1.5.4.3 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第四节 三角函数的图像与性质 第三课时 正、余弦函数的单调性与最值

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教材考点
学习目标
核心素养
正、余弦函数的单调性
理解正弦函数与余弦函数的单调性，会求函数的单调区间
数学运算
利用正、余弦函数的单调性比较大小
会利用三角函数单调性比较三角函数值的大小
数学运算、逻辑推理
正、余弦函数的最值(值域)
会利用三角函数单调性求函数的最值和值域
数学运算
问题导学
预习教材P204－P207，并思考以下问题：
1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？
2．正、余弦函数的最值分别是多少？
正弦、余弦函数的图象和性质
正弦函数
余弦函数
图象
值域
[－1，1]
[－1，1]
单调性
增区间
，k∈Z
，k∈Z
减区间
，k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
最值
ymax＝1
x＝＋2kπ，k∈Z
x＝2kπ，k∈Z
ymin＝－1
x＝－＋2kπ，k∈Z
x＝π＋2kπ，k∈Z
正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？
提示：不正确．正弦函数在每个闭区间(k∈Z)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin
x的最大值为1.(　　)
(2)?x0∈[0，2π]，满足cos
x0＝.(　　)
(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．在下列区间中，使函数y＝sin
x为增函数的是(　　)
A．[0，π]　　　　　　　　　
B.
C.
D．[π，2π]
答案：C
3．函数y＝1－2cosx的最小值、最大值分别是(　　)
A．－1，3
B．－1，1
C．0，3
D．0，1
答案：A
4．函数y＝sin
x(≤x≤)的值域为________．
答案：[，1]
5．(一题两空)函数y＝－cos
x的单调递减区间是____________；单调递增区间是____________．
答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
探究点1　正、余弦函数的单调性
求下列函数的单调递减区间：
(1)y＝cos；
(2)y＝2sin.
【解】　(1)令z＝2x＋，而函数y＝cos
z的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
所以当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以原函数的单调递减区间是
(k∈Z)．
(2)y＝2sin＝－2sin.
令z＝x－，则y＝－2sin
z，求y＝－2sin
z的单调递减区间，即求sin
z的单调递增区间．
所以－＋2kπ≤z≤＋2kπ，k∈Z.
即－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z.
所以－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
所以函数y＝2sin的单调递减区间是(k∈Z)．
求正、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin
z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．　
　求下列函数的单调递增区间：
(1)y＝cos
2x；(2)y＝sin，x∈.
解：(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，
所以kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
所以函数y＝cos
2x的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为y＝sin
＝－sin，
所以函数y＝sin的单调递增区间就是函数y＝sin的单调递减区间，
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
因为x∈，
所以所求函数的单调递增区间为.
探究点2　比较三角函数值的大小
　比较下列各组数的大小．
(1)sin
π与sin
π；
(2)cos与cos
；
(3)sin
194°与cos
160°.
【解】　(1)因为函数y＝sin
x在上单调递减，
且＜π＜π＜π，所以sin
π＞sin
π.　
(2)cos＝cos
，
因为0＜＜＜π，y＝cos
x在(0，π)上是减函数，
所以cos
＜cos
，
所以cos＜cos
.
(3)由于sin
194°＝sin(180°＋14°)＝－sin
14°，　
cos
160°＝cos(180°－20°)＝－cos
20°＝－sin
70°，　
又0°＜14°＜70°＜90°，
而y＝sin
x在上单调递增，
所以sin
14°＜sin
70°，－sin
14°＞－sin
70°，
即sin
194°＞cos
160°.
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数；
(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
(3)利用函数的单调性比较大小．　
1．sin
470°________cos
760°(填“＞”“＜”或“＝”)．
解析：sin
470°＝sin
110°＝cos
20°>0，cos
760°＝cos
40°>0且cos
20°>cos
40°，
所以cos
760°470°.
答案：＞
2．比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)cos
870°与sin
980°.
解：(1)sin
＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin
，
因为y＝sin
x在上是增函数，
所以sin＜sin
，
即sin＜sin
π.
(2)cos
870°＝cos(720°＋150°)
＝cos
150°，sin
980°＝sin(720°＋260°)
＝sin
260°＝sin(90°＋170°)＝cos
170°，
因为0°＜150°＜170°＜180°，
且y＝cos
x在[0°，180°]上是减函数，
所以cos
150°＞cos
170°，即cos
870°＞sin
980°.
探究点3　正、余弦函数的最值(值域)
求下列函数的最值．
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝－sin2x＋sin
x＋.
【解】　(1)因为－1≤cos≤1，
所以当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(2)y＝－sin2x＋sin
x＋＝－(sin
x－)2＋2.
因为－1≤sin
x≤1，所以当sin
x
＝时，函数取得最大值，ymax＝2；当sin
x＝－1时，函数取得最小值，ymin＝－.
(变条件)在本例(1)中，若x∈，则函数y＝3＋2cos的最大、最小值分别是多少？
解：因为x∈，
所以0≤2x＋≤，
所以0≤cos≤1，
所以当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝0时，ymin＝3.
所以函数y＝3＋2cos在x∈上的最大值为5，最小值为3.
三角函数最值问题的求解方法
(1)形如y＝asin
x(或y＝acos
x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．　
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin
x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．
1．函数y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是(　　)
A．(－，)　　　　　　
B．[－，]
C．[，1]
D．[，1]
解析：选B.由0≤x≤，得≤x＋≤，所以－≤cos(x＋)≤，故选B.
2．求函数y＝cos2x＋4sin
x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．
解：y＝cos2x＋4sin
x＝1－sin2x＋4sin
x
＝－sin2x＋4sin
x＋1
＝－(sin
x－2)2＋5.
所以当sin
x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，
ymax＝4；当sin
x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，
ymin＝－4.所以ymax＝4，此时x的取值集合是
；
ymin＝－4，此时x的取值集合是
.
1．y＝2sin(3x＋)的值域是(　　)
A．[－2，2]　　　　　　　
B．[0，2]
C．[－2，0]
D．[－1，1]
解析：选A.因为sin(3x＋)∈[－1，1]，所以y∈[－2，2]．
2．下列函数中，在区间上恒正且是增函数的是(　　)
A．y＝sin
x　　　　　　　　
B．y＝cos
x
C．y＝－sin
x
D．y＝－cos
x
解析：选D.作出四个函数的图象，知y＝sin
x，y＝cos
x在上单调递减，不符合；而y＝－sin
x的图象虽满足在上单调递增但其值为负，
所以只有D符合，故选D.
3．sin________sinπ(填“>”或“<”)．
解析：sinπ＝sin(4π＋)＝sin，
sinπ＝sin(8π＋)＝sin.
因为y＝sin
x在[0，]上单调递增，
又0<<<，
所以sin所以sin答案：<
4．求函数y＝cos(－2x＋)的单调递减区间．
解：因为y＝cos(－2x＋)
＝cos[－(2x－)]＝cos(2x－)，
所以当2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数y＝cos(2x－)为减函数，
故原函数的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
[A　基础达标]
1．函数y＝sin，x∈R在(　　)
A.上是增函数
B．[0，π]上是减函数
C．[－π，0]上是减函数
D．[－π，π]上是减函数
解析：选B.因为y＝sin＝cos
x，
所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．
2．函数f(x)＝sin(＋x)＋cos(－x)的最大值为(　　)
A．1
B.
C.
D．2
解析：选D.由＋x与－x互余得f(x)＝2sin(x＋)．故f(x)的最大值为2，故选D.
3．函数y＝sin在区间[0，π]的一个单调递减区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，取k＝0，则一个单调递减区间为.
4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是　(　　)
A．y＝cos|x|
B．y＝|cos
x|
C．y＝sin
D．y＝－sin
解析：选C.y＝cos|x|在上是减函数，排除A；y＝|cos
x|在上是减函数，排除B；y＝sin＝－sin＝－cos
x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．
5．下列不等式中成立的是(　　)
A．sin>sin
B．sin
3>sin
2
C．sinπ>sin
D．sin
2>cos
1
解析：选D.因为sin
2＝cos＝cos，
且0<2－<1<π，所以cos>cos
1，
即sin
2>cos
1.故选D.
6．函数y＝3cos(x－)在x＝________时，y取最大值．
解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．
答案：4kπ＋(k∈Z)
7．函数y＝的单调增区间为________．
解析：设x＋＝u，y＝|sin
u|的大致图象如图所示，函数的周期是π.
当u∈(k∈Z)时，函数y＝|sin
u|递增．
函数y＝的单调递增区间是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．函数值sin
π，sin
π，sin
π从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．
解析：因为＜＜＜＜π，
又函数y＝sin
x在上单调递减，
所以sin
＞sin
＞sin
.
答案：sin
＞sin
＞sin
9．已知函数y＝sin.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
解：
y＝sin，可化为y＝－sin.　
(1)最小正周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，　
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin的单调递减区间为，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin的单调递减区间为，.
10．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)y＝－2cos2x＋2sin
x＋3，x∈.
解：(1)当x∈时，
2x－∈，
所以f(x)＝sin∈，
即sin∈.
所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin
x＋3
＝2sin2x＋2sin
x＋1
＝2＋.
因为x∈，
所以≤sin
x≤1.
当sin
x＝1时，ymax＝5；
当sin
x＝时，ymin＝.
[B　能力提升]
11．(多选)已知函数f(x)＝cos，下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间上是增函数
B．若函数f(x)的定义域为，则值域为
C．函数f(x)的图象与g(x)＝－sin的图象重合
D．函数f(x)在区间上是增函数
解析：选CD.当x∈时，2x－∈?[0，π]，
所以f(x)在区间上是减函数，故A错误；若f(x)
的定义域为，则2x－∈，其值域为，故B错误；g(x)＝－sin＝－sin＝sin＝cos，故C正确；若x∈，则2x－∈?[－π，0]，
所以f(x)在区间上是增函数，故D正确．
12．函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：因为y＝cos
x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有当－π答案：(－π，0]
13．(一题两空)已知函数f(x)＝sin，则
(1)函数f(x)图象的对称轴方程为_______________________________；
(2)不等式f≥的解集为_____________________________．
解析：(1)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)．
所以函数图象的对称轴方程为
x＝＋(k∈Z)．
(2)由f＝sin
2x≥，
得2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
故不等式的解集是
.
答案：(1)x＝＋(k∈Z)
(2)
14．已知函数y＝a－bcos(b>0)的最大值为，最小值为－.
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)＝－4asin的最小值并求出对应x的集合．
解：(1)cos∈[－1，1]，
因为b>0，
所以－b<0，
所以a＝，b＝1.
(2)由(1)知：g(x)＝－2sin，
因为sin∈[－1，1]，
所以g(x)∈[－2，2]，
所以g(x)的最小值为－2，对应x的集合为
.
[C　拓展探究]
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R上的偶函数，其图象关于点M(π，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求φ和ω的值．
解：由f(x)是偶函数，得sin
φ＝±1，
所以φ＝kπ＋，k∈Z.
因为0≤φ≤π，所以φ＝.
由f(x)的图象关于点M(，0)对称，
得f()＝0.
因为f()＝sin(＋)
＝cos，所以cos＝0.
又因为ω>0，所以＝＋kπ，k∈N，
即ω＝＋k，k∈N.
当k＝0时，ω＝，此时f(x)＝
sin(x＋)在[0，]上是减函数；
当k＝1时，ω＝2，此时f(x)＝
sin(2x＋)在[0，]上是减函数；
当k≥2时，ω≥，此时f(x)＝
sin(ωx＋)在[0，]上不是单调函数．
综上，ω＝或ω＝2.
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