
求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
020)的值．
解：f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝，f(3)＝sin
π＝0，f(4)＝sin＝－，f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin
2π＝0，f(7)＝sin＝sin
＝f(1)，f(8)＝f(2)，…，
因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋336×0＝.
[C　拓展探究]
15．化简下列各式．
(1)(k∈Z)；
(2).
解：(1)当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝－1.
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