1.5.4.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第四节 三角函数的图像与性质 第一课时 正弦函数、余弦函数的图象

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教材考点
学习目标
核心素养
正弦函数、余弦函数的图象
了解利用正弦线作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象
数学抽象、直观想象
正、余弦函数图象的简单应用
会用正弦函数、余弦函数的图象解简单问题
直观想象
问题导学
预习教材P196－P200，并思考以下问题：
1．如何把y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象变换为y＝sin
x，x∈R的图象？
2．正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？
正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
图象
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
图象画法
五点法
五点法
关键五点
(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)
(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)
■微思考
通过五点作图法，怎样由y＝sin
x的图象得y＝cos
x的图象？
提示：由y＝sin
x的图象向左平移个单位得到y＝cos
x的图象．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin
x的图象向右平移个单位得到函数y＝cos
x的图象．(　　)
(2)函数y＝cos
x的图象关于x轴对称．(　　)
(3)函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象与函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象的形状完全一致．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．用“五点法”画y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象时，下列点不是关键点的是(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C．(π，0)
D．(2π，0)
解析：选A.由“五点法”知五个关键点分别为(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，故选A.
3．函数y＝cos
x，x∈R图象的一条对称轴是(　　)
A．x轴
B．y轴
C．直线x＝
D．直线x＝
答案：B
4．请补充完整下面用“五点法”作出函数y＝－sin
x(0≤x≤2π)的图象时的列表．
x
0
①
2π
－sin
x
②
－1
0
③
0
①____________；②____________；③____________．
答案：π　0　1
探究点1　用“五点法”作三角函数的图象
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝＋sin
x，x∈[0，2π]；
(2)y＝1－cos
x，x∈[0，2π]．
【解】　(1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
＋sin
x
－
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
(2)列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－cos
x
0
1
2
1
0
描点连线，其图象如图所示．
1．(变条件)若本例(1)中“x∈[0，2π]”改为“x∈”，如何画函数图象．
解：列表：
x
－
－
0
π
sin
x
－
－1
0
1
0
－
＋sin
x
0
－
0
描点，并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示．
2．(变条件)若本例(2)中“函数y＝1－cos
x”换为“y＝1－sin
x”，其图象又如何呢？
解：列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1－sin
x
1
0
1
2
1
描点连线，其图象如图所示．
作形如y＝asin
x＋b(或y＝acos
x＋b)，
x∈[0，2π]的图象的三个步骤
　
　作出函数y＝2sin
x(0≤x≤2π)的简图．
解：列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
2sin
x
0
2
0
－2
0
描点并用光滑的曲线连接，可得y＝2sin
x的图象如图所示．
探究点2　正、余弦函数曲线的简单应用
根据正弦曲线求满足sin
x≥－在[0，2π]上的x的取值范围．
【解】　在同一坐标系内作出函数y＝sin
x与y＝－的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0，2π]内的情形，满足sin
x≥－的x∈∪，所以满足sin
x≥－在[0，2π]上的x的取值范围是
.
利用三角函数图象解sin
x>a
(或cos
x>a)的三个步骤
(1)作出y＝a，y＝sin
x(或y＝cos
x)的图象．　
(2)确定sin
x＝a(或cos
x＝a)的x值．
(3)确定sin
x>a(或cos
x>a)的解集．
[注意]　解三角不等式sin
x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
1．满足cos
x>0，x∈[0，2π]的x的取值范围是________．
解析：画出函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象如图所示．
由图象可知，在[0，2π]上，满足cos
x>0的x的取值范围为∪.
答案：∪
2．求关于x的不等式x≤
，x∈[0，2π]的解集．
解：作出y＝sin
x在[0，2π]上的图象．如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin
x，x∈[0，2π]图象的交点横坐标为和；作直线y＝，该直线与y＝sin
x，x∈[0，2π]图象的交点横坐标为和，则不等式的解集为∪.
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是(　　)
解析：选B.y＝sin(－x)＝－sin
x与y＝sin
x关于x轴对称．
2．函数y＝－cos
x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)
A.　　　　　　　　
B．(π，1)
C．(0，1)　　
D．(2π，1)
解析：选B.用五点作图法作出函数y＝－cos
x(x>0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．
3．在[0，2π]上，函数y＝的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B.依题意得：2sin
x－≥0，即sin
x≥.作出y＝sin
x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图所示．由图象可知，满足sin
x≥的x的取值范围是，故选B.
4．(一题两空)要得到y＝cos
x，x∈[－2π，0]的图象，只需将y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象向________平移________个单位长度．
解析：向左平移2π个单位长度即可．
答案：左　2π
5．利用“五点法”作出函数y＝sin的图象．
解：列表如下：
x
π
2π
x－
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
描点连线，如图所示．
[A　基础达标]
1．用“五点法”作函数y＝cos
2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　)
A．0，，π，，2π　　　　　　
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
解析：选B.令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B.
2.如图是下列哪个函数的图象(　　)
A．y＝1＋sin
x，x∈[0，2π]
B．y＝1＋2sin
x，x∈[0，2π]
C．y＝1－sin
x，x∈[0，2π]
D．y＝1－2sin
x，x∈[0，2π]
解析：选C.当x＝时，y＝0，排除A、B、D.
3．函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称　　　　　　
B．关于原点对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析：选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的简图(图略)，易知它们关于x轴对称．
4．在(0，2π)内使sin
x>|cos
x|成立的x的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.
解析：选A.因为sin
x>|cos
x|，
所以sin
x>0，
所以x∈(0，π)．
在同一坐标系中画出y＝sin
x，x∈(0，π)与y＝|cos
x|，x∈(0，π)的图象，如图．
观察图象易得使sin
x>|cos
x|成立的x∈，故选A.
5．函数y＝1＋sin
x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B.由函数y＝1＋sin
x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点．
6．已知函数f(x)＝3＋2cos
x的图象经过点，则b＝________．
解析：b＝f＝3＋2cos＝4.
答案：4
7．若方程sin
x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sin
x∈[－1，1]，要使得方程sin
x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
答案：
8．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是________．
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象(图略)，由图易得－＜x＜0或＋2kπ＜x＜π＋2kπ，k∈N.
答案：
9．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝2cos
x，x∈[0，2π]．
(2)y＝sin，x∈.
解：(1)①列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
2cos
x
2
0
－2
0
2
②描点连线如图．
(2)①列表：
x
－
π
π
π
x＋
0
π
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
②描点连线如图．
10．作出函数y＝－sin
x，x∈[－π，π]的简图，观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
(1)sin
x>0；(2)sin
x<0.
解：利用五点法作图．
根据图象，可知图象在x轴上方时，－sin
x>0，
在x轴下方时，－sin
x<0，
所以(1)当x∈(0，π)时，－sin
x<0，sin
x>0；
(2)当x∈(－π，0)时，－sin
x>0，sin
x<0.
[B　能力提升]
11．函数y＝cos
x＋|cos
x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　)
解析：选D.由题意得，
y＝
故选D.
12．(多选)对于函数f(x)＝下列说法中不正确的是(　　)
A．该函数的值域是[－1，1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π解析：选ABC.画出函数f(x)的图象(图略)，由图象容易看出，该函数的值域是；
当且仅当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；
当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；
当且仅当2kπ＋π13．函数y＝2cos
x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
解析：如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
答案：4π
14．已知函数f(x)＝.
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值．
解：(1)作出函数f(x)＝
的图象，
如图①所示．
(2)因为f(x)＝，所以在图①基础上再作直线y＝，如图②所示，
则当－π≤x<0时，由图象知x＝－，当0≤x≤π时，x＝或x＝.综上，可知x的值为－或或.
[C　拓展探究]
15．在同一坐标系中，作函数y＝sin
x和y＝lg
x的图象，根据图象判断出方程sin
x＝lg
x的解的个数．
解：建立平面直角坐标系xOy，先画出函数y＝sin
x的图象，描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg
x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin
x＝lg
x的解有3个．
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