1.5.4.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第四节 三角函数的图像与性质 第二课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性

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教材考点
学习目标
核心素养
函数的周期性
了解周期函数的概念
数学抽象
正、余弦函数的周期性
理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期
数学抽象、数学运算
正、余弦函数的奇偶性
理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性
逻辑推理
问题导学
预习教材P201－P203，并思考以下问题：
1．周期函数的定义是什么？
2．如何利用周期函数的定义求正、余弦函数的周期？
3．正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
1．函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
■微思考1
是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一，如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
图象
定义域
R
R
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
■微思考2
函数y＝Asin(ωx＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？y＝Acos(ωx＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？
提示：根据诱导公式．当φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)为奇函
数；当φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，当φ＝kπ，k∈Z时，y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数(k≠0)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin＝sin，则是正弦函数y＝sin
x的一个周期．(　　)
(2)函数y＝sin
x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　)
(3)因为sin(2x＋2π)＝sin
2x，所以函数y＝sin
2x的最小正周期为2π.(　　)
(4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N
也是函数f(x)的周期．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．下列函数中，最小正周期为4π的是(　　)
A．y＝sin
x　　　　　　　　
B．y＝cos
x
C．y＝sin
D．y＝cos
2x
答案：C
3．函数y＝2sin是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
答案：B
4．函数y＝3－cos
x的图象(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线x＝对称
答案：B
5．若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝3，则f(2)＝________．
答案：3
探究点1　正、余弦函数的周期问题
求下列三角函数的最小正周期T：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝cos(2x＋)；
(3)f(x)＝|sin
x|.
【解】　(1)令z＝x＋，
因为sin(2π＋z)＝sin
z，
所以f(2π＋z)＝f(z)，
f＝f，
所以T＝2π.
(2)法一(定义法)：因为f(x)＝cos(2x＋)
＝cos(2x＋＋2π)
＝cos[2(x＋π)＋]＝f(x＋π)，
即f(x＋π)＝f(x)，
所以函数f(x)＝cos(2x＋)的最小正周期T＝π.
法二(公式法)：因为f(x)＝cos(2x＋)，
所以ω＝2.
又最小正周期T＝＝＝π，
所以函数f(x)＝cos(2x＋)的最小正周期T＝π.
(3)法一：因为f(x)＝|sin
x|，
所以f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin
x|
＝|sin
x|＝f(x)，
故f(x)的最小正周期为π.
法二：画出函数y＝|sin
x|的图象，如图所示，
由图象可知最小正周期T＝π.
求函数周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的函数，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．　
1．设函数f(x)＝sin，则f(x)的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　　　　
B．π
C．2π
D．4π
解析：选D.函数f(x)＝
sin的最小正周期T＝＝4π.故选D.
2．设a＞0，若函数y＝sin(ax＋π)的最小正周期是π，则a＝________．
解析：由题意知T＝＝π，
所以a＝2.
答案：2
探究点2　正、余弦函数的奇偶性问题
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos；
(2)f(x)＝sin(cos
x)．
【解】　(1)函数的定义域为R，
且f(x)＝cos＝－sin
2x.
因为f(－x)＝－sin(－2x)
＝sin
2x＝－f(x)，
所以函数f(x)＝cos是奇函数．
(2)函数的定义域为R，
且f(－x)＝sin[cos(－x)]
＝sin(cos
x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin(cos
x)是偶函数．
利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
[注意]　与三角函数相关的奇偶性问题，往往需要先利用诱导公式化简，再判断函数的奇偶性．　
　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin
x|＋cos
x；
(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin
x.
解：(1)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin
x|＋cos
x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，
因为f(x)＝cos
x－x3·sin
x，
所以f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)
＝cos
x－x3·sin
x＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
探究点3　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f等于(　　)
A．－
B.
C．－
D.
【解析】　f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.
【答案】　D
1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f的值．
解：f＝f＝－f＝－sin＝－.
2．(变条件、变问法)若本例中函数的最小正周期变为，奇偶性不确定，其他条件不变，求f的值．
解：因为f(x)的最小正周期是，
所以f＝f
＝f＝f＝.
关于周期性、奇偶性的应用
(1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类似于诱导公式(一)，不同在于周期性适用于所有的函数，诱导公式(一)只适用于三角函数．
(2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即f(x)与f(－x)之间的转化求值．　
　
1．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)
A．1　　　　B．－1
C．0　　　　
D．2
解析：选B.f＝f＝f
＝－f＝－1.
2．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin
x，当x∈时，求f(x)的解析式．
解：x∈时，3π－x∈，
因为x∈时，f(x)＝1－sin
x，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin
x.
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin
x，x∈.
1．设函数f(x)＝sin(2x－)，则f(x)的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　　　
　
B．π
C．2π
D．4π
解析：选B.函数f(x)＝sin(2x－)的最小正周期T＝＝π，故选B.
2．函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　)
A.
0
B.
C.
D．π
解析：选C.当φ＝时，y＝sin
＝－cosx，因此y为偶函数．
3．已知a∈R，函数f(x)＝sin
x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．
解析：因为f(x)＝sin
x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin
0－|a|＝0，所以a＝0.
答案：0
4．函数f(x)＝cos
2x＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．
解析：函数的定义域为R，f(－x)＝cos
2(－x)＋1＝cos(－2x)＋1＝cos
2x＋1＝f(x)，
故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．
答案：y轴
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝sin
|x|.
解：(1)显然x∈R，f(x)＝sin
＝－cos
，
所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin
是偶函数．
(2)显然x∈R，
f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．
[A　基础达标]
1．函数f(x)＝sin
(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为，则ω等于(　　)
A．5　　　　　　　　　　　
B．10
C．15
D．20
解析：选B.由题意，知T＝＝，所以ω＝10.
2．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin
x|
C．y＝sin
D．y＝cos
解析：选D.y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sin
x|是偶函数；
y＝sin＝cos
2x是偶函数；y＝cos＝－sin
2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.
3．函数f(x)＝xsin(　　)
A．是奇函数
B．是非奇非偶函数
C．是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：选A.由题意，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
又f(x)＝xsin＝xcos
x，
所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos
x＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
4．函数：①y＝x2sin
x；②y＝sin
x，x∈[0，2π]；③y＝sin
x，x∈[－π，π]中，奇函数的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：选B.①③是奇函数．故选B.
5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是(　　)
A.
B.
C．π
D.
解析：选C.要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.
6．函数y＝3sin的最小正周期为________．
解析：T＝＝π.
答案：π
7．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②存在φ，使f(x)是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中错误的是________(填序号)．
解析：φ＝0时，f(x)＝sin
x是奇函数．
φ＝时，f(x)＝cos
x是偶函数．
答案：①④
8．若0<α<，g(x)＝sin(2x＋＋α)是偶函数，则α的值为________．
解析：要使g(x)＝sin(2x＋＋α)为偶函数，则须＋α＝kπ＋，k∈Z.所以α＝kπ＋，k∈Z.因为0<α<，所以α＝.
答案：
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
解：(1)因为x∈R，
f(x)＝coscos(π＋x)
＝－sin
2x(－cos
x)＝sin
2xcos
x，
所以f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)
＝－sin
2xcos
x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)函数应满足1－sin
x≠0，
所以函数的定义域为，
显然定义域不关于原点对称，
所以f(x)＝为非奇非偶函数．
(3)由得cos
x＝1，
所以函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cos
x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
所以f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
10．已知函数y＝sin
x＋|sin
x|，
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解：(1)y＝sin
x＋|sin
x|＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
[B　能力提升]
11．(多选)设函数f(x)＝sin，x∈R，则关于f(x)的说法正确的是(　　)
A．最小正周期为π
B．最小正周期为
C．奇函数
D．偶函数
解析：选AD.f(x)＝sin＝－sin＝－cos
2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为＝π的周期函数，故选AD.
12．(一题两空)已知f(n)＝sin(n∈Z)，则f(n)的最小正周期为________，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．
解析：T＝＝8.
f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝＋1.
答案：8　＋1
13．已知f(x)＝，若f(5)＝－2，则f(－5)＝________．　
解析：f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
所以f(－5)＝－f(5)＝2.
答案：2
14．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域并判断函数的奇偶性；
(2)求函数f(x)的最小正周期．
解：(1)由cos
x＋1≠0，得x≠2kπ＋π，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠2kπ＋π，k∈Z}，f(x)＝＝
＝＝
＝2－cos
x.
因为f(－x)＝f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故函数f(x)为偶函数．
(2)因为f(x)＝2－cos
x(x≠2kπ＋π，k∈Z)，
所以f(x)的最小正周期为2π.
[C　拓展探究]
15．判断函数y＝cos(2x－)，x∈[－π，π]是否是周期函数．若不是，请说明理由，并指出在什么条件下该函数是周期函数．
解：因为x＝π时，x＋T?[－π，π]，不符合周期函数的定义，
所以y＝cos(2x－)，x∈[－π，π]不是周期函数．
要使函数为周期函数，需将条件x∈[－π，π]改为x∈R.
因为当x∈R时，则有：
y＝cos(2x－＋2π)＝cos[2(x＋π)－]
＝cos(2x－)，
所以y＝cos(2x－)是以π为周期的周期函数．
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